Изотопический сдвиг и сверхтонкая структура уровней энергии в релятивистской теории атома

Актуальность работы. Ряд новых проблем в атомной физике возник в последние годы в связи с возможностью экспериментального исследования многозарядных ионов. Эти ионы были получены в лабораторных плазменных: установках [l-3j г, а также наблюдались > на Солнце при астрофизических исследованиях [4-б]. Были получены спектры одно— и. двухэлектрояных ионовс зарядомядра Z вплоть до z? =29. Для расшифровки полученных спектров необходимо иметь точные теоретическиерасчеты изотопического сдвига и сверхтонкой структуры уровней энергии многозарядных ионов, способныеобъяснить особенности этих эффектов при больших значениях: заряда: ядра? и малом числе электронов:. Наличие этих особенностей обусловлено) релятивистскими, эффектами, которые становятся весьма существенными с ростом Z и не могут учитываться как малые поправки в виде разложения по параметру / dпостоянная тонкой структуры/. Поэтому теорию изотопического сдвига и сверхтонкой структуры многозарядных ионов необходимо) с самого начала строить как полностьюрелятивистскую, используя квантовоэлектродинамическую теорию возмущений по взаимодействию с: полем излучения.

Релятивистская теория этих эффектов? наряду с большим практическим значением важна также, а принципиальном отношении&bdquoт.к., вычисление массовых поправок в такой теории открывало бы: одну из возможностей экспериментальной проверки релятивистской теории сильносвязанных / 0² /чI/ составных систем.

Из сказанного: выше, следует, — что.' работа, посвященная, исследованиюизотопическогосдвига, и сверхтонкой структуры врелятивистской теории атома, представляет несомненный научный интерес.

Цель работы:

1. Получить замкнутые выражения для массовых поправок одно-электронного атома, с произвольным: зарядом ядра 2 .

2. Найти наиболее точныеаналитические формулы для изотопического сдвига, обусловленногоконечным размером ядра. Оценить влияние конечногоразмера ядра на величину межэлектронного взаимодействия. Получить аналитическое штурмовское разложение для релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра.

3. Вывести релятивистские формулы для сверхтонкой структуры одноэлектронных ионов. Исследовать влияние конечных размеров ядра на сверхтонкую, структуру многозарядных ионов.

Научная новизна. Впервые последовательно) и строго дан: вывод всех массовых поправок: для одноэлектронного атома с произвольным зарядом ядра 2. При вычислении изотопического сдвига, обусловленного конечным размером ядра, предложен: эффективный метод, позволяющийсвести произвольную, сферически-симметричную: модель ядра к модели с равномерным, распределением заряда пообъему ядра. Произведена оценка влияния: конечного размера ядра на величину межэлектронного, взаимодействия, вычисленную в первом порядке квантов (c)электродинамической теории возмущений. Получено аналитическое штурмовское разложение релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра. Исследовано, влияние структуры: ядра на величину сверхтонкого: расщепления в теории многозарядных ионов. Получены гипервириальные соотношения для уравнения Дирака в: центральном поле.

Научная и практическая ценность. На основании полученных в диссертации формул., впервые может быть произведен, численный.

— о— расчет эффекта отдачи при больших значениях заряда ядра Е. Аналитические формулы, а также метод сведения произвольной сферически-симметричной модели ядра к равномерно заряженному ядру, позволяют, сохраняя высокую точность, значительна1 сократить объем вычислительных работ при расчете изотопического сдвига, обусловленного.' конечным размером ядра. Штурмовское разложение релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра, найденное в работе, может быть использовано) при вычислении различных фейнмановских диаграмм, в ког торых конечный размер ядра играет существенную роль /например, при расчете, сверхтонкой структуры с учетом межэлектронного взаимодействия/. Полученные в работе формулы для сверхтонкого расщепления и поправок к нему, учитывающих распределениезаряда и магнитного момента по объему ядра, удобны при проведении конкретных расчетов для различных моделей ядра. В случае равномерного по объему распределения заряда. ядра по этим формулам проведены численныерасчеты для различных состояний и различных Я, результаты которых приведены в таблицах. В диссертации предложен: простой и эффективный метод вычисления большого класса радиальных интегралов с дираковскими волновымифункциями водородоподобного атома.

Апробация работы и публикации. Результаты диссертации систематически, обсуждались на семинарах кафедры квантовой механики ЛГУ, докладывались на Всесоюзной конференции по теории атомов и атомных спектров /Минск 1983/. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех статьях и в тезисах одного доклада.

Краткое содержание работы. В первой главе.' диссертации содержится обзор литературных данных по теории изотопического сдвига и сверхтонкой структуры уровней энергии атома, дается постановка, основных задач диссертации. В первом параграфе, 1 главы обсуждаются различные методы исследования эффекта отдачи в релятивистской теории атома. Отмечаются положительные и отрицательные стороны предыдущих работ (^7,8J «посвященных этому вопросу. В результате анализа различных методов показано, что наиболее удобным для решения поставленной задачи является один из вариантов квазипотенциального подхода Логунова-Тавхелидзе [9], впервые предложенный' в работе [io]. Во втором параграфе главы изложено развитие: теории изотопического сдвига, обусловленного конечным размером ядра. Обсуждается точность аналитических выражений для этого сдвига, полученных различными авторами. В третьем параграфе приведены основные формулы теории сверхтонкой структуры как: и случае точечного ядра так: и с учетом распределения заряда, и магнитного момента по объему ядра. Указаны основные работы, посвященные расчету этого эффекта.

Во второй главе диссертации получены замкнутые, внцэаже-ния для массовых поправок в случае одноэлектронного атома* с произвольным зарядом ядра Z. В первом параграфе показано, что модифицированное уравнение Диракаг впервые предложенное: в |joJ,} может быть выведено обычным путем, когда времена частиц приравниваются, в отличие от первоначального вывода этого уравнения [iO^, в котором время одной из частиц устремлялось к бесконечности. На основании этого уравнения формулируется теория возмущений по ^/U /txмасса электрона, Ммасса ядра/'. Во втором параграфе показано, что в нулевом порядке по nyff это уравнение переходит в уравнениеДирака для электрона в кулоновском поле ядра. В третьем параграфе получено выражение для поправки, обусловленной обменом, только ку-лоновскими фотонами. В четвертом параграфе найден вклад от диаграмм с одним поперечным фотоном и произвольным числом ку-лоновских фотонов. Показано, что часть поправки, зависящая от спина ядра, совпадает с выражением Шерми-Брейта для сверхтонкого взаимодействия [ilj. В пятом параграфе рассмотрена поправка от диаграмм с двумя поперечными и произвольным числом куло-новских фотонов. Найденные выражения сравниваются с результатами работы [VJ.

В третьей главе рассмотрен изотопический сдвиг уровней энергии, обусловленный конечным размером ядра. В первом параграфе получена наиболее точная аналитическая формула для этого сдвига, которая в низшем приближении подобна полученным ранее формулам [l2-I4]. Рассмотрены простейшие модели ядра: равномерно заряженная сфера и равномерно заряженный шар. На основании полученных формул произведен численный расчет изотопического сдвига. для различных состояний и различных. Для вычисления изотопического сдвига в случае произвольной сферически-симметричной модели ядра предложен эффективный метод, позволяющий свести произвольную модель ядра к модели с равномерным распределением заряда, по объему ядра. Во втором параграфе произведена численная оценка влияния конечного размера ядра на величину межэлектронного взаимодействия, вычисленную в первом: порядке квантовоэлектродинамической теории возмущений для основного состояния гелиеподобного иона, В третьем параграфе получено аналитическое: — штурмовское разложение релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра.

Четвертая глава посвящена сверхтонкой структуре многозарядных ионов. В первом параграфе получены простые формулы, для констант сверхтонкого расщепления в случае точечного ядра. На конкретных атомах проведено сравнение величин магнитного дипольного и электрического квадрупольного расщеплений. Во втором параграфе найдено аналитическое выражение для поправки Розенталь-Брейта-Кроуфорда-Шавлова, учитывающей распределение заряда по объему ядра. На основании этого въдэажения произведен численный расчет названной поправки для различных состояний и различных?. В третьем параграфе предложен релятивистский способ расчета поправки Бора-Вайскопфа, учитывающей распределение магнитного момента по объему ядра, пригодный для произвольной модели такого распределения. В рамках одночастичной модели ядра вычислена величина полной поправки к сверхтонкой структуре для Ъ =80. Результаты расчета сравниваются с результатами работы .

В первом параграфе пятой главы выведены общие гиперви-риальные соотношения для уравнения Дирака в центральном поле. Во втором параграфе полученные соотношения применяются для вычисления определенного класса радиальных интегралов в случае кулоновского поля.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты, выносимые на защиту.

В диссертации используется релятивистская система единиц «Й ={П= С =1, где те — масса электрона, С — скорость света.

Автор глубоко благодарен своему научному руководителю доктору физ.-мат. наук, профессору кафедры квантовой механики Л. Н. Лабзовскому за постановку основных задач диссертации и многочисленные плодотворные обсуждения.

I. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАСЧЕТА ИЗОТОПИЧЕСКОГО СДВИГА И СВЕРХТОНКОЙ СТРУКТУРЫ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ В ТЕОРИИ АТОМА.

Как известно, изотопический сдвиг уровне^ происходит из-за конечно^ массы /эффект отдачи/ и конечного размера /эффект объема/ ядра, а сверхтонкая структура уровне^ энергии обусловлена наличием магнитного дипольного и электрического квадру-польного моментов ядра.

Нерелятивистская теория этих эффектов известна давно и подробно изложена, например, в [16−18]. Релятивистские поправки в той или иной степени рассматривались в ряде работ.

Изложим здесь основные результаты, полученные в теории изотопического сдвига и сверхтонкой структуры уровней энергии, и сформулируем основные задачи настоящей работы.

I.I. Изотопический сдвиг. Эффект отдачи.

В нерелятивистской теории атома водорода влияние конечной массы ядра М учитывается заменой во всех формулах массы электрона IV на приведенную массу jU= ^ [17]. Это эквивалентно умножению значений энергии на множитель + тг± ¦ м.

В низшем порядке по J. 2 релятивистская поправка к изотопическому сдвигу была найдена с помощью уравнения Брейта, которое, конечно же, лишь приближенно описывает релятивистскую систему двух частиц. Как оказалось, эта поправка, имеющая порядок, состоит из двух членов [17]. Первый член дает вклад в энергию расщепления компонент тонкой структуры посредством множителя — jpp j, т. е. точно так же, как и в нерелятивистском случае. Второй член сдвигает все компоненты тонкой структуры для уровня с фиксированным главным квантовым числом /7 на одну и ту же величину, равную лО — (I 2).

Atz2 Щ 8ГЧ ' [ 1.

Полностью релятивистская теория эффекта отдачи может быть построена только на основе точного уравнения для двух релятивистских частиц. В квантовой теории поля наиболее распространены два метода рассмотрения системы двух частиц: метод уравнения Бете-Солпитера [19] и квазипотенциальный метод Логунова-Тавхелидзе [9].

Уравнение Бете-Солпитера для связанного состояния системы двух частиц — электрон и ядро — имеет вид.

Yfa,**) = Idx* dxHd)(sCb<6 GUx^xk)x у K (X3,Xk1XS)X6)/f (X^X6)i (1.3) где Yfr-f,^) — волновая функция системы /16-компонентный спинор/,.

Xi — четырехмерные координаты, и Gs свободные пропагаторы электрона и ядра соответственно, К — сумма вкладов всех неприводимых /в смысле Дайсона/ диаграмм для двухчастичной функции Грина. На основе этого уравнения Солпи-тером [20] были вычислены массовые поправки для атома водорода вплоть до членов порядкацS .В этой же работе было показано, что вычисления, выполненные для точечного ядра, справедливы также и для сложных ядер /в хорошем приближении, основанном на малости Л7е С по сравнению с относительным импульсом нейтронов и протонов внутри ядра/. Эффект отдачи без разложения по рассматривался ранее в работах [7,8].

Работа [7] была основана на уравнении Бете-Солпитера (1.3), которое в импульсном представлении имеет вид.

Г (р) = WJdYF 1р, В) К (р, />'.? Wp'), М где , — дираковские матрицы, действующие на электронны^ и ядерный биспиноры соответственно, Д — относительный импульс,? 5 ро, Е — искомая энергия связи. Для того, чтобы написать выражение для поправок на отдачу без разложения по о (В, необходимо прежде всего выделить из уравнения (1.4) в качестве нулевого приближения по Щ уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле ядра. Эта задача оказывается очень сложной по следующим причинам: во-первых, в уравнение Бете-Солпитера входят нефизические величины, такие как относительное время в (1.3) или относительная энергия в (1.4), во-вторых, ядро К, равное сумме неприводи.

77 мых диаграмм, даже в нулевом порядке пощневозможно вычислить полностью, и поэтому приходится ограничиваться в нулевом приближении лишь конечным числом членов в разложении.

К по 0(2, а практически только одним. Именно так и сделано в работе [7], в которой в нулевом приближении положено что соответствует учету лестничных диаграмм с кулоновскими фотонами. Подстановка выражения (1.5) в уравнение (1.4) дает.

E-mfi-fZ-Mfi+Ptfr* [АУГ-АГА'Зт, (1.6) где Ati ~ проекторы на положительно/отрицательно/-час-тотные состояния свободного электрона и ядра соответственно, У — оператор кулоновского потенциала,.

W) -ШУ^У (р)^. (1.7) АЛ.

Уравнение (1.6) в нулевом порядке по «Ц» дает (1.8) где Ь (/ — Е-М «Это уравнение отличается от уравнения Дирака для электрона в кулоновском поле ядра проектором что говорит о недостаточности лестничного приближения даже в нулевом порядке по jjjp. Можно показать, что если мы возьмем любое конечное число неприводимых диаграмм в разложении.

Лт то в нулевом порядке по мы все равно не получим уравнения Дирака в кулоновском поле ядра. Таким образом, при таком подходе мы не можем в качестве нулевого приближения взять решения уравнения Дирака для электрона в кулоновском поле ядра. В связи с этим в [7] используется формальная теория возмущений на невзаимодействующих частицах, которая, конечно же, не может претендовать на большую строгость. Таким методом согласно обычной шредингеровской теории возмущений в [7] показано, что в четвертом порядке по в уравнении (1.8) восстанавливается кулоновски$ потенциал. Однако доказательство восстановления кулоновского потенциала в любом порядке по с/г? в уравнении (1.8) представляет сложную задачу, решение которой в [7J не приводится. Таким же образом в этой работе рассмотрены поправки на отдачу порядка Щ-, обусловленные обменом только кулоновскими фотонами. В низших порядках по cL Я получено следующее выражение для этой поправки еш — т, (1.9) где /к ^ - проекторы на положительно/отрицательно/-час-тотные состояния электрона в кулоновском поле ядра. Однако доказательства этой формулы, пригодного для любых получить таким методом практически невозможно, равно как и выражений для поправок, обусловленных обменом поперечными фотонами .

Таким образом, на основании работы [7] можно заключить, что при использовании уравнения Бете-Солпитера в форме (1.3) для решения поставленной задачи крайне трудно развить метод, который позволил бы вычислить поправку на отдачу без разложения по .

Другой важной работой, преследующей ту же цель, является работа [в]. Для выполнения суммирования фейнмановских диаграмм в любом порядке по и в двух низших порядках по т .,. в этой работе предложено следующее разложение ядерного пропагатора.

4 -ipx где.

Sz^-pTlW? = J (4−1°) 1P '*> m i m / p=-iV, Г=/, F— pc?.

Начальному и конечному состояниям ядра в произвольной диаграмме Фейнмана сопоставлена волновая функция где Y/M и % (X) — нерелятивистские волновые функции /трехмерные спиноры/. На основании этих разложений в [8J показано, что в нулевом порядке по вклад ядерной линии от всех диаграмм Фейнмана в П. -порядке по срСВ, при предположении ^ ()<)-% (X) и.

X) /это соответствует ядру, помещенному в начало координат/, представляет собой.

Пую итерацию кулоновского потенциала. Далее, используя опять предположения % &) и № ят- №). показано, что в первом порядке по вклад от ядерной линии в /7 -м порядке по ctzl записывается в компактном виде, т. е. выполняется суммирование по всевозможным диаграммам Фейнмана /7 -го порядка. После этого взаимодействие электронов с ядром в первом порядке поЩ" эффективно заменено некоторыми новыми линиями, связывающими электронные линии. Затем уже в низшем порядке по согласно обычной квантовоэлектродинамической теории возмущений вычислены поправки на отдачу. При этом однако были допущены некоторые неточности, в результате которых, в частности, было получено выражение для поправки на отдачу, обусловленной обменом только кулоновскими фотонами, совпадающее с (1.9), что, вообще говоря, не совсем так.

Основным достоинством работы: [в] является то, что в ней показана возможность суммирования фейнмановских диаграмм в любом порядке по о (-2- ив низших порядках поЩ-. Недостатком этой работы^ на наш взгляд, является то, что в ней не был исследован вопросо связи: энергетических поправок', полученных таким методом, с наблюдаемыми энергиями, которые являются полюсами полной / ядро + электрон: Ц функции Грина.

Таким образом, вопрос о выводемассовых поправок из точных уравнений релятивистской квантовой теории связанных состояний остается открытым. Для решения этой задачи намхотелось бы, во-первых, в качестве нулевого приближения иметь уравнение Дирака для электрона в кулоновском поле ядра, во-вторых, выполнить суммирование диаграмм Фейнмана в любом порядке по (L, подобно тому как это было сделано в JbJ. Как мы уже убедились, использовать уравнение Бете-Солпитера для этой цели неэффективно по двум причинам: во-первых, неясно как при.

Щ- 0 из уравнения Бете-Солпитера вццелить уравнение М.

Дирака с кулоновским потенциалом, во-вторых, ядро Бете-Солпитера К состоит только: из неприводимых диаграмм, метод суммирования которых в любом порядке по и в низших т двух порядках по- -р^ неясен.

Оказывается, наиболее удобным методом решения нашей задачи является квазипотенциальный метод Логунова-Тавхелидзе 9~]. Преимущества квазипотенциального метода по сравнению с другими подходами в задаче о связанном состоянии двух частиц хорошо известны[2l]. Этот метод позволяет совместить простоту и наглядность трехмерного /одновременного/ описания нерелятивистской квантовой механики /уравнения Щредингера/ с кова-риантным аппаратом квантовой теории поля /функций Грина и диаграмм Фейнмана/ [22]. Квазипотенциальное уравнение было с успехом применено для вычисления тонкой и сверхтонкой структур водородоподобных атомов при Квазипотенциальный метод универсален и симметричен в описании обеих частиц. Благодаря этому он применим для рассмотрения любой системы частиц с произвольными массами. В нерелятивистском пределе квазипотенциальное уравнение переходит в обычное уравнение Шредингера. Однако известно, что операция приравнивания времен не позволяет, вообще говоря, получить уравнение Дирака для одной из частиц, когда масса другой устремляется к бесконечности [23]. В то же время для решения нашей задачи, в которой ядро обладает большим зарядом и большой массой, удобно воспользоваться в качестве исходного приближения точными решениями уравнения Дирака с кулоновским потенциалом. Такого рода метод под названием «модели эффективного потенциала» был предложен в работе [24]. Однако, как отмечают сами авторы этой работы, в рамках их схемы не сформулированы последовательно уравнения для связанных состояний и процедура построения оператора потенциала /именно поэтому использован термин модель/. Аналогичное уравнение рассматривалось в рй].

Последовательный вывод необходимого уравнения в рамках квантовой теории поля дан в работе [io]* Используя идеи квазипотенциального подхода Логунова-Тавхелидзе, в [ioj построен самосогласованный трехмерный формализм, приводящий к модифицированному уравнению Дирака. При этом, чтобы избавиться от лишних проекционных операторов, которые, вообще говоря, возникают при операции приравнивания времен в [10], время одной из частиц устремлялось к бесконечности. Полученное в [10] уравнение имеет вид ф Р-m)%(f) =(df JIЩ), (t.i3) где 1/ - оператор квазипотенциала, Yjf) — волновая функция системы, 5*, р — переменные полного и относительного импульса: р< = ч<�Т+Р, Т-Р.+Р* г г р ргМ, = * < nf, р2 — четырехимпульсы электрона и ядра соответственно.

7*7.

Видно, что уравнение (1.13) при —* Q переходит в уравнение Дирака для электрона во внешнем поле, которое определяется выбором оператора квазипотенциала (/ .

Таким образом, для решения нашей задачи представляется удобным взять за основу уравнение (I.I3). К тому же, как указано в [ю], можно воспользоваться удобным методом построения квазипотенциала с помощью элементов матрицы рассеяния на массово^ поверхности [9,26].

Во второй главе настоящей диссертации дан другой вывод уравнения (I.I3), в котором, в отличие от работы [ю], времена частиц приравниваются. Затем на основе этого уравнения получены замкнутые выражения для всех массовых поправок в первом порядке по без разложения по cfd. Полученные выражения сравниваются с результатами работы [в].

ЗАКЛКЯЕНИЕ.

Сформулируем, основные, положения, выносимые, на защиту:

1. Впервые., дан строгий вывод всех массовых поправок для одноэлектронного атома с произвольным, зарядом ядра Е.

2. Получена наиболее точная аналитическая формула для изотопического сдвига, обусловленного^ конечным, размером ядра. Для вычисления этого сдвига в случае произвольной сферически-симметричной модели ядра предложен, эффективный метод&bdquoпозволяющий свести произвольную модель ядра к модели с равномерным распределением: заряда по объему ядра.

3. Произведена оценка, влияния конечного размера ядра на величину межэлектронного) взаимодействия в гелиеподобных ионах, вычисленную в первом порядке квантовоэлектродинамической теориивозмущений.

4. Получено аналитическое: штурмовское разложение для релятивистской кулоновской функции Грина с учетом конечного размера ядра.

5. Получено релятивистское выражение для электрического., квадрупольного расщепления одноэлектронного атома.

6. В релятивистской теории многозарядных ионов найдена аналитическая формула для поправки Розенталь-Брейта-Кроуфор-да-Шавлова, учитывающей влияние распределения заряда по объему ядра на величину магнитного сверхтошсого расщепления. По полученной формуле в случае равномерного по объему распределения заряда ядра произведен, численный расчет названной поправки для различных: состояний и различных 2.

7. Предложен, релятивистский способ аналитического расчета поправки Бора-Вайскопфа" учитывающей влияние распределения магнитного момента по объему ядра на величину сверхтонкого расщепления. В рамках однонуклонной модели ядра произведен, расчет этой поправки для =80i.

8. Получены гипервириальныез соотношения для уравнения Дирака с центральным, потенциалом. На основе этих соотношений предложен простой и эффективный способ вычисления различных, диагональных матричных элементов на водородоподобных волновых функциях.

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Шабаев В. М. Релятивистский расчет энергии основного состояния гелиеподобных ионов с учетом конечных размеров ядра. — В кн.: Тезисы докладов Всесоюзн. конфер. по теории атомов и атомных спектров. Минск, 1983, с. 130.

2. Шабаев В. М. Сверхтонкая структура и изотопический сдвиг уровней одноэлектронных ионов с произвольным зарядом ядра. -Оптика и спектр., 1984, т.56, выт.3, с.397- 401.

3. Шабаев В. М. Рекуррентные формулы и некоторыеточныесоотношения для радиальных интегралов с дираковскими и пгредингеров-скими волновыми функциями. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, № 4, с.15−19.

4. Шабаев В. М. Релятивистская кулоновская функция Грина с учетом конечного размера ядра. — Вестн. Ленингр. ун-та, 1984, № 10, с.92−95.

5. Шабаев В. М. Изотопический сдвиг и сверхтонкая структура уровней энергии в релятивистской теории атома. — В кн.: Многочастичные эффекты в атомах. М., 1985, с.105−132.