Применение метода разделения потоков к расчету угловых спектров отраженного излучения для сред с мелкомасштабными неоднородностями

Множество сред как естественного, так и искусственного происхождения содержат беспорядочно распределенные неоднородности различной формы и размера, которые рассеивают проходящее через среду электромагнитное излучение. Прошедшее через среду и отраженное от нее световое излучение содержит важную информацию о свойствах среды. В связи с этим постоянно увеличивается число экспериментальных и теоретических работ связанных с анализом процесса распространения светового излучения в случайно неоднородных средах. Электромагнитное излучение оптического диапазона широко используется в исследованиях физики Мирового океана [1−6], атмосферы Земли [7−12] и планет солнечной системы [13−15], при разработке систем подводного оптического наблюдения [6] а также для контроля и диагностики биологических тканей человека и животных [16−19]. Важным свойством оптических методов является то, что они не разрушают объект исследования.

Для нахождения поля излучения как в самой рассеивающей среде, так и поле вышедшего из среды излучения, необходимо решить транспортное уравнение Больцмана (уравнение переноса) для интенсивности излучения гО), дополненное соответствующими граничными условиями. (Оединичный вектор скорости фотона).

В отличие от строгой теории, исходящей из уравнений Максвелла для света [20−24], или уравнения Шредингера для заряженных частиц [25,26], линейная теория переноса светового излучения [1,3,10,27−29] оперирует только с переносом энергии в среде, не учитывая когерентные эффекты, связанные с интерференцией и дифракцией электромагнитных волн. Когерентными эффектами можно пренебречь при соблюдении следующих условий [1]: во-первых, рассеивающие центры должны быть расположены хаотично, во-вторых, расстояние между ними должно быть значительно больше длины волны. При соблюдении этих условий рассеяние на углы большие некоторого критического значения у0 «1 будет некогерентно. Оценка величины у0 приведена в монографии [1]. Отметим, что полная когерентность при рассеянии вперед несущественна, так как энергетический вклад области углов рассеяния, для которых имеет место этот эффект, оказывается мал [24]. Эффекты дифракции и интерференции учитываются только при описании характеристик рассеяния и поглощения отдельными рассеивающими центрами. В настоящей работе мы не будем специально интересоваться поляризационными эффектами, то есть будем рассматривать распространение скалярного светового излучения. В этом случае оптические свойства среды определяются следующими величинами: коэффициентом поглощения к, показателем рассеяния ст и законом однократного рассеяния (индикатрисой рассеяния) х (с08У) = ст (у) / су, у — угол однократного рассеяния, а (у) — показатель рассеяния в данном направлении.

Транспортное уравнение является линейным интегро-дифференциальным уравнением, ядром которого является индикатриса рассеяния Величина определяет вероятность перехода фотона из состояния Й' в состояние О при одном акте рассеяния. Поэтому, величина %{&-.'—>С1) нормирована условием:

Основные трудности аналитического изучения процессов переноса скалярного светового излучения в основном определяются следующими факторами:

1. Ограниченными возможностями нахождения общего аналитического решения уравнения переноса при произвольной индикатрисе рассеяния.

2. Выделение из общего решения только того, которое удовлетворяет граничным условиям конкретной задачи.

3. Размерностью среды.

4. Геометрией рассеивающей среды.

СВ.1).

Встречающиеся в природе индикатрисы имеют весьма сложный вид [1,8], в частности, из-за того, что рассеивающие центры имеют несферическую форму, сложную внутреннюю структуру и неодинаковые размеры. Строгой теории рассеяния на таких частицах нет. Поэтому в большинстве случаев приходится заменять реальную среду более простой модельной средой. Одна из самых распространенных моделей — модель монодисперсной среды. В этой модели все рассеиватели считаются одинаковыми, однородными сферами радиуса а.

При рассеянии на сферических частицах индикатрису рассеяния можно разложить в ряд по полиномам Лежандра: м 2/ +1 71 x (cosy) = ]Г — %/^(cosy), где =27ijsinyx (cosy)^(cosy)?/y, (В.2а) i=o 4и о здесь уугол однократного рассеяния: cosy = (ГУП). Из условия нормировки (В.1) следует, что %0 =. Величина Xi=(cosy) «средний косинус угла однократного рассеяния.

Задача о рассеянии плоской монохроматической электромагнитной волны на однородном шаре радиуса, а при заданных диэлектрической и магнитной проницаемостях точно решена Г. Ми (1908) и А. Лявом (1899). В литературе утвердились термины: теория Ми, рассеяние Ми. Анализ формул Ми [7,30,31] показывает, что если дифракционный параметр Р = <�я/Х ~ 1 (%- длина световой волны), то рассеяние практически изотропно. Такая ситуация имеет место, например, при рассеянии видимого света на суспензии оксида титана Т02 (а = 220пт (cosy) = 0.476) [32], при рассеянии излучения инфракрасного диапазона на частицах пыли в космических туманностях [33]. В важном для оптики атмосферы случае рассеяния света на флуктуациях плотности (т.н. 3 молекулярное рассеяние) индикатриса имеет вид: x (C0SY)= (l + cos2y).

1 бтс индикатриса Рэлея [13]. В другом предельном случае |3 «1 эффективный угол однократного рассеяния рассеяние носит резко выраженный анизотропный характер: 1 — (cosy)» 1). Именно такая ситуация имеет место в большинстве естественных и искусственных сред: туман, дым, аэрозоль в атмосфере, различные взвеси в воде и т. д. Так, для капель в облаках Земли, а «10 мкм и (3 «100 в видимой части спектра. Как было показано Релеем, в разложении индикатрисы рассеяния в ряд по полиномам Лежандра (В.1) существенно учитывать конечное число членов: N ~ 1.5Р [13]: 1 хссобу) «21 7 (В.2Ь) ыо 4п.

Волны с 1> N имеют малые амплитуды и ими можно пренебречь. Расчеты рассеянных полей по точным формулам Ми достаточно сложны, т.к. при больших значениях (3"1 необходимо учитывать много почти равнозначных парциальных рассеянных волн, причем каждую с высокой точностью [1]. Например, для типичной биологической частицы в воде я и 10 мкм при X «0.546мкм. (Р «115) в сумме (В.2Ь) нужно удержать 140 членов ряда!

Но даже и в тех случаях, когда с приемлемой правдоподобностью рассеиватели можно считать сферическими, ситуация резко осложняется тем обстоятельством, что их размеры оказываются самыми различными, т. е. есть существенной особенностью реальных мутных сред является их полидисперсность. Имеется значительный разброс геометрических размеров отдельных рассеивателей в достаточно широких пределах от а<�Хдо а" X. Например, в чисто молекулярной атмосфере Земли дальность видимости предметов около поверхности составила бы 300 км, в то время, как в реальной атмосфере наблюдаемая дальность видимости составляет около 30 км [13].

Если при Р < 1 рассеяние является почти изотропным, то при Р «1, индикатрисы рассеяния на отдельных рассеивающих центрах имеют целый ряд максимумов и минимумов, так наз. радуги и глории [1,10]. В полидисперсных средах из-за разбросов по размерам происходит сглаживание интерференционных лепестков индикатрисы рассеяния. За счет этого реально наблюдаемые индикатрисы рассеяния становятся гладкими функциями угла у. Чем рассеивающие частицы меньше и оптически мягче — Г «1), пге1относительный показатель преломления, тем более плавными оказываются усредненные индикатрисы рассеяния.

Для учета распределения частиц по размерам проводится усреднение индикатрисы рассеяния: а (у) сАгЗ)/(М'< ,.

Х (С°8У)= а — ,.{/(Р)а, Р = 1 (В'3).

Конкретный вид усредненной индикатрисы рассеяния х (С08У) конечно зависит от выбора функции распределения частиц по размерам. Выбор функции /((3) диктуется свойствами конкретной среды. Трудность состоит в том, что формирование свойств аэрозоля в атмосфере Земли, различных взвесей и планктона в морской воде и т. д., подчинено влиянию множества факторов, учесть которые при попытке теоретического анализа весьма трудно. Из-за недостаточной информации о распределении по размерам рассеивателей, возникает большая степень произвола при выборе конкретного вида закона рассеяния элементарным физическим объемом среды. Поэтому используются эмпирические аппроксимации на основе ряда типичных аналитических представлений: нормальное распределение, распределение Кэптейна, степенное распределение, распределение Юнге и т. д. Результаты расчета усредненных индикатрис рассеяния представлены в подробных таблицах [34]. Например, в оптике полидисперсных систем большое распространение получили обобщенное и простое Гамма — распределение. Простое Г-распределение имеет вид (рт (п = 0-Ртах = со) [7,13]: п V дт=.

5! ехр^(, + 1)|||- Р>^1Р<�Р (В.4) Р чРу.

Здесь р — среднее значение дифракционного параметраР^ - мода Г-распределения, т. е. точка его максимума. Таким образом, простое Г-распределение имеет два свободных параметра р и 5. Важная особенность Г 3 У распределения — его асимметричность. При Р «Р^ - /(р)» р, а при Р «Р^ ч Ру.

— /(p)"expj-(s + l)-jj-j, что дает обычный длинный спадающий «хвост», определяющий концентрацию аномально больших частиц. Такая форма распределения гораздо лучше соответствует фактическим данным, чем симметричное гауссово распределение. Уже в 1930 г. И. Рокар [1] использовал Г — распределение с параметром s = 2 при расчете атмосферных индикатрис. Начиная с пятидесятых годов, обобщенное и простое Г — распределение широко используются для расчета оптических характеристик полидисперсных систем, как в атмосферной оптике, так и в оптике Океана [1,10].

Поскольку индикатриса является ядром уравнения переноса, то сложность решения этого уравнения определяется в первую очередь (если отвлечься от проблемы граничных условий) именно видом индикатрисы. Самым простым является изотропный закон рассеяния, при котором вероятность однократного рассеяния в любом направлении одинакова:

Х (/Л'г)=~ (В.5а).

4 71.

В этом случае удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса в полубесконечной среде, без каких либо ограничений на угол падения излучения и на угол рассеяния. Эта задача решена в работах Фока, Амбарцумяна и Чандрасекара [35−38]. Сравнительно недавно удалось получить точное аналитическое решение для линейной индикатрисы рассеяния [39]: x (M (cosy)= —(1 + 3Xl cosy) (B.5b).

4л:

При этом приходится определить три вспомогательные функции из соответствующих нелинейных интегральных уравнений.

Во многих случаях приходится сталкиваться с распространением широких, стационарных потоков светового излучения в однородных рассеивающих средах с плоскими границами, когда реализуются условия так называемой плоской геометрии. В этом случае уравнение переноса имеет вид:

81 2п 1 +^ ^ + а№(р' ^ ф' - ФУОЦ', Ф') (в-6).

ОI.

Особое значение для приложений имеют задачи об определении различных характеристик отраженного излучения. Изучение угловых спектров обратно рассеянного излучения является самостоятельным разделом общей линейной теории переноса — не только света, но и заряженных частиц или ионов. Особая важность этой проблемы связана с тем, что во многих случаях, практически единственно доступным способом получать информацию о среде, является измерение параметров только отраженного от неё излучения. Наглядным примером может служить изучение свойств мирового океана и других водных бассейнов с помощью оптических приборов, установленных на различных летающих объектах — самолетах или ИСЗ, особенно в связи с мониторингом экологического состояния среды. То же можно сказать и о разнообразных исследованиях атмосферы Земли с помощью оптических лидаров в различных частях спектра. Сказанное относится, конечно, и к дистанционному исследованию атмосфер планет Солнечной системы. Поэтому, в силу особой значимости такого круга задач, их обычно выделяют в отдельный раздел под названием альбедные задачи теории переноса. Одной из важнейших альбедных задач, является проблема определения углового спектра излучения, отраженного от полубесконечной среды. На этом важном случае мы и остановимся ниже.

При распространении фотонов в полубесконечном слое вещества, какая-то часть светового излучения выходит обратно через верхнюю границу г=0 и образует поле отраженного излучения. Спектр отраженного излучения полностью определяется функцией отражения (ФО):

5(| ц |-ф) =|Ц IА (г = 0-ц = -1 ц)-ф), (ц = созО) (В.7а) Здесь (г = 0−7с/2 < 0 < тс-ср) — интенсивность выходящего из среды излучения.

9, ф — полярный и азимутальный углы вылета фотонов. Ось 2 направлена по нормали к поверхности вглубь среды. Поэтому, для отраженного излучения ц = -1 [I |< 0. Величина ?(1 ц |-ф)б/ |ц|<�йр представляет собой среднюю энергию светового излучения, выходящего в единицу времени через единичную площадку поверхности среды (г = 0) в интервале значений |р.|-г|р.|+с/|р,|, ср ^ ф + (¿-ф. Её размерность — [.

Полный коэффициент отражения (КО) м>пГ определяются обычным образом:

Л (2−0) — = 1 (В7Ъ) Уо о о.

Л = Л ~ «количество лучистой энергии, входящей внутрь вещества в единицу времени через единицу поверхности- (г = 0)~ количество световой энергии, выходящей из вещества в единицу времени через единицу поверхности:

2л 1.

Л = /?ср|)1фЛ (г = 0-ц, Ф) — (В.8) о о 0) = -/<йр р I, а I р = 0-р = -1 р |, ф) (В.9) о о.

Формулы (В.6), (В.7) справедливы при любом угловом распределении 10 падающего излучения.

Особое значение имеет случай мононаправленного облучения вещества: 0-в, ф) = /о5(соз9-со80о)5(ф-фо) — у0 =/0 собЭ, =/0р0 (В.10) В этом случае: = (В.11).

В. 12).

-'оМ'о 0 о.

Поскольку уравнение переноса является линейным, то полная ФО при произвольном законе облучения поверхности /0(^)= = 0-р > 0, ф), может быть записана в виде:

2к I ц |-Ф) = /<�Лр'/ф'/Д* = 0-р', Ф'Щ| ц |-р', ф — ф') (В.13) о о.

Здесь ЛГ (|ц|-|и0,ф-ф0) — функция Грина альбедной задачи теории переноса для полу бесконечной среды: р|, р0, ф-ф0) = у-5(|ц|-ф-ф0-|ц0) (В.14).

В отличие от ФО величина р. |-ц0,ф — ф0) является безразмерной.

Полный КО при мононаправленном законе облучения поверхности связан с величинами ?(||1|-ф-ф0-:|Ы0) и^(||Д.|-ц0,ф-ф0) соотношениями: 2л I 2 2п I пМ’О 0 0 Но о о.

Полный КО м? пГ при произвольном законе облучения поверхности определяется общим выражением (В.7). С учетом (В. 13) и (В. 15) получаем: = 1 (В.16).

Л о о.

Формулы (В. 13) и (В.16) позволяют рассчитать ФО и полный КО при произвольном законе облучения поверхности вещества, если известно их значение при мононаправленном падающем потоке. Таким образом, для вычисления ФО по формулам (В.7а) и (В. 11) нужно вычислить величину (г = 0- ц = -1 р. |- ф), т. е. необходимо решить транспортное уравнение Больцмана с соответствующими граничными условиями.

Однако, как показал В. А. Амбарцумян [40,41], ФО можно найти и не решая задачу в полном объеме. Сформулированный им принцип инвариантности позволил написать нелинейное интегральное уравнение непосредственно для ФО, которое в случае мононаправленного облучения световым потоком единичной интенсивности, имеет вид:

Г1 о и И М л Ц/)а | ц' ьсп (-1ь> ¦-1 ц |, Ф' - Ф) ^ ' ф'}.

0 0 1М- |.

0 0 Ц л 2|^ф" I ц' I х.

О’ООО Ц

I н I.

Известно сравнительно мало случаев, когда удается получить аналитическое выражение для ФО. Важнейшим является случай изотропно рассеивающей среды. Как уже отмечалось выше, в этом случае удается получить точное аналитическое выражение для ФО, без каких — либо ограничений на углы вылета и влета фотонов. ФО и КО при облучении полу бесконечной, изотропно рассеивающей среды определяются выражениями: р |-р0) = /0 у, 1 #(| ц |)Я (р0) — < = 1 — Я (р0-Л) ч1 — Л (В.18).

Здесь #((ы-А) — функция Чандрасекара, которая удовлетворяет нелинейному интегральному уравнению:

01- Л) = 1 + ^ рЯ (р-Л)) Ф Я (р'-Л), (В. 19) 2 оЦ+Ц

Решение уравнения (В. 19) в явном виде было найдено В. А. Фоком [38]:

Н (щ Л) = ехр{- - Л } (В, 0).

При изотропном законе однократного рассеяния ФО не зависит от азимута.

На этом развитие теории не закончилось. В. А. Амбрацумян показал [36], что для случая (Ы +1) — членной индикатрисы рассеяния (В.2Ь), тя азимутальная гармоника ФО представляется в виде билинейной комбинации (7У-т + 1) вспомогательных функций ф" '(р-Л) и для этих функций получил нелинейные интегральные уравнения. Линейные уравнения для этих функций выведены В. В. Соболевым [42]. Впоследствии С. Чандрасекар [37] для частных случаев индикатрис, а В. В. Соболев [15] для общего случая показали, что все (Л/" -т + 1) вспомогательные функции ф" '(р-А) для произвольной гармоники т выражаются через набор (N + 1) функций Нт :(т = 0,1,2.//). Для функций Нт получены определяющие их уравнения. (ф°(р-А) = #(|и-Л)).

Существенное обстоятельство, затрудняющее применение точных методов в реальных средах состоит в том, что большое числе членов в разложении (В.2Ь) приводит к необходимости проведения чрезвычайно громоздких расчетов. При этом не удается найти точное аналитическое решение уравнения переноса, поэтому используются самые различные приближенные методы.

Широкий круг альбедных задач решен в диффузионном приближении в пространстве углов (приближение Фоккера — Планка). В этом приближении интеграл столкновений заменяется дифференциальным оператором второго порядка, а уравнение переноса (В.6) принимает вид: ц^-к/"—'"^.!.г, ы, г> ^Ъ-м)(в.21).

82 [вьеМ зезт в Эф ] 4 7.

Здесь В = с (1 — соБу)/2 = а (1 — х,)/2 — коэффициент угловой диффузии. Таким образом, для всех сред, в которых средний косинус угла однократного рассеяния одинаков, приближение Фоккера — Планка дает одинаковый угловой спектр рассеянного излучения, хотя распространение света в таких средах происходит по-разному. Область применимости диффузионного приближения ограничена условием на вид индикатрисы: с ростом угла однократного рассеяния она должна убывать быстрее, чем индикатриса резерфордовского вида — 1 /у4.

В рамках приближения Фоккера — Планка решена задача о малоугловом отражении света, когда излучение падает на поверхность среды под скользящими углами (0О ~тг/2, т. е. С, 0 =тг/2−0о «1) и, поэтому, несмотря на малость угла рассеяния, может иметь место весьма сильное отражение. При скользящих углах падения при резко анизотропном однократном рассеянии у2)"1), возникает ситуация, когда оказываются малыми как угол скольжения С, = тг/2−9 (т.е. угол между вектором и поверхностью вещества), так и азимутальный угол ф: угол рассеяния из состояния (С,-ф,) в состояние.

С25Ф2) С ~(С2 -С,)2 + (ф2 -ф|)2 «1- Поскольку ц = созе = 8тС"С> то уравнение переноса (В.21) существенно упрощается: + ^ + (В22).

Эг.

ЭС2 дф2.

1{г = 0- С > О, Ф) = /ДС — Со)5(Ф) — /(г —> оо-? = -1С |< 0, Ф) = 0 (В .23).

Как обычно, при малоугловом рассеянии формально считается, что угловые переменные С и ф изменяются в бесконечных пределах: — оо < С, ф < сю. Отраженному излучению соответствуют отрицательные значения угла скольжения: С, = -1 С, |. Столь радикальное упрощение транспортного уравнения позволяет, используя метод разделения переменных, найти его общее решение в виде разложения по собственным угловым функциям данной задачи Ф[' «л)(С>ф) — Вся сложность состоит в том, чтобы из общего решения уравнения переноса отобрать только то, которое удовлетворяет граничным условиям (В.23).

Так как при малоугловом отражении скользящего светового потока | р, |"| С |, то для ФО и полного КО имеем: s (| с |, ф| со) н сi,(z -= 0-с =-1с n о- = у | с | s (? с 1-ф) (в.24).

Наиболее просто определяется ФО от консервативной среды (к = 0), заинтегрированная по азимуту:

ПС15ф|СоУФ (в.25).

В этом случае получается следующее уравнение для ФО: dIс|?Г (|СI Со) аккI) = ioQAK-Ko) — (о < а, < оо) (в.26) о.

Здесь = Ai (kQ — функция Эйри. Уравнение (В.26) впервые было получено О. Б. Фирсовым в 1966 г. [43]. Таким образом, даже в приближении Фоккера-Планка, когда уравнение переноса является дифференциальным, уравнение (В.26) для ФО оказывается интегральным. Уравнение (В.26) решается аналитически с помощью преобразования Меллина [43]: sr-iaiO^^pT (В.27).

Здесь =| С | / Со" приведенный полярный угол вылета фотонов. Угловой спектр отраженного излучения имеет явно выраженный максимум при угле вылета, равного углу влета: | С, тр = С, 0, т. е. | ^ шр = 1. Это, так называемый «закон зеркального отражения» .

Выражение для полной ФО Sl,~n (\ С, |, ф! как по полярному углу С, так и по азимутальному углу ф, от консервативной среды, было получено значительно позже, лишь в 1980 г., в работах B.C. Ремизовича, М. И. Рязанова и И. С. Тилинина [44,45]:

Sir = со 7″ со.

2n2JICICo U + CD2 arctg со [>- со = >

— VJ/.

B.28).

Здесь 1 = ф/^0- приведенный азимутальный угол вылета фотонов. Угловой спектр отраженного излучения (В.28) при упругом отражении не зависит от рассеивающих свойств среды, т. е. от коэффициента угловой диффузии И .

Подробное исследование проблемы малоуглового отражения света с учетом поглощения дано в [44,46]. Показано, что при наличии поглощения, полная ФО по обоим углам^, ф и полный КО определяются выражениями:

А%>

4(тг£>).

3/2 X ои ds 1.

0 ^СХРГК" Ds 1 erf v Ds.

В.29а).

2 erf к/ l + ch.

Г ry^ i 2 .iK ехр vK, erf.

I2W3) '.

— exp v К у erf.

B.29b).

2 — v'3 v. ^ «/.

Здесь s = ctпуть, пройденный фотоном за время t от момента влета в среду до вылета из неёerf (v)~ нормированный интеграл ошибок. Если в (В.29а) положить к = 0, то интеграл вычисляется аналитически и мы получаем выражение (В.28) для полной ФО от консервативной среды. Выражение для полного коэффициента обратного рассеяния зависит от величин Дк и С, 0 посредством всего единственного параметра оа = D/kQ. При относительно сильном поглощении ао < 1. В этом случае большинство с 3 фотонов поглощается прежде, чем успевает вылететь из среды. Наоборот, если поглощение не велико, то величина <за «1. В этом случае значительная часть фотонов успевает до поглощения отклониться на угол | С 1> Со и вылететь обратно из вещества: 1.

— ехр 2 .' П к v.

3, ^ —1 /4 если сн «1,.

В.29с).

1 —. (ст), если, а «1.

Из (В.29с) видно, что с уменьшением а&bdquoкоэффициент отражения экспоненциально стремится и нулю. В случае сго «1 альбедо очень медленно возрастает, стремясь к своему предельному значению wref (au —> оо) = 1 для случая консервативной среды. Таким образом, в рамках малоуглового диффузионного приближения в пространстве углов, проблема отражения от полубесконечной среды решена полностью.

Если индикатриса рассеяния убывает с увеличением угла однократного рассеяния у медленнее, чем у" 4, т. е. чем индикатриса резерфордовского вида, то приближение Фоккера — Планка оказывается не применимым. В этом случае, нужно решать интегро-дифференциальное уравнение переноса (В.6), которое при скользящих углах распространения фотонов представляет собой уравнение с ядром типа свертки:

С ^¿-Ф) = (к + а)/ + а] feWxte — О2 + (Ф' - ф)2)l (zС, ф') (В.30).

UZ, —СО—СО.

Обобщение результата Фирсова для случая медленно спадающих индикатрис степенного вида.

V<1) (В31) в квазидиффузионном приближении, когда считается, что «yeff и | С, |» ycff, а параметр v < 1, найдено в работе B.C. Ремизовича [47]. Для таких индикатрис собственные угловые функции Фх (0 уравнения (В.30) имеют значительно более сложный вид, чем в рамках диффузионного приближения. Они выражаются в виде не вычисляемых аналитически квадратур. Поэтому оказывается существенно более сложным и само уравнение для ФО зГ’Аеие.):

К|?Г)(1СРС.)Ф1(1С1^)=/"С.Ф1(-С"-у) — (о ?/,<�") (В.32).

В квазидиффузионном приближении угловой спектр упруго-отраженного излучения, найденный в [47], существенно зависит от параметра рассеивающей среды V, который определяет быстроту убывания индикатрисы рассеяния с увеличением угла однократного рассеяния у:

Формула (В.ЗЗ) позволяет решать обратную задачу теории переноса: по известному угловому спектру отраженного излучения можно определить значение параметра V, который определяет рассеивающие свойства среды.

Существует большое число приближенных методов расчета полей излучения, в которых не используется предположение о малости угла однократного рассеяния. Некоторые из этих методов были развиты значительно раньше, чем теория малоуглового отражения света. Кратко остановимся на некоторых из них.

В ряде случаев не требуется полной информации об угловом спектре отраженного излучения. Например, при расчете только полного коэффициента отражения (В.7) достаточно определить лишь выходящий через его верхнюю границу поток излучения (В.9). Одним из наиболее простых и известных методов расчета нисходящих и восходящих потоков излучения при освещении плоского слоя вещества бесконечно широким световым источником является двухпотоковое приближение, разработанное Шустером в 1905 г. [48], которое было развито и использовано Шварцшильдом [49] - так называемое приближение Шварцшильда — Шустера. Основная идея двухпотокового приближения состоит в том, чтобы, минуя расчет интенсивности излучения.

В.ЗЗ) т-р, ф) из точного интегро-дифференциалъного уравнения переноса (В.6), сразу сформулировать приближенные дифференциальные уравнения непосредственно для нисходящего j (z) и восходящего yt (z) потоков светового излучения. Однако, последовательно развить эту процедуру не удается, так как коэффициенты получающихся уравнений являются некоторыми функционалами a’priori неизвестной интенсивности света /(z-ju, ф). Таким образом, главная трудность двухпотокового приближения состоит в наиболее удачном способе задания коэффициентов уравнений для восходящего и нисходящего потоков. Коэффициенты уравнений выбираются эмпирически, путем сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными или результатами численного решения уравнения переноса. Справедливости ради следует отметить, что, поскольку этот простейший подход к решению задач теории переноса развивался десятилетия с участием многочисленных исследователей, его можно считать достаточно законченным, а искусство подбора соответствующих коэффициентов достигло виртуозного мастерства [10,50]. (До этого места литература расставлена по новому списку).

Для увеличения точности расчетов целесообразно предварительно из общего светового поля выделить нерассеянное излучение ~5(П-П0), т. е. фактически вычислять диффузное поле излучения, которое формируется фотонами, испытавшими хотя бы одно рассеяние, приведшее к изменению направления их движения: т-ц, ф|р0) = /08(р0 — р) б (ф — ф0) ехр (- т/ц0) ¦+ /(/" -)(т-р, ф|'р0) (В.34) Первое слагаемое в (В.34) определяет нерассеянное излучение /(плх) на оптической глубине т при падении светового потока в направлении (р0- ф0) на поверхность вещества. Нерассеянное излучение определяется только теми фотонами, которые достигли оптической глубины т ни разу не изменив направление своего движения. Для вычисления нисходящего и восходящего световых потоков У|'у)(т) и т) достаточно знать диффузно — рассеянное излучение T (/j/)(t-jlx), проинтегрированное по азимуту:

2 л.

7(w)(x-n)= 1/(№)(Х-Ц, ФМР (В.35) о.

Уравнение переноса для величины 7(№)(х-р) имеет вид:

ЭГ (^(т-р) + r (nf) = Л ^^ ц) Г («/)(т-,)+ /оЛ%(Цо ^ (в.36).

ЭхI.

T (ZJ/)(x = 0- р > О) = 0- Гт (т -> °ор < 0) = О (В.37).

Здесь топтическая глубинаЛ — вероятность выживания кванта: t = (g + k) zЛ = ~—- (В.38).

СГ+ к р' -> р) — индикатриса рассеяния, проинтегрированная по азимуту: р' р) = /.