Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях

При решении многих задач теории упругости, физики, аэродинамики, гравиметрии, теории оболочек, электродинамики и др. приходится сталкиваться с сингулярными интегральными уравнениями (с.и.у.) [41,42,43,62] В связи с тем, что точные решения известны только для очень немногих классов с.и.у., возникает необходимость в разработке численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Приближенным методам вычисления сингулярных интегралов и решения сингулярных интегральных уравнений посвящены многочисленные работы, среди которых в первую очередь следует указать на монографии [31,42,54,60,61].

Начиная с тридцатых годов нашего столетия численные методы решения с.и.у. стали активно развивающимся напралением вычислительной математики.

Фундаментальный вклад в становление и развитие приближенных методов решения с.и.у. внесли такие ученые как Бабаев А. А, Белоцерковс-кий С.М., Бойков И. В., Гохберг И. Ц., Джишкариани A.B., Иванов В. В., Каландия А. И., Лаврентьев М. А., Лаврентьев М. М., Лифанов И. К., Маль-сагов С.М., Шешко М. А., Аткинсон К. Е., Голберг М., Иоакимидис Н., Пресдорф 3., Шмидт Г. и многие другие.

В диссертации строятся и обосновываются вычислительные схемы приближенного решения с.и.у. в исключительных случаях, а также предлагается несколько численных методов приближенного решения задачи аналитического продолжения на плоскости и в пространстве.

Диссертация состоит из введения, трех глав и приложения.

1. Бабаев A.A., Садырханов P.C. Об одном квадратурном процессе для особого интеграла и его приложении. — ДАН СССР, 1974, т.214, N 4, с.743−746.

2. Бабаев A.A., Мальсагов С. М., Салаев В. В. Обоснование метода квадратур для нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядром Гильберта // Уч. зап. Азерб. ун-та. Сер. физ.-мат. наук. -1971. N 1. — С. 13−33.

3. Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. М.: Наука, 1965. — 244 с.

4. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Некоторые сингулярные интегральные уравнения аэродинамики. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 9, с.1539−1547.

5. Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985, — 256с.

6. Бойков И. В. Об одном исключительном случае сингулярных интегральных уравнений.//Применение вычислительных методов в научно-технических исследованиях. Пенза: Издательство Пенз. политехи, ин-та, 1984, с.3−11.

7. Бойков И. В. Оптимальные по точности алгоритмы вычисления сингулярных интегралов. Саратов.: Изд-во Сарат. гос. ун-та, 1983, — 210с.

8. Бойков И. В. Оптимальные методы вычислений в задачах автоматического регулирования. Пенза: ППИ, 1983. — 96 с.

9. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 1. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. — 214 с.

10. Бойков И. В. Пассивные и адаптивные алгоритмы приближенного вычисления сингулярных интегралов. Часть 2. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1995. -128 с.

11. Бойков И. В., Добрынина Н. Ф., Домнин Л. Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996. — 188 с.

12. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Об одном приближенном методе решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях // Вопросы мат. анализа: Сб. научных статей. Вып. 2. Красноярск: Изд-во КГТУ, 1997, с. 3−11.

13. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения в пространстве // Геофизика и математика. Материалы 1-й Всероссийской конференции. Москва, ОИФЗ РАН, 1999, с. 21−24.

14. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Применение интегральных уравнений с интегралами типа Коши для продолжения потенциальных полей // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 5−6.

15. Бойков И. В., Крючкова О. А., Кудряшова Н. Ю., Мойко Н. В. Оптимальные методы вычисления интегралов типа Коши // Кубатурные формулы и их приложения: Тез. докладов V Международного семинара-совещания. Красноярск: КГТУ, 1999, с. 6.

16. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Метод сингулярных интегральных уравнений в задачах аналитического продолжения. Киев. — Геофизический журнал. — Т. 22, N 1, 2000.

17. Бойков И. В., Кудряшова Н. Ю. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений в исключительных случаях. Дифференциальные уравнения. — N 9, 2000.

18. Бойков И. В., Жечев И. И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений. В кн.: Сб. асп. раб. Точные науки. — Казань: Изд-во Каз. гос. ун-та, 1972, с. 169−174.

19. Бойков И. В., Жечев И. И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на замкнутых контурах интегрирования // Исследования по прикладной математике. Казань: Изд-во КГУ, 1973. — Вып. 2. — С. 3−17.

20. Бойков И. В., Жечев И. И. Приближенное решение сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на разомкнутых контурах интегрирования / / Приложение функционального анализа к приближенным вычислениям. Казань: Изд-во КГУ, 1974. — С. 21−28.

21. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений I (линейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1973, т. 9, N 8, с. 1493−1502.

22. Бойков И. В., Жечев И. И. К приближенному решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений II (нелинейные уравнения). -Дифференциальные уравнения, 1975, т. 11, N 3, с. 562−571.

23. Векуа Н. П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. М.: Наука, 1970. — 380 с.

24. Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных перменных. М: Наука, 1964.

25. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 576 с.

26. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963, 640 с.

27. Гахов Ф. Д., Черский Ю. И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. — 296 с.

28. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. — 352 с.

29. Гравиразведка // Под редакцией Е. А. Мудрецовой, М: Наука, 1981. 397 с.

30. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений коллокационными методами // ЖВМ и МФ. 1981. — Т. 21, N 2. -С. 355−362.

31. Джишкариани A.B. К решению сингулярных интегральных уравнений приближенными проекционными методами // ЖВМ и МФ. 1979. — Т. 19, N 5. — С. 1149−1161.

32. Жданов М. С. Аналоги интегралов типа Коши в теории геофизических полей. М: Наука, 1984, 328 с.

33. Иванов В. В. О применении метода моментов и смешанного метода к приближенному решению сингулярных интегральных уравнений// ДАН СССР. 1957. — Т. 114, N 5. — С. 945−948.

34. Иванов В. В. Приближенное вычисление сингулярных интегралов//Труды Новочеркас. политехнич. ин-та. 1958. — Т. 67 (81). — С. 75−86.

35. Иванов В. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутых контуров интегрирования // ДАН СССР. 1956. — Т. 11, N 5. — С. 933−936.

36. Иванов В. В. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. //Математический анализ, 1963 (Итоги науки и техники), М.: ВИНИТИ, 1965, с. 125−177.

37. Иванов В. В. Приложение теории краевых задач и сингулярных интегральных уравнений в теории автоматического управления. Дифференциальные уравнения, 1965, т.1, N 8, с.1099−1107.

38. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. — 287 с.

39. Каландия А. И. О приближенном решении одного класса сингулярных интегральных уравнений // ДАН СССР. 1959. — Т. 125, N 4. — С. 715−718.

40. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функцианальный анализ. М: Наука, 1984, 750 с.

41. Коган Х. М. Об одном интегро-дифференциальном уравнении. -Дифференциальные уравнения, 1967, т. З, N 2, с.278−293.

42. Кудряшова Н. Ю. Приближенное решение задачи аналитического продолжения с помощью разностных методов. Пенза, 2000. — 8 с. — Библ. И назв. — Рус. — Деп в ВИНИТИ 31.10.00, N 2743-ВО.

43. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы. В кн.: Труды ГАЦИ, 1932, т. 118 с. 3−56.

44. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Физматгиз, 1958.

45. Лаврентьев М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //УМН. 1979, Т.34, N 2, с. 143.

46. Лаврентьев М. М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений. //Сиб. мат. журн., 1980, Т.21, N 3, с.225−228.

47. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатских С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа М: Наука, 1980. — 288 с.

48. Лифанов И. К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши // ДАН СССР. 1978. -Т. 239, N 2. — С. 265−268.

49. Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей. //Прикладная математика и механика. 1979, — т. 43, N 1, — с. 184−188.

50. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент Москва: ТОО «Янус» , — 1995. — 520 с.

51. Лифанов И. К., Полонский Я. Е. Обоснование численного метода «дискретных вихрей» решения сингулярных интегральных уравнений // Прикладная математика и механика. 1975. — Т. 39, N 4. — С. 742−746.

52. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965, 520 с.

53. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. — 254 с.

54. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968, 512 с.

55. Обломская Л. Я. О методах последовательных приближений для линейных уравнений в банаховых пространствах // ЖВМ и МФ, 1968. -Т. 8, N 2. с. 417−426.

56. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М: Мир, 1979. — 494 с.

57. Пыхтеев Г. Н. Приближенные методы вычисления интегралов типа Коши специального вида. Новосибирск: Сиб. отделение: Наука, 1982. -128 с.

58. Солодовников В. В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления. М.: Физматгиз, 1960.

59. Старостенко В. И., Кислинская O.A. Интеграл Шварца для полосы и его приложения в геофизике // Доклады Академии Наук Украины, 1993, N 10, с. 126−129.

60. Страхов В. Н. К теории плоской обратной задачи магнитного потенциала при переменной намагниченности // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 3, с. 44−58.

61. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской обратной задачи магнитного потенциала // Изв. АН СССР, 1970, N 9, с. 31−41.

62. Страхов В. Н. Некоторые вопросы плоской задачи гравиметрии // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1970, N 12, с. 32−44.

63. Фукс Б. А. Теория аналитических функций многих комплексных переменных. М: Физматгиз, 1962.

64. Хачай О. А., Цирульский А. В. Об интерпретации повысотных аэромагнитных наблюдений // Изв. АН СССР. Физика Земли, 1988, N 12, с. 47−56.

65. Цирульский А. В. О связи задачи аналитического продолжения логарифмического потенциала с проблемой определения границ возмущающей области //Изв. АН СССР, серия геофиз., 1964, N 11, с. 1646−1693.

66. Чибриков JI.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. — 302 с.

67. Шешко М. А. О методах приближенного решения сингулярных интегральных уравнений. Докл. АН БССР, 1977, т.21, N 12, с.1067−1069.

68. Шешко М. А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений первого рода // Дифференциальные уравнения. 1977. — Т. 13, N 8. — С. 1493−1502.

69. Шешко М. А. Двухмерные сингулярные интегральные уравнения первого рода с ядрами Коши. Дифференциальные уравнения, 1981, т.17, N 8, с. 1518−1521.

70. Шешко М. А. К численному решению сингулярных интегральных уравнений в случае разомкнутого контура // Изв. АН БССР. Сер. физ.- мат. наук. 1975. — N 1. — С. 29−36.

71. Шокамолов И. О приближенном вычислении повторных интегралов, содержащих интеграл типа Коши или сингулярный интеграл специального вида // Изв. АН Тадж. ССР. Отд. физ.-мат. и геол.-хим. н. 1978. N 2. С. 8−15.

72. Atkinson К.Е. The Numerical Evaluation of the Cauchy Transform on Simple Closed Curves // Society for Industrial and Applied Mathematics. -Journal on Numerical Analysis. 1972, — V. 9. — P. 284−299.

73. Delves L.M., Abd Elal L.F., Hengry J.A. A fast Galerkin algoritm for singular integral equations // JIMA. — 1979. — V. 23. — P. 139−166.

74. Ehskoq D. Acta Math., Z. Journ., 1930.

75. Elliot D. The Approximate Solution of Singular Integral Equations // Solution Methods for Integral Equations. Theory and Applications. — 1979. P. 83−107.

76. Golberg M.A. Galerkins Method for Operator Equations with Nonnegatie Index With Application to Cauchy Singular Integral Equations //J. Math. Anal, and Appl. — 1983. — N 91. — P. 394−409.

77. Golberg M.A., Lea M., Miel G. A Superconvergence Result For the Generalized Airfoil Equation with Application to the Flap Problem // Journal of Integral Equations. 1982. — V. 5, N 2. — P. 175−186.

78. Ioakimidis N.I. On the Natural Interpolation Formula for Cauchy Type Singular Integral Equations of the First Kind. Computing, 1981, N 26, p. 73−77.

79. Ioakimidis N.I., Theocaris P. S. A Remark on the Lobatto Chebyshev method for the solution of singular integral equations and the evaluation of stress intensity factors. — Сердика Бълг. Мат. списание, 1980, т. 6, N 4, с. 384−390.

80. Ioakimidis N.I., Theocaris P. S. On convergence of two direct methods for solution of Cauchy type singular integral equations of the first kind. BIT, 1980, N 2, p. 83−87.

81. Jen E., Srivastav R.P. Cubic splines and approximate solution of singular integral equations. Math. Comp., 1981, v. 37, N 156, p. 417−423.

82. Junghanns P. Kollokationverfahren zur naherungsweisen Losung singular Integralgleichungen mit unstetegen Koeffizienten. Math. Nachr., 1981, v. 102, p. 17−24.

83. Michlin S.G., Prossdorf S. Singulare Integraloperatoren. Berlin, Acad. — Verl., 1980, 514 s.

84. Prossdorf S. Approximation Methods for Solving Singular Integral Equations. Berlin, 1981, Preprint, P. — Math -12/81.

85. Prossdorf S., Shmidt G. A Finite Element Collocation Method for Singular Integral Equations. //Math. Nachr. 1981, — v. 100, — p. 33−60.

86. Shmidt G. On spline collocation for singular integral equations. Preprint. P. Math. — 13/82, Berlin, 1982, 42 p.

87. Theocaris P. S., Ioakimidis N.I. A Method of Numerical Solution of Cauchy Type Singular Integral Equations with Generalized Kernels and Arbitrary Complex Singularities. — J. Comput. Physics, 1979, v. 30, p. 309 323.

88. Theqcaris P. S., Kazantzakis J.G. On the Numerical Evaluation of Two and Three — Dimensional Cauchy Principal — Value Integrals. — Acta Mechanica, 1981, N 39, p. 105−115.

89. Tsamasphyros G., Theocoris P. S., Stassinakis C.A. A numerical solution of singular integral equations without using special collocation points. Internat Journal for numerical methods in engineering, 1983, v. 19, p. 421−430.

90. Tsamasphyros G., Theocoris P. S. On the convergence of some quadrature rules for Couchy principal value and finite — part integrals. — Computing, 1983, v. 31, N 2, p. 105−114.