Индуктивные методы в теории минимальных моделей

1. Теория минимальных моделей алгебраических многообразий зародилась в 80-х годах, когда С. Мори [59] ввел несколько новых идей в бирациональную теорию многомерных алгебраических многообразий. Почти одновременно М. Рид [67], [68] явно сформулировал программу минимальных моделей и начал изучение этих моделей в размерности 3. С этого времени трехмерные алгебраические многообразия стали предметом исследования многих математиков, что привело к глубоким структурным теоремам. Теория минимальных моделей требует расширения категории неособых многообразий до категории многообразий с некоторыми допустимыми особенностями (терминальными, каноническими, логтерминальными, и т. д.). Кратко, цель программы состоит в следующем: для данного проективного алгебраического многообразия X с лишь терминальными О-факториальными особенностями, построить многообразие X' бирационально изоморфное X и также имеющего терминальные О-факториальные особенности, для которого выполнено одно из двух: или канонический дивизор Кх' численно эффективен (в этом случае X' называется минимальной моделью), или существует расслоение X' Л 2 над многообразием меньшей размерности для которого антиканонический дивизор ~Кх' относительно обилен (в этом случае X' называется моделью Q-Фaнo). При этом бирациональный изоморфизм X —л X' раскладывается в композицию двух типов элементарных преобразований: дивизориальных стягиваний и флипов. Обобщением программы минимальных моделей является ее логарифмическая версия или лог ПММ, применяемая к парам {X, В), состоящим из многообразия и границы — (¡-5-дивизора с коэффициентами О < бг < 1.

В настоящее время трехмерная (логарифмическая) программа минимальных полностью завершена в работах Мори, Рида, Каваматы, Шо-курова и др.* Однако для ее полноценного применения необходимы следующие компоненты:

Совсем недавно наметился прогресс в доказательстве существования многомерных логфлипов — одной из основных проблем в гипотезе о минимальных моделях (см. [Shokurov V.V. Prelimiting flips, preprint]). В этой работе доказывается существование четырехмерных логфлипов и предлагается индуктивный подход к их построению в произвольной размерности.

1) классификация всех промелсуточных бирационалъных элементарных преобразований, т. е. дивизориальных экстремальных стягиваний и флипов- (и) классификация особенностей, возникающих на канонических моделях многообразий общего типа, так называемых, канонических особенностей;

Ш) классификация небирациональных экстремальных стягиваний (другое название ~ О-Фано расслоения, они бывают трех типов: многообразия О-Фано, расслоения на поверхности дель Пеццо и Мори расслоения на коники).

Поэтому важная задача сегодня — найти правильный подход к классификационным проблемам, сформулированным выше. Эти соображения служили основным мотивом для написания данной диссертации. В этом направлении сейчас работает также множество алгебраических геометров.

2. Основная задача диссертации — применение индуктивных методов к задачам классификации особенностей и экстремальных стягиваний. Индуктивные методы применялись еще классиками алгебраической геометрии в задачах о продолжении дивизоров и линейных систем с подмногообразия на объемлющее многообразие. Сейчас этот процесс может быть выражен в терминах точных последовательностей и обращениях в нуль некоторых когомологий. Однако, как упоминалось выше, в современной бирациональной геометрии рассматриваются особые многообразия, на которых не каждый дивизор Вейля является дивизором Картье. В этом случае проблема становится более деликатной: не работают и нарушаются многие теоремы верные в классической неособой ситуации. Хорошей иллюстрацией сказанного выше может быть классификация трехмерных многообразий (О-)Фано. В конце 70-х В. А. Псковских классифицировал неособые трехмерные многообразия Фано при двух дополнительных предположениях: существования неособого дивизора в антиканонической линейной системе и существования прямой [31]. Эти два утверждения были позднее доказаны В. В. Шокуро-вым [76], что обосновало эту классификацию. С другой стороны, классификация трехмерных многообразий О-Фано (даже с терминальными особенностями) еще очень далека от завершения.

Более точно, нашей основной задачей (и методом) является исследование вопроса о возможности построения дивизора с «достаточно хорошими» особенностями в кратной антиканонической линейной системе I — пКх для малых п. Ясно, что эта задача является разумной только для многообразий типа Фано: с обильным или просто численно эффективным антиканоническим дивизором. Оказывается, что существование таких дивизоров зачастую ведет к очень сильным результатам. Приведем два примера:

1) существование дивизора с дювалевскими особенностями в линейной системе | — Кх для трехмерной терминальной особенности X Э о эквивалентно их классификации- (й) существование дивизора с дювалевскими особенностями в линейной системе 2КX для трехмерного малого экстремального стягивания Х/2 влечет существование флипа [36 .

Наоборот, отсутствие такого «хорошего» дивизора накладывает сильные ограничения на многообразие X. Это ведет к понятию исключительных особенностей, стягиваний и многообразий Фано.

2.1. Описанные выше задачи и решались в данной диссертации. Первая группа результатов касается вопросов ограниченности и возможности классификации исключительных канонических особенностей и экстремальных стягиваний. Получены критерии исключительности и доказаны теоремы об ограниченности для исключительных гиперповерхностных и факторособенностей, а также для трехмерных экстре-мал:ьных стягиваний Мори.

Второй основной результат диссертации — классификация возможных конфигураций особых точек, возникающих на О-Фано расслоениях над поверхностью (так называемых, Мори расслоений на коники).

Получены также другие результаты, касающиеся существования гладкого дивизора в фундаментальной линейной системе на многообразиях Фано, описания множества точек накопления логканонических порогов и характеризации торических многообразий.

3. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

1. Abe T. Classification of exceptional complements: Elliptic curve case, alg-geom/9 711 029.

2. Ambro F. Ladders on Fano varieties. Algebraic geometry, 9. J. Math. Sei. (New-York) 94 (1999) no. 1, 1126−1135.

3. Alexeev V. Дробные индексы лог-поверхностей делъ Пеццо, Изв. АН СССР. Сер. мат. 52 (1988) 1288−1304.

4. Alexeev V. А. Theorems about good divisors on log-Fano varieties, Lect. Notes in Math. 1479 (1989) 1−9.

5. Alexeev V. Two two-dimensional terminations, Duke Math. J. 69 (1992) 527−545.

6. Alexeev V. A. Boundedness andK" ^ for log surfaces, Int. J. Math. 5 (1994) 779−810.

7. Borisov A. Minimal discrepancies of toric singularities, Manuscripta Math. 92 (1997) no. 1, 33−45.

8. Bay le L. Classification des variete complexes projectives de dimension trois dont une section hyperplane generale est une surface d’Enriques, 3. Reine Angew Math. 449 (1994) 9−63.

9. Blache R. The structure of I.e. surfaces of Kodaira dimension zero, J. Algebraic Geom. 4 (1995) 137−179.

10. Brieskorn E. Rationale Singularitaten komplexer Flachen, Invent. Math. 4 (1968) 336−358.

11. Cartan H. Quotient d’une space analytique par un groupe d’automorphismes, in «Algebraic Geometry and Topology» Princeton Univ. Press (1057) 90−102.

12. Чельцов И. A. Особенности трехмерных многообразий, обладающих обильным эффективным дивизором гладкой поверхностью кодаировой размерности нуль, Мат. заметки 59 (1996) по.4, 618−626.

13. Catanese F. Automorphisms of rational double points and moduli spaces of surfaces of general type, Compositio Math. 61 (1987) no. 1, 81−102.

14. Catanese F., Franciosi M., Hulek K., Reid M. Embeddings of curves and surfaces. Preprint alg-geom (1986).

15. Cossec F. Projective models of Enriques surfaces. Math. Ann. 265 (1983) 283−334.

16. Conte A., Murre J.P. Algebraic varieties of dimension three whose hyperplane sections are Enriques surfaces, Annali della Souola Normale Sup. de Pisa 12 (1985) 43−80.

17. Cutkosky S. Elementary contractions of Gorenstein 3-folds, Math. Ann. 280 (1988) 521−525.

18. Данилов В. И. Бирациональная геометрия торических многообразий. Изв. АН СССР. Сер. мат. 46 (1982) по. 5, 971−982.

19. Dolgachev I. Weighted projective varieties, Lect. Notes Math. 956 (1982) 34−71.

20. Fano G. Sulle varieta algebriche a tre dimensioni le cui sezioni iperpiane sano superficie di genere zero e bigenere uno, Memorie societa dei XL, 24 (1938) 41−66.

21. Shokurov V. V. Problems about Fano varieties, in «Birational Geometry of Algebraic Varieties. Open Problems». XXIII International Taniguchi Symposium, 1988, preprint.

22. Шокуров В. В. Трехмерные логперестройки. Изв. АН СССР. Сер. мат. 56 (1992) П0.1, 105−203.

23. Shokurov V. V. Semistable 3-fold flips. Изв. АН СССР. Сер. мат. 57 (1993) по.2, 165−222.

24. Shokurov V. V. Complements on surfaces, J. Math. Sei., New York 102 (2000) no. 2, 3876−3932.

25. Shokurov V. V. 3-fold log models, J. Math. Sei. 81 (1996) 2666−2699.

26. Varchenko A. N. Zeta-function of monodromy and Newton’s diagram. Invent. Math. 37, (1976) 253Л262.

27. Watanabe K., Higuchi T. On a certain class of purely elliptic singularities in dimension > 2, Sei. Rep. Yokohama Nat. Univ. Sect. I, 30, (1983) 31−35.

28. Wilson P. M. H. Fano fourfolds of index greater than one, J. Reine Agnew. Math. 389 (1987) 172−181.

29. Wiman A. Ueber eine enfache Gruppe von 360 ebenen Collineationen, Math. An-nalen 47(1896) 531−556.

30. Wisniewski J. A. On Fano manifolds of large index Manuscr. Math. 70 (1991) 145−152.

31. Yau, S. S.-T., Yu, Y. Gorenstein quotient singularities in dimension three. Memoirs AMS 505 Providence, 1993.

32. Yonemura T. Hypersurface simple КЗ-singularities, Tohoku Math. J. 42, (1990) 351−380.

33. Zhang D.-Q. Logarithmic Enriques surfaces, J. Math. Kyoto Univ. 31−2 (1991) 419−466Публикации no теме диссертации.

34. Прохоров Ю. Г. Суш-ествовании гладкого дивизора на четырехмерных много-образих Фано индекса 2, Мат. сборник 185 (1994) по. 9, 139−152.

35. Prokhorov Yu. G. On the existence of good divisors on Fano varieties of coindex 3, Internat. Congress Math. Zurich, Book of Abstracts (1994) P. 73.

36. Прохоров Ю. Г. О существовании хороших дивизоров на многообразих Фано коиндекса 3, Труды матем. ин-та РАН им. Стеклова 208 (1995) 266−277.

37. Прохоров Ю. Г. К проблеме общего слона для трехмерных (ф-Фано расслоений над поверхностью, Фунд. прикл. матем. 1 (1995) по. 1, 263−280.

38. Прохоров Ю. Г. Замечания о трехмерных многообразиях с гиперплоскими сечениями поверхностями Энриквеса, Мат. сборник. 186 (1995) по. 9, 113 124.

39. Prokhorov Yu. G. On dJ-Fano fiber spaces with two-dimensional base, PreprintMPI 95−33 (1995).

40. Prokhorov Yu. G. On extremal contractions from threefolds to surfaces, Warwick Preprint: 84/1995 (1995).

41. Prokhorov Yu. G. On extremal contractions from threefolds to surfaces: the case of one non-Gorenstein point, in «Birational Algebraic Geometry», Proc. Conf. Memory W.-L. Chow (1996), Contemporary Math. AMS 207, 119−141.

42. Prokhorov Yu. G. On the existence of good divisors on Fano varieties of coindex 3, П, J, Math. Sei. (New York) 85 (1997) no. 4, 2115−2127.

43. Прохоров Ю. Г. О дополняемости канонического дивизора для Мори расслоений на коники, Мат. сборник 188 (1997) по. 11, 99−120 205.

44. Прохоров Ю. Г. О классификации Мори расслоений на коники, Труды семин. И. Р. Шафаревича (1996;1998) МИРАН, Москва, (1998) 142−160.

45. Прохоров Ю. Г. Дополнения на расслоениях на коники, I, Труды семин. И. Р. Шафаревича (1996;1998) МИРАН, Москва, (1998) 161−175.

46. Prokhorov Yu. G. Mori conic bundles with a reduced log terminal boundary, J. Math. Sci. (New York) 94 (1999) no. 1, 1051−1059.

47. Prokhorov Yu. G. On extremal contractions from threefolds to surfaces: the case of one non-Gorenstein point and non-singular base surface, J. Math. Sci. (New York) 95 (1999) no. 1, 1986;1995.

48. Markushevich D., Prokhorov Yu. G. Klein’s group defines an exceptional singularity of dimension 3, J. Math. Sci, New York 94 (1999) no. 1, 1060−1067.

49. Markushevich D. Prokhorov Yu. G. Exceptional quotient singularities, Amer. J. Math. 121 (1999) 1179−1189.

50. Prokhorov Yu. G. Blow-ups of canonical singularities. Algebra, Proc. Internat. Algebraic Conf. Moscow, 1998, Walter de Gruyter, Berlin (2000) 301−317.

51. Prokhorov Yu. G. Boundedness of nonbirational extremal contractions. International J. Math. 11 (2000) no. 3, 393−411.

52. Прохоров Ю. Г. Ограниченность исключительных факторособенностей. Мат заметки 68 (2000) по. 5, 786−789.

53. Прохоров Ю. Г. О логканонических порогах в размерности три, в «Универсальная алгебра и ее приложения». Труды межд. семин. памяти Л. А. Скорня-кова, Волгоград 1999: Перемена (2000) 250−256.

54. Прохоров Ю. Г. О классификации стягиваний Мори: случай эллиптической кривой. Изв. РАН. Сер. матем. 65 (2001) по. 1, 81−92.

55. Prokhorov Yu. G., Ishii S. Hypersurface exceptional singularities, International J. Math. 12 (2001) no. 6, 661−687.

56. Prokhorov Yu. G. Lectures on complements on surfaces. Memoirs Math. Soc. Japan 10,2001.

57. Prokhorov Yu. G. On a conjecture of Shokurov: Characterization of toric varieties, Tohoku Math. J. 53 (2001) no. 4, 581−592.

58. Prokhorov Yu.G. On log canonical thresholds. Communications in Algebra 29 (2001) no. 9, 3961−3970.

59. Prokhorov Yu. G. On log canonical thresholds, II, e-print math. AG/104 251.

60. Прохоров Ю. Г. Замечание о разрешении трехмерных терминальных особенностей, Успехи мат. наук 57 (2002) по. 1 (см. также e-print math. AG/110 250).