Разностные методы решения нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка

Актуальность темы

Математическое моделирование многих процессов приводит к изучению нестандартных начально-краевых, прямых и обратных задач для уравнений в частных производных, не имеющих аналогов в классической математической физике.

Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют уравнения третьего и более высоких порядков. Например, вопросы фильтрации жидкости в пористых средах, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопе-репоса в почвогрунтах приводят к модифицированным уравнениям диффузии, которые являются уравнениями в частных производных гиперболического типа третьего порядка [5,9,68,73−76,80,81]. Поэтому изучение краевых задач для уравнений третьего и высокого порядков привлекали внимание многих исследователей [8,10−12,19,26−31,37,38.41,42,46,52,60,61,71,76,77,80−90].

Одним из направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными является постановка новых задач по краевым условиям и поиск методов решения поставленных задач. Последние годы интерес многих математиков вызывают задачи, названные нелокальными.

К первым работам с неклассическими граничными условиями относятся, по-видимому, работы J.R.Canon [86], Камынина Л. И. [25] и Чудновского А. Ф. [71,72]. Современное естествознание, в основном физические приложения. потребовали дальнейшего развития неклассических краевых задач и, в первую очередь, задач с нелокальными условиями. Естественность постановки задач, когда краевые условия представляют собой соотношение между значениями неизвестной функции, вычисленной в различных точках границы, отмечается в работе В. А. Стеклова [64].

Особый интерес в теории дифференциальных уравнений представляют краевые задачи с интегральными условиями, которым и посвящена данная диссертационная работа. Заметим, что из физических соображений условия такого вида совершенно естественны и возникают при математическом моделировании в тех случаях, когда невозможно получить информацию о происходящем процессе на границе области его протекания с помощью непосредственных измерений или же когда возможно измерение лишь некоторых усредненных (интегральных) характеристик искомой величины (см. например, [71]). Так, задачи с интегральными условиями могут служить математическими моделями физических явлений, связанных, например, с задачами, возникающими при изучении физики плазмы, при изучении движения почвенной влаги в капиллярно-пористых средах. На задачи подобного типа, как качественно новые и возникающие при решении современных проблем физики, указывает в своей обзорной статье А. А. Самарский [56] и приводит постановку задачи с интегральным условием для уравнения теплопроводности как пример одной из таких задач.

Различные классы нелокальных задач для дифференциальных уравнений с частными производными изучались в работах [7,10—18,20—29,36,39—42, 44,45,47−51,62,69,70,77−79].

В настоящее время весьма активно изучаются и вызывают большой практический и теоретический интерес исследования локальных и нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений из-за того, что прикладные задачи физики, механики, биологии сводятся к таким уравнениям.

Локальные и нелокальные краевые задачи для уравнений третьего порядка исследуются в работах Шханукова М. Х. [73—77]. В одной из его работ [73] построен аналог функции Римана для уравнения.

L (u) = urxt + d (x, t) ut + 7](х, + а (х, t) uT + Ъ (х, t) u = -q (x, t) (0.1) с достаточно гладкими коэффициентами. С помощью метода функции Римана решена задача Гурса, на основе которого решаются как уже известные, так и новые граничные задачи. Отметим, что в данной диссертаций используется этот метод для решения нелокальных краевых задач.

Методу Римана для псевдопараболических уравнений также посвящены работы [10−12.19,26,28,37,38,52,60].

А.М.Нахушев [43—46| указал примеры практического применения результатов исследования краевых задач с интегральными условиями при изучении процессов влагопереноса в пористых средах и в задачах математической биологии.

Гордезиани Д.Г. в ряде своих работ [14,15] для решения нелокальных задач использовал иной подход, который заключается в сведении нелокальных задач к локальным с помощью итерационного метода. При этом дается оценка скорости сходимости итерационного процесса.

Нелокальные задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка также были рассмотрены в работах [26—29,41,42,75], а в работе [62] построен аналог функции Римана для псевдопараболических уравнений высокого порядка и с его помощью изучены краевые задачи с общим нелокальным условием А. А. Самарского.

Теории устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности с нелокальным условием посвящены работы Е. И. Моисеева и Н. И. Ионкина, В. А. Ильина и Е. И. Моисеева, А. В. Гулина и В. А. Морозовой, Д.М. Довле-това, B. J1. Макарова, А. Ю. Мокина, В. А. Ионкина и Н. Зидова и др.

Цель работы. Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию нелокальных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка с переменными коэффициентами и разработке разностных методов их решения. Отдельно рассмотрены случаи одномерных и многомерных нелокальных краевых задач. Поставленные и исследованные в данной работе задачи характерны тем, что содержат в краевых условиях нслокаль-ность по времени, впервые изученный А. И. Кожановым [29]. В его работе рассматривается нелокальная краевая задача для уравнения.

Lv{v) = щ ~ ихх — vuxxt + с{х, t) u = q (x, t) удовлетворяющее условиям u (0, t) = cx (t)u (1, t) + h (t, т) и (1, r) dr, 0 < t < T, о х (М) = о, о<t<T, u (x, 0) = щ (х), 0 < x < 1.

Заметим, что данное уравнение при и > 0 есть уравнение Аллера, при v = 0 — уравнение теплопроводности. Подобные задачи встречаются при изучении обратных задач, а также при изз^чении физических процессов с учетом эффекта памяти.

Общая методика исследования. В работе используется метод функции Римана для гиперболических уравнений третьего порядка, теория интегральных уравнений, дифференциальных уравнений с частными производными, метод априорных оценок в дифференциальной и разностной трактовках.

Научная новизна. Исследованы новые нелокальные краевые задачи для псевдопараболических уравнений третьего порядка общего вида с переменными коэффициентами как в одномерномтак и в многомерном случаях. Для рассматриваемых краевых задач построены разностные схемы, получены априорные оценки, откуда следует устойчивость, а также сходимость разностных схем. Для первой краевой задачи для псевдопараболических уравнений с переменными коэффициентами в многомерной области построены векторные аддитивные разностные схемы полной аппроксимации, доказана устойчивость разностных схем по начальным данным и правой части.

Практическая и теоретическая значимость. Несмотря на то, что диссертационная работа носит в основном теоретический характер, ее результаты могут получить хорошую физическую интерпретацию, могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для псевдопараболических уравнений, а также для решения прикладных задач, описывающих процессы водно-солевого режима почвогрунтов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем диссертации составляет 160 страниц.

Список литературы

содержит 105 наименований.

1. Абрашин В. И. Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1990. Т. 26. № 2. С. 314−323.

2. Абрашин В. Н., Вабишевич П. Н. Об одном классе экономичных разностных схем решения многомерных задач математической физики // ДУ. 1998. Т.34. С. 1666−1674.

3. Абрашина Жадасва М. Г., Романова Н. С. Многокомпонентные векторные схемы расщепления для решения многомерных задач математической физики // ДУ. 2006. Т. 42, № 7.С. 883−894.

4. Андреев В. Б. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений. // ЖВМ и МФ. 1968. Т.8. т. С. 1218−1231.

5. Ахаев С. С., Гусейнов О. М. О фундаментальном решении одной краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка. // —Азерб. унив-т. Баку. 1983. —9 с.

6. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1982. -336 с.

7. Бицадзе А. В. К теории нелокальных краевых задач, j j ДАН СССР. 1984. Т.277. Ж. С. 17−19.

8. Бицадзе Л. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач. // ДАН СССР. 1969. Т.185. № 4. С. 739−740.

9. Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П. Теория волн. —М.: Наука. 1990. -432 с.

10. Водахова В. А. Краевая задача с нелокальным условием A.M. Нахуше-ва для одного псевдопараболического уравнения влагопереноса. // ДУ. 1982. Т.18. Ш. С. 280−285.

11. Водахова В. А. Об одной краевой задаче для уравнения третьего порядка с нелокальным условием А. М. Нахушева.//ДУ. 1983. Т.19. № 1. С.163−166.

12. Водахова В. А. Задача Гурса для обобщенного уравнения влагопереноса. // Сборник научных трудов (межведомственный) «САПР и АСПР в Мелиорации». -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 74−80.

13. Гайсина Л. Р. Нелокальная задача с интегральным условием. // Математическое моделирование и краевые задачи. Труды Всероссийской научной конференции. —Самара: Изд. СамГТУ. 2004. С. 54−56.

14. Гордезаани Д. Г. О методах решения одного класса нелокальных краевых задач. // Препринт института прикладной математики при ТГУ. -Тбилиси. 1981.

15. Гулин А. В., Ионкин Н. И., Морозова В. А. Об устойчивости нелокальной двумерной разностной задачи. // ДУ. 2001. Т.37. № 7. С. 926−932.

16. Данилкина О. Ю. Нелокальная задача с интегральным условием для уравнения теплопроводности. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 99 -101.

17. Довлетов Д. М. О нелокальной краевой задаче первого рода в дифференциальной и в разностной трактовках. // ДУ. 1989. Т.25. jr-8. С. 12 971 307.

18. Жегалов В. И. Миронов А.И. Дифференциальные уравнения со старшими частными производными. // —Казань.: Изд. Казанское математическое общество. 2001. —226 с.

19. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода. // ДУ. 1988. Т.24. № 5. С. 795−804.

20. Ионкин Н. И. Решение одной краевой задачи в теории теплопроводности с нелокальными краевыми условиями. // ДУ. 1977. Т.13. № 2. С. 294−304.

21. Ионкин Н. И. О равномерной сходимости разностной схемы для одной нестационарной нелокальной краевой задачи. //Актуальные вопросы прикладной математики. —М.: Изд-во МГУ 1989. —240 с.

22. Ионкин Н. И., Зидов И. Устойчивость в С разностных схем для одной неклассической задачи. // Вест. Моск. ун-та. Сер.15. Выч. матем. и ки-берн. 1982. Ш. С. 8−16.

23. Ионкин И. И., Моисеев Т. И. Решение задачи Геллерстедта с нелокальными краевыми условиями. // Доклады РАН. Математика. 2005. Т.400. № 5. С. 592−595.

24. Камынин Л. А. Об одной краевой задаче теории теплопроводности с неклассическими граничными условиями. // ЖВМ и МФ. 1964. Т.4. № 6. С. 1006−1024.

25. Канчукоев В. З., Шхануков М. Х. Краевые задачи для модифицированного уравнения влагопереноса и сеточные методы их решения. // ДУ.

26. Кирсанова Ж. Т., Нахушева Ф. М. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. № 2. С. 31−37.

27. Кожлтов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера. // ДУ. 2004. Т.40. т. С. 763−774.

28. Ко’жанов А. И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДАН СССР. 1979. Т.249. № 3. С. 536−540.

29. Кожанов А. И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка. // ДУ. 1980. Т. 16. т. С. 86−92.

30. Кошляков Н. С. Глинер Э.Б., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. —М.: Физматгиз. 1962. —767 с.

31. Краснов M.JI. Интегральные уравнения. —М.: Наука. 1975. —304 с.

32. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир. 1964. —632с.

33. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. —М.: Наука. 1973. -407 с.

34. Макаров В. Л. Разностные схемы для квазилинейных уравнений параболического типа с нелокальными краевыми условиями в классе обобщенных решений. // Численные методы и приложения 84. София, 1985. С. 82−90.

35. Макеев В. И. Построение функций Римапа для дифференциальных уравнений третьего порядка и их применение. // Труды тринадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2003. Ч.З. С. 114−117.

36. Миронов А. Н. О построении функции Римана для одного уравнения в n-мерном пространстве. // Изв. Вузов. Математика. 1999. № 7. С. 78−80.

37. Митрополъский Ю. А., Шхануков М. Х., Березовский А. А. Об одной нелокальной задаче для параболического уравнения, j j Укр. мат. журнал. 1995. Т.47. т. С. 790−801.

38. Мокин А. Ю. Согласованность норм при исследовании разностных схем для задачи Самарского-Ионкина. // ДУ. 2006. Т.42. № 7. С. 969−978.

39. Напсо А. Ф. Задача с внутренними условиями для псевдоиараболическо-го уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2001. Т.З. № 4. С. 36−39.

40. Напсо А. Ф., Канчукоев В. З. Нелокальная задача с внутренним условием для нагруженного псевдопараболического уравнения. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. № 2. С. 44−49.

41. Haxyuiee A.M. Уравнения математической биологии. — М.: Высшая школа. 1995. -301 с.

42. Нахушев A.M. Нелокальная задача и задача Гурса для нагруженного уравнения гиперболического типа и их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДАН СССР. 1978. Т.242. № 5. С. 1008−1011.

43. Нахушев A.M. Краевые задачи для нагруженных интегродифференциальных уравнений гиперболического типа и некоторые их приложения к прогнозу почвенной влаги. // ДУ. 1979. Т.15. № 1. С. 96−105.

44. Нахушев A.M. Об некоторых способах идентификации математической модели динамики грунтовой воды и почвенной влаги. // Сборник научных трудов (межведомственный) «САПР и АСПР в Мелиорации». -Нальчик. КБГУ. 1983. С. 3−20.

45. Олисаев Э. Г., Лафишева М. М. О сходимости разностной схемы для уравнения параболического типа с нелокальным условием в цилиндрических координатах. // Владикавказский математический журнал. 2002. Т.4. .№ 2. С. 50−56.

46. Пулъкина Л. С. О разрешимости в Ь2 нелокальной задачи с интегральными условиями для гиперболического уравнения. // ДУ. 2000. Т.36. .№ 2.

47. Пул ъкина Л. С. Об одном классе нелокальных задач и их связи с обратными задачами. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». —Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 190−192.

48. Пулькина Л. С., Климова Е. Н. Нелокальная краевая задача для нелинейного уравнения колебания струны. // Труды Третьей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». -Самара.: Изд-во СамГТУ. 2006. Ч.З. С. 192−195.

49. Сабитов К. Б. Уравнения математической физики. —М.: Высшая школа. 2003. -255 с.

50. Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для уравнений параболического типа. // ЖВМ и МФ. 1963. Т.З. № 2. С. 266−298.

51. Самарский, А А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений. // ДУ. 1980. Т.16. № 11. С. 1925;1935.

52. Самарский А. А., Вабишевич П. Н., Мат ус П. П. Устойчивость векторных аудитивных схем // Докл. РАН. 1998. Т. 361. № 6. С. 746−748.

53. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. —М.: Наука. 1973. -415 с.

54. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука. 1978. -589 с.

55. Севастьянов В. А. Метод Римана для трехмерного гиперболического уравнения третьего порядка. // Изв. Вузов. Математика. —Казань. 1997. № 5. С. 69−73.

56. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели процессов переноса в системах с фрактальной структурой. —Нальчик: Изд. КБНЦ РАН. 2002. -144 с.

57. Солдатов А. П., Шхануков М. Х. Краевые задачи с общим нелокальным условием Самарского А. А. для псевдопараболических уравнений высокого порядка. // ДАН СССР. 1987. Т.297. № 3. С. 547−552.

58. Смирнов М. М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. —М.: Наука. 1964. —206 с.

59. Стеклов В. А. Основные задачи математической физики. —М.: Наука. 1983. -432 с.

60. Соболев С.JI. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1992. -431 с.

61. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. —М.: Наука. 1966. -724 с.

62. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз. 1960. -656 с.

63. Хилькевич Г. И. Аналог принципа Сен-Венапа, задача Коши и первая краевая задача в неограниченной области для псевдопараболических уравнений. // УМН. 1981. Т.36. № 3. С. 229−230.

64. Худалов М. З. Нелокальная краевая задача для нагруженного уравнения параболического типа, j j Владикавказский математически й журнал. 2002. Т.4. т. С. 59−64.

65. Чудновскии А. Ф. Некоторые коррективы в постановке и решении задач теплои влагопереноса в почве. // Сб. трудов АФИ. 1969. № 23. С. 41−54.

66. Чудновскии А. Ф. Теплофизика почв. —М.: Наука. 1976. —352 с.

67. Шхануков М. Х. Исследование краевых задач для одного класса уравнений третьего порядка методом функции Римана. // Сообщения АН СССР. 1983.

68. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка и экстремальных свойствах его решений. // ДУ. 1983. Т. 19. № 1. С. 145−152.

69. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнения третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах. // ДУ. 1982. Т.18. № 4. С. 689−699.

70. Шхануков М. Х. Об одном методе решения краевых задач для уравнении третьего порядка. // ДАН СССР. 1982. Т.265. № 6. С. 1327−1330.

71. Шхануков М. Х. Об устойчивости разностных схем, аппроксимирующих нелокальные задачи типа Бицадзе-Самарского. // Докл. АМАН. 1994. С. 38−43.

72. Шхануков М. Х., Абрегов М. Х. О сходимости разностных схем для одного класса нелокальных задач и их приложения к автоматизированным системам. // -Нальчик. 1989. С. 275−283.

73. Шхануков М. Х. Олисаев Э.Г. Об одной нелокальной задаче для уравнения теплопроводности в сферической и цилиндрической системах координат // Вестник СОГУ. Серия — Естественные науки. 1999. Т.1. № 1. С. 70−71.

74. Янгарбер В. А. Сеточная схема для решения модифицированного уравнения влагопереноса. // Докл. BACXHHJI. 1966. № 8.

75. Hallaire М. L’eau et la production vegetable. // Institut National de la Recherche Agronomique. 1964. № 9.

76. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqueness, and nonexistence theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip. // Arch. Rat. Mech. Anal.,.

77. Cotton D.L. Pseudoparabolic equations in one space variable. // J. Different, equations. 1972. Vol.12, p. 559−565.

78. Cotton D.L. Integral operators and the first initial-boundary value problems for pseudoparabolic equations with analytic coefficients. // J. Different equations. 1973. Vol.13, p. 506−522.

79. Calistry N. On the existence and asymptotic behavior of the solution of a boundary value problem, j j Analele stiinfiface ale Universitatis «Al. J. Cuza». Jaci Tomul. 24, S.J. a.f. 1978. p. 135−140.i.

80. Canon J.R. The solution of the heat equation subject to the specification of energy, // Quart. Appl. Math. 1963, 21, -2, p.155−160.

81. Lanckau Eberhard Zur behandlung pseudoparabolisher differential gleichun-gen mit functionen theoretischen Methoden. «Beitr. Anal». 1981. Vol.16., p. 96−97.

82. Stecher M., Rundell V. Maximum principles for pseudoparabolic partial differential equations. // J. Math. Anal. Appl. 1977. Vol.57, p. 110−118.

83. Rundell W. The construction of solutions to pseudoparabolic equations non-cylindrical domains. // J. Different equations. 1978. Vol.28, p. 394−404.

84. Showalter R.E., Ting T. Pseudoparabolic partial differential equations. // Siam. J. Math. Anal. 1970. Vol.1, p. 1−26.

85. Бештоков М. Х. Об одной нелокальной краевой задаче для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Тематический сборник научных трудов «Математическое моделирование и краевые задачи». —Нальчик. 2006. С. 4−8.

86. Бештоков М. Х. Об одной априорной оценке решения нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка. // Сборник научных трудов молодых ученых. —Нальчик. 2006. С. 339−341.

87. Бештоков М. Х. О сходимости разностной схемы нелокальной краевой задачи для псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами. // Известия КБНЦ РАН. —Нальчик. 2006. № 2. (16). С. 86−93.

88. Бештоков М. Х. О сходимости разностных схем, аппроксимирующих третью краевую задачу для уравнения гиперболического типа в многомерной области с нелокальным краевым условием. // Известия КБНЦ РАН. -Нальчик. 2007. № 3 (19). 4.1. С. 88−96.

89. Бештоков М. Х. Нелокальные краевые задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Доклады АМАН. —Нальчик. 2007. Т.9. № 1. С. 22−25.

90. Бештоков М. Х. Метод функции Римана и разностный метод решения одной нелокальной краевой задачи для уравнения третьего порядка гиперболического типа. // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. — Ростов. 2007. Ш. С. 6−9.