Некоторые вариационные задачи, определенные на множестве почти периодических функций

Почти периодические (п. п.) функции широко используются в различных областях математики и ее приложениях. Одной из важных областей применения теории п. п. функций является теория колебаний, описывающая колебательные процессы физических систем, рассматриваемых, например, в механике, теоретической физике, небесной механике, теории электрических цепей, электрои радиотехнике.

Важной сферой применения п. п. функций является теория систем дифференциальных уравнений с п. п. коэффициентами. К настоящему времени число работ в этом направлении стало трудно обозримым. Поэтому отметим лишь работы [1]-[13] монографического характера, в которых приведены основные методы исследования п. п. решений таких систем, и содержащих комментарии работ, посвященных теории дифференциальных уравнений с п. п. коэффициентами и ее приложениям. Отметим также работы [14]-[21], в которых на основании вариационного принципа Лагранжа получены необходимые и достаточные условия существования п. п. (по Бору) решений уравнения Эйлера-Лагранжа с функцией L е С^М™ х.

В работе [14] Blot J. указал, что множество п. п. решений этого уравнения совпадает с совокупностью стационарных точек функционала т x{-)^J (x{-)) = M{L (x{t), x{t))} = Hm ^ J L (x (t), x{t))dt, о определенного на множестве В1 = Вг (Ш, Кп), состоящем из функций, принадлежащих вместе со своей производной пространству В (Ш, Мп) п. п. по Бору [8, 9] отображений. В этой и последующих своих работах, основываясь на этом утверждении, для задачи J (x (-)) -" inf, х{-) Е В1, названной им простейшей задачей вариационного исчисления в среднем, он указал необходимые условия первого и второго порядков решения в слабом смысле (то есть по норме || • ||д1 пространства В1) этой задачи. Эти результаты, а также доказанные им утверждения о свойствах среднего значения квадратичной формы, отвечающей второй производной (по Фреше) функционала J, позволили указать необходимые, а также достаточные условия существования п. п. решения уравнения Эйлера-Лагранжа, и привести ряд утверждений о структуре множества таких решений.

В работах [19]-[21], также используя вариационный принцип, авторы указали достаточные условия существования п. п. (по Бору) решений уравнения Эйлера-Лагранжа, отвечающих неавтономной функции Лагранжа специального вида, и которая по временной переменной является п. п. по Бору функцией. Сказанное определяет актуальность исследования вариационных задач, определенных на множестве п. п. функций.

Целью работы является изучение ряда экстремальных задач с функционалами, определенными на множестве п. п. по Бору функций, производная которых принадлежит пространству ограниченных (в существенном) п. п. по Степанову отображений. fc «fc.

Диссертация состоит из введения, трех глав, 11 параграфов (нумерация параграфов сквозная), и списка литературы.

1. Арнольд В, И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1974. — 324 с.

2. Арнольд В. И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. — Ижевск: Ижевская республиканская типография. — 1999. 284 с.

3. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. —М.: Наука, 1970.— 249 с.

4. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. 472 с.

5. Гребенников Е. А. Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небесной механике. — М.: Наука, 1971. — 444 с.

6. Зубов В И. Теория колебаний. — М. Высшая школа, 1974. — 400 с.

7. Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. — М.: Наука, 1970.— 351 с.

8. Левитан Б. М. Почти периодические функции. — М.: Гостехиздат, 1953, — 396 с.

9. Левитан Б. М. Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. — М.: Изд-во МГУ, 1978.— 205 с.

10. Малкии Н. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. — М.: Гостехиздат, 1956. — 491с.

11. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. — М.: Наука, 1973. — 512 с.

12. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971. 288с.

13. Fink A.M. Almost periodic differential equation // Lect. Notes Math. — V.377. 336 p.

14. Blot J. Calculus of variations in mean and convex lagrangians. // J. Math. Anal. 1988. — V.134, № 2. — P. 312 — 321.

15. Blot J. Calculus of variations in mean and convex lagrangians. II // Bull. Austral. Math. Soc. 1989. — V.40. — P. 457 — 463.

16. Blot J. Calculus of variations in mean and convex lagrangians. Ill // Israel J. Math. 1989. — V.67, № 3. — P. 337 — 344.

17. Blot J. Calculus of variations in mean and convex lagrangians. IV // Ricerche di Math. 1991. V. XL, fasc. 1. P.3 18.L.

18. Blot J. Osciliations presque-periodiques forcees d’equations d’Euler-Lagrange // Bull. Soc. math. France. 1994 — V.122. — P. 337 — 344.

19. M.S. Berger, Y.Y. Chen. Forced quasiperiodic and almost periodic solutions for nonlinear systems. Nonlinear Anal. Trans. Math. Anal. 21(1993) 949 965.

20. C. Carminatti. Forced systems with almost periodic and quasiperiodic forcing term. Nonlinear Anal.Trans.Math. Anal. 32 (1998) 727−739.

21. S.F.Zakharin, 1,0. Parasyuk. Generalized and classical almost periodic solution of Lagrangian systems. FunkciaL Ekac. 42 (1999) 325−338.

22. Cieutat, P. Bounded and almost periodic solutions of convex Lagrangian systems // J. Differential Equations. 2003. — V. 190. — P. 108 — 130.

23. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. — М.: Наука, 1977. — 623 с.

24. Иванов. А. Г. К вопросу об оптимальном управлении почти периодическими движениями. // Изв. ВУЗов. Математика. — 2003 г. — № 4(491). — с. 40−56.

25. Иванов. А. Г. О задаче оптимального управления почти периодическими движениями. // Лекции XVI всесоюзной школы по теории линейных операторов в функциональных пространствах. — Нижний Новгород. 1992. с. 159−172.

26. Крейн М. Г., Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1973.— 551с.

27. Иванов А. Г. Об эквивалентности дифференциальных включений управляемых почти периодических систем //Дифференц. уравнения. — 1997. Т. ЗЗ, № 7. — С. 876−884.

28. Иванов А, Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I // Изв. Ии-та матем. и информ. УдГУ.~ Ижевск, 2002. Вып. 1. — С.3−100.

29. Иванов А. Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. II // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ,-Ижевск, 2003. Вып. 1. — С.3−96.

30. Данилов JI. И., Иванов А. Г. К теореме о поточечном максимуме в почти периодическом случае // Изв. вузов. Математика. — 1994. № 6.С. 50−59.

31. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. 720 с.

32. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. — Киев: Вища школа, 1987. —288 с.

33. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциаль-. ных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. — 550 с.

34. Мухамадиев Э. Об обратимости дифференциальных операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций. // Доклады АН СССР. 1971. Т. 196 № 1. С. 47−49.

35. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. 408 с.

36. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. — 429 с.

37. Азбелев H. В. К вопросу о распространении метода Чаплыгина за границы применимости теоремы о дифференциальных неравенствах. ДАН СССР, 102, 3, 429−430 (1955).

38. Массера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. — М.: Мир, 1970.— 456 с.

39. Долбилов A.M., Шнейберг И. Я. Почти периодические многозначные отображения и их сечения. — Сибирский математический журнал. Т. 32 № 2, 1991 г.

40. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. — Тбилиси: Изд во Тбил. ун — та, 1975. — 230 с.

41. Воронецкая М. А., Иванов А. Г. О необходимых условиях сильного минимума для простейшей задачи вариационного исчисления в классе почти периодических функций // Известия ИМИ. Математика. № 2(13). — Ижевск: Изд-во УдГУ. 1998. С. 59−70.

42. Воронецкая М. А., Иванов А. Г. О некоторых вариационных задачах в классе почти периодических функций // Деп. в ВИНИТИ 27.12.03, М902-В2003. УдГУ, Ижевск, 2003. 32 с.

43. Воронецкая М. А., Иванов А. Г. Почти периодическая задача Больца. // Известия ВУЗов. 2005. № 7 (518) С.8−24.

44. Воронецкая М. А. О некоторых свойствах среднего значения почти периодической квадратичной формы. //Вестник УдГУ. — Ижевск: Изд-во УдГУ. 2005. С. 19−34.

45. Воронецкая М. А. О задачах вариационного исчисления в классе почти периодических функций. // Четвертые Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — Минск. — 2005. С. 96−97.