Обобщенные интегралы и вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша

Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша, а также приложениям к решению этих вопросов некоторых сведений из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.

Изучение вопросов единственности для рядов Хаара получило активное развитие в 60−70-х годах XX века в работах М. Б. Петровской, В.А. Сквор-цова, Г. М. Мушегяна, Х. О. Мовсисяна, Ф. Г. Арутюняна, A.A. Талаляна и других. При этом рассматривались как одномерные, так и многомерные (чаще всего двумерные) ряды Хаара. В этот период времени были получены наиболее интересные результаты в данной области. Позже были получены результаты в работах тех же В. А. Скворцова, A.A. Талаляна, а также H.A. Бакаева, В. Уэйда и других. Вопросы единственности для (одномерных) рядов Уолша изучались во второй половине XX века A.A. Шнейдером, Д. Кури, В. А. Скворцовым, Н. Д. Файном, В. Уэйдом и другими. Вопросам же единственности для многомерных рядов Уолша посвящено не так много работ, среди которых можно выделить результаты С. Ф. Лукомского, полученные им в 80-е годы.

Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь небольшая часть этой теории, и об этом мы поговорим чуть позже.

Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия U-множеств и М-множеств для рядов по некоторой системе функций. Напомним, что если {fn (%)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства ®Ln, то множество, А Е S называется М-множеством для рядов Ylanfn{x), если суга ществует ряд ап/&bdquo- (ж), сходящийся к нулю вне, А и имеющий хотя бы один ненулевой коэффициент ап. Если, А Е S не является М-множеством для рядов Yjanfn (x)i то в этом случае, А называется [/-множеством для подобных рядов.

Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого ¿-/-множества к конечной функции f (x), является рядом Фурье функции f{x) относительного некоторого обобщенного интеграла, то есть коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = //(#)/&bdquo-(ж) (Их (если система {/п (^)} ~ ортонорми-рована). Известно, например, (см. [3, том 2, стр. 138]), что если тригонометрический ряд сходится к функции f (x) вне некоторого счетного множества (которое, как известно, является V-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительного некоторого интеграла, обобщающего интеграл Лебега, и называемого (М2)-интегралом. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции /(х) (то есть сходится к f (x) вне пустого множества, которое является [/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд Фурье является рядом Фурье относительно (#.0)-интеграла, определенного в работе [15]. Таким образом, в таких ситуациях функция /(х), определенная вне [/-множества, может лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.

Стоит отметить известные теоремы для одномерного случая, установленные И. И. Приваловым (для для тригонометрической системы, см. [12]) и В. А. Скворцовым (для системы Уолша, см. [17]). Они гласят, что если ряд по соответствующей системе сходится вне замкнутого [/-множества к измеримой и конечной функции /(ж), то данный ряд есть ряд Фурье функции /(ж). При том, что [/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшим недостатком является то, что / (ж) предполагается измеримой. В нашей работе мы не накладываем никаких ограничений на /(ж, у), когда представляем ее рядом Фурье вне [/-множеств, но при этом рассматриваем не все [/-множества. Оговоримся, что раз f (x) не является суммируемой, то под рядом Фурье мы подразумеваем ряд Фурье относительного какого-то обобщенного интеграла, который заведомо не покрывается интегралом Лебега и даже основными известными обобщенными интегралами.

Диссертация посвящена двумерным рядам Хаара и Уолша, а в двумерном случае (как и в случае размерности п ^ 2) очень важно определить, что мы понимаем под сходимостью соответствующих рядов. В нашей работе рассматривается^{-регулярная} сходимость по прямоугольникам. Ряд Хаара 00 +00.

Е Е ап, тХп, т (х, у) р-регулярно сходится к сумме Я{х, у) в точке (ж, у), ееп=1 т=1 n м.

ЛИ последовательность частичных сумм Як^м{х, у) = Е Е ап, тХп, т{х, у) п=1т=1.

N М сходится к S (x, у) при min (М, N) —>• оо и min [j^i^J ^ РОбозначать такую сходимость будем как sn, m{x, v) s (x, у) — Аналогично определяется оо +оо р-регулярная сходимость и для ряда Уолша Yh Y1 Сп>тип^т (х, у). При этом п—0 т=О для рядов Хаара рассматриваются р, равные 1/27, где 7 — натуральное число (почему выбор сделан среди именно таких /9, становится ясным в самой работе), а для рядов Уолша рассматриваются р из интервала ½^.

В связи с тем, что у разных авторов используется разное определение функций Хаара (см., например, [4] и [24]), отметим, что мы используем «классическое» определение, данное самим Хааром (см. [31]), то есть полагаем, что.

Xi{x) = 1 на [0,1]- если же п = 2к + г, к ^ 0, 1 ^ г ^ 2fc, то Хп (х) равна,.

9 /2г — 2 2 г — l f 2 г — 1 2 г.

2^ при ж е^-gjfeir- ^ТГJ ' -2 7 ПРИ ж € (^^г- ^ТТJ' й Равна НУЛЮ В точках 0 и 1 функция Хп (х) полагается пределу справне.

2^+1 ' 2к+1 ва (слева соответственно), а в остальных точках отрезка [0,1] Хп (%) равна, среднему арифметическому правого и левого пределов.

При определении функций Уолша мы будем использовать не отрезок [0,1], а «модифицированный» отрезок <7* (см. [2]). Кроме того, мы рассматриваем функции Уолша в нумерации Пэли (см. [34]).

Перейдем к описанию основных результатов работы. В первой главе устанавливается взаимно-однозначное соответствие между рядами Хаара и аддитивными функциями двоичного интервала. Наличие и сам вид этого соответствия позволяют переформулировать задачи для рядов Хаара на язык аддитивных функций двоичного интервала. Аналогичная ситуация имеет место и для рядов Уолша. Практически все результаты данной работы получены в терминах аддитивных функций двоичного интервала.

Кроме введения работа содержит четыре главы, каждая из которых поделена на параграфы. Глава 1 посвящена множествам единственности для двумерных рядов Хаара. В связи с тем, что лишь пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, мы пользуемся следующей терминологией. Рассматривая класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (а), скажем, что множество, А является М-множеством для рядов Хаара с условием (а), если существует ряд Хаара, удовлетворяющий условию (а), который сходится к нулю вне, А и не все его коэффициенты нулевые. Если такого ряда не существует, то есть из сходимости к нулю ряда Хаара с условием (а) вне множества, А следует, что ащт = 0 для всех п, т = 1,2,.то множество, А назовем [/-множеством для рядов Хаара с условием (а). Такие [/-множества называются множествами относительной единственности. Изучению множеств относительной единственности для различных систем посвящены работы Г. Г. Геворкяна, H.H. Холщевниковой и др. В § 1.2 в качестве условия (а) рассматривается условие lim = о, (1) min (f-24)^2 р и показывается, что множество, А является М-множеством для рядов Хаара с условием (1) тогда и только тогда, когда, А содержит совершенное подмножество В (при этом уточняется структура множества В), где щ, mi — последовательность номеров таких, что носитель Xnkmi содержит точку (ж, у).

Q q и имеет вид.

Р .Р+1×2^-i' ' Аналогичные теоремы были получены Г. М. Мушегяном (в одномерном случае, см. [8]) и В. А. Скворцовым и Х. О. Мовсисяном (в двумерном случае для сходимости по прямоугольникам, см. [7] и [21]). При этом, описанный выше результат является следствием более общего результата, установленного в этом параграфе.

В работе [21] показывается, что если двумерный ряд Хаара сходится к конечной сумме по прямоугольникам на всем единичном квадрате, то всюду на [О, I]2 выполняется не только условие lim апт= о, (2).

М-*" Xnkmt (x:y) являющееся следствием того, что общий член сходящегося ряда стремится к нулю, но и более сильное условие lim апк-п> = О, (3) к+1->ооХпктЛХ, У).

В § 1.3 показывается, насколько общей является /^регулярная сходимость рядов Хаара. А именно, приводится пример всюду /"-регулярно сходящегося ряда Хаара, для которого в отдельной точке не только не выполняются условия (2) и (3), но и достаточно слабое условие lim апкр = 0, (4) к, l^+оо ХпктАХ, у) mm.

При этом последовательность-—г1—- (где 7 такое, что р = 1/27) можно.

Хпктк±-1 [Х1 У) сделать сколь угодно быстро растущей.

В § 1.4 мы ставим задачу нахождения М-множеств (или [/" -множеств), с условием.

N М.

8нм (х, у) = о{(ИМ)1~а) при оо и >9,.

5) где 0 ^ а < 1. Для этого вводятся новые числовые характеристики совершенных множеств, называемые нижним и верхним индексами множества, которые мы обозначаем тЛА и тс1А Не приводя определения новых понятий, отметим лишь, что 0 ^ шЛА ^ ш&-4 < 1 для любого непустого совершенного множества А. Основными результатами этого параграфа являются следующие теоремы.

Теорема 1. Если, А — М-множество для рядов Хаара с условием (5), то, А содержит совершенное множество с тсВ ^ а, где, а берется из условия (5).

Теорема 2. Если, А С [0,1]2 содержит только совершенные подмножества В с тсШ < а, то, А — II-множество для рядов Хаара с условием (5). В частности, утверждение верно, если, А совершенно и тсЬ4 < а.

Теорема 3. Если, А С [ОД]2 содержит совершенное подмножество В с тсШ > а, то, А — М-множество для рядов Хаара с условием, (5).

Теорема 4. Для любых О, а ^ ?3 ^ 1 существует совершенное множество В с нкШ = а, тсШ = (3.

Теорема 2 является прямым следствием теоремы 1, и вкупе с теоремой 4, показывает существование совершенных II-множеств для рядов Хаара с условием (5) при 0 < а < 1. Более того, в доказательстве теоремы 4 указывается способ построения достаточно большого числа таких [/-множеств. Подобные теоремы могут быть доказаны и для одномерного случая. Хотя в одномерном случае условие (5) (в несколько иной форме) было поставлено (для одномерных рядов) в работе В. Уэйда (см. [38]), но задача описания хотя бы какого-то класса совершенных II-множеств для (одномерных) рядов Хаара с условием, подобным условию (5), (для 0 < а < 1) не была решена. Методы данной диссертации позволяют получить совершенные II-множества и в этом случае.

Следует отметить, что, несколько модифицировав понятия верхнего и нижнего индексов совершенных множеств, были получены определения обобщенных верхнего и нижнего индекса, с помощью которых основные результаты § 1.4 (в частности, теоремы 1−4) уточнены.

Результаты § 1.2 и § 1.4 дают очевидное следствие, которое, не будь оно верным, делало бессмысленным рассмотрение U-множеств для рядов Хаара. А именно, пустое множество является [/-множеством для двумерных рядов Хаара при р-регулярной сходимости (р = 1/21). Это обобщает тот факт, что пустое множество есть [/-множество для двумерных рядов Хаара при сходимости по прямоугольникам. Последний факт следует из уже упомянутых работ В. А. Скворцова (см. [21]) и Х. О. Мовсисяна (см. [7]), а для одномерного случая подобный результат установлен независимо в работах М. Б. Петровской (см. [11]) и В. А. Скворцова (см. [23]).

Тем не менее, основные теоремы единственности, установленные при р-регулярной сходимости при р = 1/27, где 7 — натурально, не переносятся на случай р — 1. А именно, в § 1.5 построен пример двумерного ряда Хаара, не все коэффициенты которого нулевые, сходящегося к нулю по квадратам всюду на [О, I]2, то есть для которого всюду на единичном квадрате lim Sn) n (x, y) = 0. n-> 00.

Во второй главе рассматриваются вопросы единственности представления функций двумерными рядами Хаара. Целью ставится построение обобщенных интегралов, относительно которых ряды Хаара, удовлетворяющие условиям (1) или (5), сходящиеся вне некоторых [/-множеств для рядов Хаара с соответствующими условиями, являются рядами Фурье своих сумм. Более общо, сходимость вне [/-множеств иногда может быть заменена более слабыми условиями. Для условия (1) построен интеграл перроновского типа, называемый в работе (Р д*)-интегралом, и доказан следующий достаточно общий результат.

Теорема 5. Пусть двумерный ряд Хаара с частичными суммами и не более чем счетное множество, А удовлетворяет следующим, условиям: если точка (х, у) имеет две двоично-иррациональных координаты. ,, ,, ,.. [n м и Х: У) т, А то ограничена в точке (х, у) при mm I —, — I ^ р если (х, у) имеет ровно одну двоично-рациональную координату и х, у)? А, то SNM = o (/NM) при N, M ->00 и min ^ рвсюду на единичном квадрате ряд Хаара удовлетворяет условию (1). Тогда ряд р-регулярно сходится к конечной сумме f{x, y) почти всюду на [ОД]2 и является рядом Фурье относительно (Р %*)-интеграла функции f (x, y), то есть ап, т — f f (x, y) xn, m (x}y)dxdy, где под интегралом понимается [ОД]2.

Р %*)-интеграл.

Во второй главе построен также еще один интеграл перроновского типа, названный (Pj⁰¹)-интегралом, который определяется совершенным множеством Ua с indUa < а. С его помощью доказан следующий результат.

Теорема 6. Пусть двумерный ряд Хаара всюду на [0,1]2 удовлетворяет условию (5) с 0 < ос < 1, сходится к конечной сумме f (x, y) вне совершенного множества Ua с indUa < а. Тогда данный ряд есть ряд Фурье функции f (x, y) относительно (Р^*)-интеграла, то есть ап, т = {pPRa) i /(*:у)хп, т (х, у) dxdy.

О,!]2.

Основной для третьей главы является следующая теорема.

Теорема 7. Пусть всюду на единичном квадрате ряд Хаара сходится р-регулярно к конечной сумме f (x, y), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле. Тогда данный ряд является рядом Фурье-Перрона своей суммы.

Теоремы подобного рода для других функций устанавливались и ранее. М. Б. Петровской (см. [10]) было доказано, что если (одномерный) ряд Хаара сходится всюду на [0,1] к конечной суммируемой функции f (x), то данный ряд есть ряд Фурье функции f{x). В двумерном случае аналогичный результат установлен Ф. Г. Арутюняном и A.A. Талаляном (см. [1]). Если же f (x) интегрируема по Перрону, то одномерный аналог теоремы 7 был доказан В. А. Скворцовым (см. [16]). Аналог теоремы 7 для сходимости по прямоугольникам и для функции /(ж, у), интегрируемой по Перрону в нерегулярном смысле был установлен тем же В. А. Скворцовым (см. [20]), который фактически и обобщается теоремой 7. Здесь следует отметить, что, во-первых, упомянутый последний результат В. А. Скворцова существенно опирается на то, что из сходимости по прямоугольникам двумерного ряда Хаара следует условие (3), которое, как отмечалось в § 1.3, не выполняется для р-регулярной сходимости. Поэтому, для доказательства теоремы 7 приходится применять качественно другие методы доказательства, чем в работе [20]. Кроме того, теорема 7 является следствием более общего результата, который мы сейчас приведем.

В главе третьей был построен (Р ^)-интеграл, относительно которого всюду сходящийся двумерный ряд Хаара есть ряд Фурье своей суммы. Тогда теорема 7 получается из следующей теоремы.

Теорема 8. Если функция f (x, y) является одновременно (PPR)-интегрируемой и интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле, то соответствующие интегралы совпадают.

Доказательство теоремы 8 достаточно сложно. При этом строится некий обобщенный интеграл, называемый (Ря (щ (х, г/)))-интегралом, который покрывает и {Р д)-интеграл, и /9-регулярный интеграл Перрона. В качестве вспомогательного средства доказывается результат, относящийся к теории обобщенных интегралов, имеющий самостоятельный интерес. Для аддитивной функции двоичного интервала F строится вариационная мера VpR, подобно тому, как это делается в классической монографии Осташевского (см. [33]). Установлены две теоремы, называемые обычно теоремами о ха-рактеризации (вторая из них также называется теоремой о полной характе-ризации).

Теорема 9. Пусть аддитивная функция двоичного интервала F (A) имеет р-регулярную двоичную производную DPRF почти всюду на [ОД]2. Тогда F является неопределенным двоичным р-регулярным интегралом Хенстока от некоторой функции f (x, y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10. Аддитивная функция двоичного интервала F (A) есть неопределенный р-регулярный двоичный интеграл Хенстока от некоторой функции f (x, y) тогда и только тогда, когда VpR абсолютно непрерывна относительно меры Лебега.

Теорема 10 следует из теоремы 9, если доказать, что из абсолютной непрерывности VpR следует существование производной D^F почти всюду. Аналоги теоремы 9 для обычного (одномерного) интеграла Хенстока-Курцвейля установлены Ярником и Курцвейлем, П. Ли и Р. Выборны, а также В. Пфеф-фером (см. [29], [32], [37]), а для р-регулярного (но не двоичного) интеграла Хенстока теми же Ярником и Курцвейлем (см. [30]). Аналоги теоремы 10 для различных интегралов были установлены Б. Бонжорно, Л. Ди Пиаццей и В. А. Скворцовым (для интеграла Хенстока-Курцвейля, см. [6]), и 3. Бу-чоличем и В. Пфеффером для некоторых многомерных обобщенных интегралов (см. [27], [35], [36]). Но все эти интегралы не покрывают двоичный р-регулярный интеграл Хенстока, поэтому мы не имеем возможности применить многочисленные уже известные результаты.

В четвертой главе на J* х J* (где J* — «модифицированный» отрезок) переносятся понятия обобщенных верхнего и нижнего индексов совершенных множеств. Основным результатом этой главы является то, что для любой пары обобщенных верхнего и нижнего индексов (если первый из них не меньше второго) существует совершенное [/-множество для двумерных рядов Уолша с р Е (^>2)' Множествам единственности для кратных рядов Уолша посвящено достаточно немного работ, из которых следует выделить результаты С. Ф. Лукомского (см. [6]), но они доказаны для сходимости по прямоугольникам (которая менее общая, чем р-регулярная сходимость). Примеры совершенных [/-множеств для одномерных рядов Уолша приведены во многих работах (см., например, [19], [25], [28]). Важность результатов четвертой главы состоит не только в том, что для двумерных рядов Уолша используется^{-регулярная} сходимость, а еще и в том, что совершенные [/-множества строятся для всевозможных значений новых числовых характеристик совершенных [/-множеств.

Что касается технических моментов, то первая цифра в номере теоремы в самой диссертации совпадает с номером главы, вторая цифра — с порядковым номером теоремы внутри главынумерация формул — своя для каждой главы.

В конце приведен список литературы, состоящий из 38 наименований, и список работ автора по теме диссертации (2 наименования).

1. Арутюнян Ф. Г., Талалян A.A. О единствености рядов по системам Хаа-ра и Уолша // Известия АН СССР, сер. математика. 1964. Т. 28 С. 13 911 408.

2. Голубое Б. И., Ефимов A.B., Скворцов В. А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применение. — М.: Наука, 1987.

3. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.

4. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. — М.: Физ-матгиз, 1958.

5. Колмогоров A.B., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1989. Изд. 6-е.

6. Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180. № 7. С. 937−945.

7. Мовсисян X. О. О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1974. Т. 9. № 1. С. 40−61.

8. Мушегян Г. М. О множествах единственности для системы Хаара // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1967. Т. 2. № 6. С. 350−361.

9. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. С.-П., 1999. Изд. 3-е.

10. Петровская М. Б. Некоторые теоремы единственности для рядов по системе Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1964. № 5. С. 1528.

11. Петровская М. Б. О нуль рядах по системе Хаара и множествах единственности // Изв. АН СССР. Сер. математика. 1964. Т. 28. С. 773−798.

12. Привалов И. И. Обобщенные теоремы Paul du Bois Reymond’a // Матем. сб. 1923. T. 31. № 2. С. 229−231.

13. Рудин У. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. Изд. 2-е.

14. Сакс А. Теория интеграла. М., 1949.

15. Скворцов В. А. Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара // Матем. сб. 1968. Т. 75. Вып. 3. С. 349−360.

16. Скворцов В. А. Дифференцирование относительно сетей и ряды Хаара // Матем. сб. 1968. Т. 4. Вып. 1. С. 33−40.

17. Скворцов В. А. Некоторые обобщенные теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. Т. 13. № 3. С. 367−372.

18. Скворцов В. А. Об одном примере двойного ряда Хаара // Матем. заметки. 1980. Т. 28. № 3. С. 343−353.

19. Скворцов В. А. Об одном примере нуль-ряда по системе Уолша // Матем. заметки. 1976. Т. 19. № 2. С. 179−188.

20. Скворцов В. А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1973. № 6. С. 77−79.

21. Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14. № 6. С. 789−798.

22. Скворцов В. А. О рядах Хаара, сходящихся по подпоследовательности частичных сумм // Доклады АН СССР. 1968. Т. 183. № 4. С. 784−786.

23. Скворцов В. А. Теорема типа Кантора для системы Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1964. № 5. С. 15−28.

24. Ульянов П. Л. О рядах по системе Хаара // Матем. сб. 1964. Т. 63. Вып. 3. С.356−391.

25. Шнейдер А. А. О единственности разложения по системе функций Уолша // Матем. сб. 1949. Т. 24. Вып. 2. С. 279−300.

26. Bongiorno ВL. Di PiazzaSkvortsov V.A. A new full descriptive characterization of Denjoy-Perron integral // Real Analysis Exchange. 1995/96. V.21(2). P. 656−663.

27. Buczolich Z., Pfeffer W.F. Variations of additive functions // Czechoslovak Mathem. J. 1997. V.47. № 3. P. 525−555.

28. Coury J.E. A class of Walsh M-sets of measure zero //J. Mathem. Analysis Applications. 1970. V. 31. № 2. P. 318−320.

29. Jarnik J., Kurzweil J. A general form of the product integral and linear ordinary differential equations // Czechoslovak Mathem. J. 1987. V. 37(112). P. 642−659.

30. Jarnik </., Kurzweil J. Equiintegrability and controlled convergence of Perron-type integrable functions // Real Analysis Exchange. 1991. V. 17(1). P. 76−81.

31. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Functionensysteme // Mathem. Ann. 1910. V. 69. P. 333−371.

32. Lee P.Y., Vyborny R. Kurzweil-Henstock integration and strong Lusin condition 11 Boll. Univ. M.I. 1993. V. 7-B. P. 761−773.

33. Ostaszewski K.M. Henstock integration in the plane // Memoirs of Amer. Mathem. Society. 1986. V.63. № 353. P. 1−106.

34. Paley R.E. A. C. A remarkable series of orthogonal functions / Proc. London Mathem. Society. 1932. V. 34. P. 241−279.

35. Pfeffer W.F. A descriptive definition of a variational integral and applications // Indiana Univ. Mathem. J. 1991. V.40. № 1. P.259−270.

36. Pfeffer W.F. Comparing variations of charges // Indiana Univ. Mathem. J. 1996. V. 45. № 3. P.643−654.

37. Pfeffer W.F. The Riemann approach to integration. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1993.

38. Wade W.R. Sets of uniqueness for Haar series // Acta Mathem. Academiae Scientiarum Hungaricae. 1977. V. 30(3−4). P. 265−281.Работы автора по теме диссертации.

39. Плотников М. Г. Об интеграле Моэна и его приложении к рядам Хаара / / Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. № 4. С. 63−66.

40. Плотников М. Г. О единственности всюду сходящихся кратных рядов Хаара // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 2000. № 1. С. 23−28.