Асимптотика решений нелинейных дифференциальных уравнений на полуоси и её применение к некоторым проблемам вибрации и синхронизации

Многие практические задачи механики, электродинамики, оптики и другие приводят к необходимости исследования колебательных систем. Вначале такие исследования проводились в рамках небесной механики [43]. Важнейшие результаты этого периода — локальная теория периодических решений Пуанкаре-Ляпунова, теория устойчивости Ляпунова, качественная теория динамических систем па плоскости Пуанкаре-Бендиксона, теория динамических систем Биркгофа.

Бурное развитие радио и электротехники повлекло создание новых методов исследования нелинейных колебаний. Математические основы метода усреднения были заложены в работах Н. Н Боголюбова. Н. М. Крылова, Ю. А. Митропольского и многих других исследованиях киевской научной школы [15]-[40]. Значительный прогресс при анализе многомерных систем с медленными и быстрыми фазами был достигнут в работах В. М. Волосова [10]-[11]. Он проанализировал приближения второго порядка. П. П. Забрейко, И. Б. Ледовская в [13] показали, как найти пс приближения на конечном отрезке [0, j] В дальнейшем этот подход был развит в работах Л. М. Перко [48]. Д. Кеворкян [46] и Д. Морисон [47], используя идеи метода многих масштабов, нашли новые приближения и порядка. В. В. Стрыгин предложил для построения п-х приближений использовать понятия, тесно связанные с задачами механики гироскопических систем [31]-[32]. В последние годы метод усреднения нашёл применение для анализа задач вибрации [37|-[38], а также для задач параболичсского типа [14].

Большинство задач, с которыми сталкиваются инженеры, физики и специалисты в области прикладной математики, обнаруживают ряд существенных особенностей, которые не позволяют получать точные аналитические решения. Такими особенностями являются, например, нелинейности, переменные коэффициенты, границы сложной формы и т. д. Мало того, если даже точное решение задачи явно найдено, оно может оказаться бесполезным для математической и физической интерпретаций или численных расчетов. Примерами таких задач являются функции Бесселя большого порядка при больших значениях аргумента и двояко-периодические функции. Таким образом, для получения информации о решениях уравнений исследователи вынуждены обратиться к аппроксимациям, численным решениям или к сочетанию этих двух методов.

Наибольшую актуальность для практических целей представляют приближённые методы, дающие высокую и равномерную точность на всей числовой полуоси, так как, например, вибродинамика часто имеет практический интерес именно к длительным устойчивым процессам. Физическая природа таких явлений, как. например, синхронизация, подразумевает длительное наблюдение за исследуемыми объектами.

С быстрым ростом вычислительных мощностей современных компьютеров у исследователей появилась возможность корректно проводить численные эксперименты в построении приближённых решений высокой точности на очень больших отрезках. Но при разработке этих методов возникают естественные проблемы, связанные со скоростью сходимости, машинной погрешностью и т. д. Не так просто перенести на бесконечную полуось метод, успешно работающий на конечном, пусть даже на большом, отрезке!

Триста лет назад Х. Гюйгенс открыл явление синхронизации двух маятниковых часов, закреплённых на общей балке. Позже многие авторы обнаружили подобные явления в оптике, квантовой механике и т. д. Возникновение радиосвязи и электроники стимулировало бурное развитие в изучении синхронизации. Обширный обзор приложений можно найти в [23], где приведены самые разнообразные задачи из биологии, лазерной физики, акустики. Важные результаты из механики изложены в [5]-[6] И. И. Блехманом, который применил метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова для анализа динамических систем, достаточно строго поставил математические задачи о синхронизации динамических систем. В данной работе мы понимаем синхронизацию как И. И. Блехман: «Явление синхронизации состоит в том, что несколько искусственно созданных или природных объектов, совершающих при отсутствии взаимодействия колебательные или вращательные движения с различными частотами (угловыми скоростями), при наложении подчас весьма слабых связей начинают двигаться с одинаковыми, кратными или находящимися в рациональных отношениях частотами., синхронизируемые объекты рассматриваются как равноправные элементы единой автономной системы.» .

Качественно новый подход к изучению явления синхронизации был предложен профессором Стрыгиным В. В. Этот подход опирается на теорию автоколебаний и метод малого параметра Пуанкаре-Ляпунова. Предложенным методом можно исследовать синхронизацию двух колебательных систем произвольных размерностей и природы (механической, оптической, электрической и др.). С помощью метода интегральных многообразий анализ двух исходных систем произвольных размерностей сводится к анализу двух двумерных систем. В диссертации синхронизация понимается в смысле определения, впервые данного профессором Стрыгиным В.В.

Целью данной работы было обобщение некоторых асимптотических методов на бесконечную полуосьприменение этих обобщений к построению асимптотики приближённого решения для одной вибрационной задачи и к получению универсального алгоритма выявления бифуркации устойчивых синхронных автоколебаний у двух систем произвольных размерностей.

Структура работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 104 страницах машинописного текста, включая 3 рисунка и список литературы из 54 наименований.

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний/ М., 1959.

2. Бибиков Ю. Н., Плисс В. А. О существовании инвариантных торов в окрестности нулевого решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений// Дифференциальные уравнения, № 3, Т.11, 1967, с.1864−1881.

3. Боголюбов Н. Н., Митронольский 10.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний/ М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1963, 410с.

4. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко A.M. Метод ускоренной сходимости в нелинейной механике/ Киев: Изд-во «Нау-кова Думка», 1969, 245с.

5. Блехман И. И. Синхронизация динамических систем/ М.: Наука, 1971.

6. Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике/ М.: Наука, 1981.

7. Бутенин Н. В. Элементы теории нелинейных колебаний/ Л.: Суд-промгиз, 1962, 195с.

8. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущённых уравнений/ М.: Наука, 1973.

9. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений/ М.: Наука, 1990.

10. Волосов В. М Метод усреднения// Докл. Акад. Наук СССР, № 2, 1961, с. 221−224.

11. Волосов В. М. Высшие приближения усреднений// Докл. Акад. Наук СССР, 2, с. 382−385, 1961.

12. Волосов В. М. Усреднение систем обыкновенных дифференциальных уравнений// Успехи Мат. Наук, 7, № 17. с.1−126, 1962.

13. П. П. Забрейко, И. Б. Ледовская, Высшие приближения метода усреднения Боголюбова-Крылова// Докл. Акад. Наук СССР, 117, № 2, с.1453−1456, 1966.

14. М. И. Каменский, О принципе усреднения для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием// ДАН, 1994, т. 337, № 3, с. 304−306.

15. Крылов Н. М, Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику/ Киев: Изд-во АН СССР, 1930.

16. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы/ М.: Наука, 1980, 360с.

17. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения/ М.: Наука, 1966, 530с.

18. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний/ М.: изд-во технико-теоретической литературы, 1956, 491с.

19. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике/ М.: Наука, 1973, 512с.

20. Моисеев В. И. Асимптотические методы нелинейной механики/ М.: главная редакция физико-математической литературы, 1969, 379с.

21. Перов А. И. Принцип сжимающих отображений в теории нелинейных колебаний/ Учебное пособие по специальности 01050(10 200) -Прикладная математика и механика, Воронеж, изд-во ВГУ, 2005.

22. Перов А. И. Обобщённый принцип сжимающих отображений/ Вестник ВГУ, серия «Физика, Математика», 2005, № 1, с. 196−207.

23. Пиковский А. С., Розенблюм М. Г., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление/ М.:Техносфера, 2003, 493с.

24. Плисс В. А. Принцип сведения в теории устойчивости движения// Известия АН СССР, № 28. 1964, с. 1297−1324.

25. Северин Г. Ю. Асимптотика на полуоси 0, оо) одной механической системы с большими вибрациями/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт № 25, 2007, 30с.

26. Стрыгин В. В. Смена устойчивостей и бифуркация малых автоколебаний систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной// ДАН СССР, № 1, Т. 199, 1971.

27. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами// Вестник ВГУ, серия «Системный анализ и информационные технологии», 2006, № 2. С. 36−45.

28. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю., Корольков О. Г. Бифуркация малых синхронных автоколебаний двух динамических систем с близким частотами (общий случай)/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт № 24, 2007, 36с.

29. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю. Гибридный метод на полуоси 0, оо) для нелинейной сингулярно возмущённой задачи Коши с быстроос-циллирующими коэффициентами/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт № 28, 2008, 24с.

30. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных условно-периодичес-ких нерезонансных систем// Вестник ВГУ, серия «Физика, Математика», 2006, JV°1, С. 199−203.

31. В. В. Стрыгин, Об одной модификации метода усреднения при отыскании высших приближений// Прикл. Мат. и Мех. 48, No.6, 1984, с. 1042−1045.

32. Стрыгин В. В., Об асимптотическом интегрировании уравнений движения механических систем под действием быстро осциллирующих сил// Прикл. Мат. и Мех. Т53, №.3, 1989.

33. Стрыгин В. В., Северин Г. Ю. Высшие приближения метода усреднения на полуоси для нелинейных периодических и условно-периодических систем/ Воронеж, изд-во ВГУ, Препринт № 16, сентябрь 2005, 33с.

34. В. В. Стрыгин, Д. Г. Есипенко, Гибридный метод построения асимптотики для нелинейной сингулярно возмущённой задачи Коши с быстроосциллирующими условно-периодическими коэффициентами// Дифференциальные уравнения, Т.34, N.3, 1998, с 320−329.

35. Стрыгин В. В., Соболев В. А. Разделение движений методом интегральных многообразий// М.: Наука, 1988.

36. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах/ М.: Мир, 1966, 229с.

37. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 1., // Ростов-на-Дону. 2003.

38. Юдович В. И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями. Часть 2., // Успехи механики, 200G.

39. N.N. Bogolubov, Yu. A. Mitropolski, The Metod of Integral manifolds in Nonlinear Mechanics// In Contributions to Differential Equations. 2 New York, J. Wiley and Sons Inc., p. 123−196, 1963.

40. Yu. Mitropolski, Averaging Method in Nonlinear Mechanics// Int. J. Nonlinear Mechanics (2), p.69−96, 1967.

41. Delahney, M., Theorie du mouvement de la Lune, 1, 1860, 2, 1867. Memoires de l’Academie des Sciences de la France 28.

42. Fatou, P., Sur le mouvement d’un point material clans un champ de gravitation fixe/ Acta Astron. 2. 101, 1931.

43. Gauss, C.F., Determinatio attractionis quam in punctum quodvis positionis datae exerceret planeta si eius massa per totam orbitam ratione temporis quo singulae partes describuntur unifoi miter esset dispertita, Werke 3, 331−335 1818, Gottingen, 1876.

44. Kelley A. Changes of variables near a periodic surface or invariant manifold// Trans. Amer. Math. Soc., № 2, T.131,1968, p.356−364.

45. Kelley A. The stable, center-stable, center, center-unstable, unstable manifolds// J.Different. Equations, № 4, 1967, p. 546−570.

46. J. Kevorkian, The uniformly valid asymptotic representation of the solution of certain nonlinear ordinar}' differential equations/ Doctoral thesis, California Institute of Technology, Pasadena, 1991.

47. J.A.Morrison, Comparison of the modified method of averaging and the two variable expansion procedure// SIAM Rev. 8, p.66−85, 1966.

48. L.M.Perko, Higher order and related methods for perturbed periodic and quasi-periodic systems// SIAM. J. Appl: Math. 17, N№ 4 1968.

49. J.A.Sanders, F. Verhulst, Averaging methods in nonlinear dynamical systems// Springer-Verlag, New York, p.94−98, 1985.

50. V.V.Strygin, D.G.Yesippenko, Method of separation of movement and finding of higher order averaging for nonlinear systems with quasi-periodic coefficients// Nonlin. World 3 (1996), Walter de Gruyter, Berlin-New York, p.807−834, 1996.

51. V.V.Strygin, The Principles of averaging in the theory of nonlinear oscillations and the separation of movements// Z. Angew. Math. Mech. 66, №.11, p. 560−561, 1986.

52. Van der Pol, В., A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations/ Radio review, 1, p. 701−754, 1920.

53. F. Verhulst, Nonlinear differential equations and dynamical systems// Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, p.161−168, 1990.