Диплом, курсовая, контрольная работа
Помощь в написании студенческих работ

Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели

Диссертация: Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

В течение уже более тридцати лет в квантовой теории поля основное внимание уделяется асимптотически свободным моделям. Такое особое отношение к данным теориям неслучайно. Как известно, современные описания фундаментальных взаимодействий элементарных частиц базируются на теории калибровочных полей (полей Янга-Миллса). Экспериментально установлено наличие асимптотической свободы у электрослабых… Читать ещё >

Содержание

  • Введение. Постановка задачи
    • 1. 1. Общее введение
    • 1. 2. Краткое предварительное обсуждение
      • 1. 2. 1. Одно вводное замечание об области научных исследований
      • 1. 2. 2. Научное содержание работы
        • 1. 2. 2. 1. Краткий обзор конкретных задач, решаемых в данной работе
        • 1. 2. 2. 2. Об использованных в работе методах и технических деталях
      • 1. 2. 3. Использованные в тексте физические и математические обозначения и договорённости
    • 1. 3. Сводка результатов, необходимых для формулировки задачи. 21 1.3.1 Эффективное действие матричной сигма-модели
      • 1. 3. 1. 1. Классическое действие для матричной сигмамодели
      • 1. 3. 1. 2. О перенормировке в формализме фонового поля
      • 1. 3. 1. 3. Производящий функционал ¿'-матрицы в формализме фонового поля
      • 1. 3. 1. 4. Об условиях, накладываемых на фоновое поле 9Ръ{х)
      • 1. 3. 1. 5. Эффективное действие. Основной результат про структуру расходимостей в формализме фонового поля
      • 1. 3. 2. «Бегущая константа связи»
      • 1. 3. 2. 1. Перенормированная константа связи. Перенормируемость сигма-модели
      • 1. 3. 2. 2. Регуляризация с импульсом обрезания
      • 1. 3. 2. 3. Размерная регуляризация
      • 1. 3. 3. Сравнение бета-функций теории при различных регуляризациях
      • 1. 3. 3. 1. Уравнение Гелл-Манна-Лоу. Бета-функция
      • 1. 3. 3. 2. Представление бета-функции в виде ряда по степеням константы связи
      • 1. 3. 3. 3. Независимость физической теории от способа регуляризации
      • 1. 3. 3. 4. Замечание о трёхпетлевых и более старших коэффициентах бета-функции
    • 1. 4. Непосредственная постановка задачи
      • 1. 4. 1. Основная цель работы
      • 1. 4. 2. Вычисления
  • 2. Формализм фонового поля. Метод собственного времени Фо
    • 2. 1. Формализм фонового поля
      • 2. 1. 1. Производящий функционал 5-матрицы
        • 2. 1. 1. 1. Матрица рассеяния и производящий функционал матрицы рассеяния
        • 2. 1. 1. 2. Запись производящего функционала в терминах функционального интеграла
        • 2. 1. 1. 3. Об условиях излучения Фейнмана
        • 2. 1. 1. 4. Окончание определения производящего функционала ¿¿"-матрицы
        • 2. 1. 1. 5. Замечание об эквивалентности двух подходов к определению производящего функционала матрицы
    • 2. 2. Метод фонового поля. Эффективное действие
      • 2. 2. 1. Введение фонового поля
        • 2. 2. 1. 1. Замена переменных в производящем функционале 5-матрицы
        • 2. 2. 1. 2. Зависимость производящего функционала 5-матрицы от фонового поля
      • 2. 2. 2. Правила Фейнмана в формализме фонового поля
        • 2. 2. 2. 1. Разложение действия в функциональный ряд Тейлора в окрестности фонового поля
        • 2. 2. 2. 2. Классическое действие, функция Грина и вершины теории в формализме фонового поля
      • 2. 2. 3. Квантовополевая теория возмущений
        • 2. 2. 3. 1. Разложение по петлям производящего функционала ^-матрицы
        • 2. 2. 3. 2. Диаграммная техника в координатном представлении
      • 2. 2. 4. Фоновое поле, удовлетворяющее квантовым уравнениям движения
        • 2. 2. 4. 1. Устранение произвола у фонового поля. Квантовые уравнения движения
        • 2. 2. 4. 2. Разложение по петлям производящего функционала ¿'-матрицы в формализме фонового поля
        • 2. 2. 4. 3. Эффективное действие. Выражение производящего функционала-матрицы через эффективное действие
        • 2. 2. 4. 4. Замечание об эквивалентности двух подходов к определению эффективного действия
        • 2. 2. 4. 5. Замечание о квантовых уравнениях движения и их взаимосвязи с эффективным действием. 50 2.3 Метод собственного времени Фока
      • 2. 3. 1. Структура объектов, возникающих при вычислении эффективного действия в формализме фонового поля
        • 2. 3. 1. 1. Однопетлевое приближение. Детерминант
        • 2. 3. 1. 2. Старшие порядки. Функция Грина
      • 2. 3. 2. Решение параболического уравнения
        • 2. 3. 2. 1. Параболическое уравнение с оператором К (сррь)
        • 2. 3. 2. 2. Выражение детерминанта с помощью решения параболического уравнения
        • 2. 3. 2. 3. Выражение функции Грина с помощью решения параболического уравнения
      • 2. 3. 3. Функция 9к{х, у, в) в ультрафиолетовой области
        • 2. 3. 3. 1. Анзац для функции 0к (х, у, з) в окрестности точки 5 =
        • 2. 3. 3. 2. Рекуррентные уравнения на гладкие коэффициенты ам
        • 2. 3. 3. 3. Функция Грина в ультрафиолетовой области
  • 3. Матричная сигма-модель
    • 3. 1. Общая сигма-модель
      • 3. 1. 1. Определение и основные свойства
        • 3. 1. 1. 1. Действие для общей сигма-модели
        • 3. 1. 1. 2. Кратко о применении сигма-модели в физике
      • 3. 1. 2. Сводка основных результатов исследования сигма-модели
        • 3. 1. 2. 1. Общая нелинейная сигма-модель
        • 3. 1. 2. 2. Модель п-поля (О (ЛГ)-симметричная сг-модель)
        • 3. 1. 2. 3. Матричная сигма-модель
    • 3. 2. Формализм фонового поля для матричной сг-модели
      • 3. 2. 1. Факторизация главного кирального поля д
        • 3. 2. 1. 1. Введение фонового поля с учётом группового характера сигма-модели
        • 3. 2. 1. 2. Преобразование подынтегрального выражения
        • 3. 2. 1. 3. Запись действия в формализме фонового поля
        • 3. 2. 1. 4. Замечание о записи действия в терминах форм Картана
      • 3. 2. 2. Параметризация «квантового» поля
        • 3. 2. 2. 1. Переход от группы О к алгебре д. Фундаментальное представление
        • 3. 2. 2. 2. Формула для дифференцирования экспоненты
        • 3. 2. 2. 3. Действие матричной сигма-модели в формализме фонового поля
    • 3. 3. Разложение по петлям. Диаграммная техника
      • 3. 3. 1. Общая структура разложения по петлям
        • 3. 3. 1. 1. Евклидов разворот
        • 3. 3. 1. 2. Общая структура экспоненциального функционала
        • 3. 3. 1. 3. Выделение петлевых вкладов
      • 3. 3. 2. Однопетлевое приближение. Эффективное действие
        • 3. 3. 2. 1. Слагаемые, пропорциональные нулевой степени константы связи
        • 3. 3. 2. 2. Оператор К. Детерминант. Функция Грина
      • 3. 3. 3. Однопетлевое приближение. Квантовые уравнения движения
        • 3. 3. 3. 1. Классическая одночастичная вершина
        • 3. 3. 3. 2. Разложение по петлям для одночастичных вершин
        • 3. 3. 3. 3. Однопетлевой вклад в одночастичную вершинную функцию
        • 3. 3. 3. 4. Применение теоремы Вика
      • 3. 3. 4. Двухпетлевое приближение
        • 3. 3. 4. 1. Двухпетлевой вклад в эффективное действие
        • 3. 3. 4. 2. Диаграммы «восьмёрка» и «рыбка»
        • 3. 3. 4. 3. Применение теоремы Вика. Диаграмма «восьмёрка»
        • 3. 3. 4. 4. Применение теоремы Вика. Диаграмма «рыбка»
  • 4. Перенормировка эффективного действия и квантовых уравнений движения
    • 4. 1. Материал, необходимый для дальнейших вычислений
      • 4. 1. 1. К вычислению бесконечной части детерминанта
        • 4. 1. 1. 1. Представление для бесконечной части детерминанта
        • 4. 1. 1. 2. Рекуррентные уравнения для определения коэффициентов анзаца функции (х, у, в)
        • 4. 1. 1. 3. Вывод формулы для вычисления детерминанта
        • 4. 1. 1. 4. Одно небольшое уточнение формулы для детерминанта
        • 4. 1. 1. 5. Комбинации из двух структурных констант. Оператор Казимира
      • 4. 1. 2. К вычислению функций Грина и их производных
        • 4. 1. 2. 1. Множители в анзаце для функции Грина в двумерном пространстве
        • 4. 1. 2. 2. Множители в анзаце для функции Грина в пространстве 2-е измерений
        • 4. 1. 2. 3. Комбинации из трёх структурных констант
    • 4. 2. Вычисление однопетлевого вклада в эффективное действие
      • 4. 2. 1. Эффективное действие в однопетлевом приближении
        • 4. 2. 1. 1. Выражение для бесконечной части эффективного действия в однопетлевом приближении
        • 4. 2. 1. 2. Сведение коэффициентов анзаца к голономии
      • 4. 2. 2. Вычисление производных от голономии
        • 4. 2. 2. 1. Производные первого порядка
        • 4. 2. 2. 2. Производные второго порядка
      • 4. 2. 3. Результат вычисления бесконечной части эффективного действия
        • 4. 2. 3. 1. Значение коэффициента, а на диагонали
        • 4. 2. 3. 2. Бесконечная часть эффективного действия
    • 4. 3. Вычисление однопетлевого вклада в квантовые уравнения движения
      • 4. 3. 1. Использование метода собственного времени для представления функций Грина
        • 4. 3. 1. 1. Представление расходящейся части функции Грина
        • 4. 3. 1. 2. Вычисление расходящейся части первых производных функции Грина
      • 4. 3. 2. Вычисление одночастичной вершинной функции
        • 4. 3. 2. 1. Выражение бесконечной части одночастичной вершинной функции в однопетлевом приближении
        • 4. 3. 2. 2. Комбинации структурных констант
        • 4. 3. 2. 3. Бесконечная часть головастика
    • 4. 4. Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие. Анализ расходимостей диаграмм
      • 4. 4. 1. Структура выражений, дающих вклад в эффективное действие
        • 4. 4. 1. 1. Диаграмма «восьмёрка»
        • 4. 4. 1. 2. Диаграмма «рыбка»
      • 4. 4. 2. Структура расходимостей выражений, дающих вклад в эффективное действие
        • 4. 4. 2. 1. Расходимости и анзац для функции Грина
        • 4. 4. 2. 2. Расходимости, размерности величин и классическое действие
      • 4. 4. 3. Классификация расходимостей
        • 4. 4. 3. 1. Логарифмические расходимости
        • 4. 4. 3. 2. Линейные расходимости
        • 4. 4. 3. 3. Квадратичные расходимости
      • 4. 4. 4. Сведение расходящихся комбинаций множителей в таблицу
        • 4. 4. 4. 1. Диаграмма «восьмёрка»
        • 4. 4. 4. 2. Диаграмма «рыбка»
    • 4. 5. Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие в регуляризации с импульсом обрезания
      • 4. 5. 1. Квадратичная расходимость
        • 4. 5. 1. 1. Константы
        • 4. 5. 1. 2. Нелокальный функционал
      • 4. 5. 2. Линейная расходимость
      • 4. 5. 3. Логарифмические расходимости. Квадрат логарифма. 95 4.5.3.1 Выражения, расходящиеся как квадрат логарифма
        • 4. 5. 3. 2. Вычисление производных от голономии по второму аргументу
        • 4. 5. 3. 3. Вычисление комбинаций структурных констант
        • 4. 5. 3. 4. Равенство нулю вклада квадрата логарифма
      • 4. 5. 4. Логарифмические расходимости. Первая степень логарифма
        • 4. 5. 4. 1. Логарифмически-расходящиеся выражения
        • 4. 5. 4. 2. Приведение комбинаций структурных констант
        • 4. 5. 4. 3. Результат вычисления логарифмически-расхо-дящегося вклада
      • 4. 5. 5. Результат вычисления двухпетлевого вклада в эффективное действие
        • 4. 5. 5. 1. Удаление квадратичной расходимости вычитанием
        • 4. 5. 5. 2. Бесконечная часть двухпетлевого вклада без квадратичных расходимостей
    • 4. 6. Вычисление двухпетлевого вклада в эффективное действие в размерной регуляризации
      • 4. 6. 1. Вклады, имеющие полюс второго порядка по е
      • 4. 6. 2. Вклады, имеющие полюс первого порядка по ?
        • 4. 6. 2. 1. Выражение для вклада от е~
        • 4. 6. 2. 2. Вычислениярасходящегося вклада
      • 4. 6. 3. Результат вычисления двухпетлевого вклада в эффективное действие
    • 4. 7. Сводка результатов вычисления бесконечных частей квантово-полевых объектов в одно- и двухпетлевом приближении. Перенормировка
      • 4. 7. 1. Эффективное действие
        • 4. 7. 1. 1. Эффективное действие в однопетлевом приближении
        • 4. 7. 1. 2. Эффективное действие в двухпетлевом приближении в схеме регуляризации с импульсом обрезания
        • 4. 7. 1. 3. Эффективное действие в двухпетлевом приближении в схеме размерной регуляризации
      • 4. 7. 2. Квантовые уравнения движения

Приложение метода фонового поля к перенормировке нелинейной сигма-модели (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

1.1 Общее введение.

В течение уже более тридцати лет в квантовой теории поля основное внимание уделяется асимптотически свободным моделям. Такое особое отношение к данным теориям неслучайно. Как известно, современные описания фундаментальных взаимодействий элементарных частиц базируются на теории калибровочных полей (полей Янга-Миллса). Экспериментально установлено наличие асимптотической свободы у электрослабых и сильных взаимодействий, поэтому асимптотически свободная теория Янга-Миллса адекватно описывает эти взаимодействия на классическом уровне (Стандартная модель слабых, сильных и электромагнитных взаимодействий). Гравитация также описывается калибровочной теорией.

С точки зрения квантовой теории (точнее, теории перенормировок) асимптотическая свобода, т. е. «отключение» взаимодействия на малых пространственно-временных масштабах, связана с ультрафиолетовым поведением бета-функции. Инфракрасное поведение теории, отвечающее за наблюдаемое явление конфайнмента кварков, в настоящий момент полностью не изучено. В сущности, законченной и полностью согласующейся с опытом квантовой теории электрослабых и сильных взаимодействий пока не существует (квантовая электродинамика до сих пор представляет исключение). Подробное изучение теории перенормировок должно позволить продвинуться в деле изучения данных явлений.

Помимо теории полей Янга-Миллса, реализующейся в четырёхмерном пространстве-времени, известны другие асимптотически-свободные модели квантовой теории поля, которые существуют в двумерном псевдоевклидовом пространстве. Пример подобной теории — нелинейная сигма-модель. Она применялась в физике в попытках описания взаимодействий мультиплета тг-мезонов. В настоящее время нелинейная сигма-модель используется в теории конденсированного состояния.

Калибровочные поля являются достаточно сложным объектом для исследования. В частности, трудности появляются в процессе вычислений в виду большого количества расходящихся слагаемых, возникающих при регуляризации интегралов по четырёхмерному пространству. Известно, что нетривиальной двумерной теории Янга-Миллса нет. Тем не менее, структура рас-ходимостей сигма-модели оказывается похожей на таковую для квантовой теории калибровочных полей. Значит, прежде чем основательно приступать к изучению теории перенормировок последних, разумным будет подробно разобраться с перенормировками нелинейной сигма-модели. Вычисления в двумерной теории более просты, нежели в четырёхмерной модели.

Сказанное выше является одной из причин, вызывающих интерес к сигма-модели. Кроме того, сигма-модель и её частные случаи, такие как матричная сигма-модель (иначе, главное киральное поле) ещё не изучена во многих аспектах, в частности, не проведено полное исследование старших порядков теории возмущений в формализме фонового поля.

Метод фонового поля является наиболее продвинутым приёмом квантовой теории поля. Недавно был предложен (Л. Д. Фаддеевым) вариант этого метода, использующий фоновое поле, удовлетворяющее так называемым квантовым уравнениям движения. В рекомендуемом формализме наиболее просто строится матрица рассеяния теории, выражающаяся через эффективное действие. Также просто осуществляется регуляризация с применением метода собственного времени Фока. Изучение матричной сигма-модели в рамках указанного подхода и сравнение с результатами, полученными другими методами представляется весьма важной задачей.

В квантовополевой теории перенормировок применяется несколько схем регуляризации. Интуитивно понятной с физической точки зрения является регуляризация с импульсом обрезания, восходящая к Ландау и Вильсону и лежащая в основе теории ренорм-группы. Кроме наглядности эту регуляризацию легко связать с методом собственного времени Фока, значительно упрощающим вычисления. Однако, у неё имеются недостатки, связанные с отсутствием калибровочной инвариантности, что, в конечном счёте ведёт к усложнению вычислений и возможному появлению неоднозначности в последних. Существует альтернативная схема регуляризации — так называемая размерная регуляризация, предложенная т’Хоофтом и Вельтманом. Эта схема чисто формальна и заключается в переходе к пространству-времени меньшей размерности, нежели 4 или 2. Она сохраняет калибровочную инвариантность и вычисления становятся проще. Две схемы регуляризации приводят к различным выражениям для перенормированной константы связи.

Существует гипотеза о совпадении указанных выражений при снятии регуляризации для калибровочных полей, однако она не проверена строго в виду наличия уже упоминавшихся выше трудностей. На примере двумерной матричной сигма-модели проверка этого утверждения представляется более простой. Совпадение перенормировок с одной стороны оправдает использование формальной размерной регуляризации для сигма-модели, а с другой, возможно, позволит расширить область применения неинвариантных регу-ляризаций.

Проверка гипотезы сводится к вычислению эффективного действия в двухпетлевом приближении. В связи с этим, также интересен вопрос, какие диаграммы дают вклад в эффективное действие при двух различных регуляризациях.

Наконец, сами квантовые уравнения движения, возникающие в используемом варианте формализма фонового поля представляют собой весьма интересный предмет для анализа. Например, являются практически совсем не изученными вопросы, связанные с перенормировкой фигурирующих в них объектов (на языке диаграмм — «головастиков»).

Заключение

.

В результате проделанной работы в двух схемах регуляризации был вычислен двухпетлевой вклад в эффективное действие для матричной сигма-модели, выраженный в терминах нормировки оператора Казимира. В частном случае он совпадает с известными выражениями, полученными рядом авторов.

Установлено, что /^-функции, вычисленные с помощью регуляризации с импульсом обрезания и размерной регуляризации совпадают. Это влечёт также совпадение «бегущих констант связи» при снятии регуляризации.

Этот факт является весьма важным для исследования асимптотически свободных теорий, поскольку перенормированные теории для нелинейной сг-модели не зависят от способа регуляризации. Следовательно, мы имеем возможность применять формальную размерную регуляризацию для вычислений перенормировок в этой модели. Полученные результаты оказываются физически верными, поскольку проверено их совпадение с ответами в интуитивно понятной схеме регуляризации с импульсом обрезания, в терминах которой формулируются понятия ренорм-группы и ренорм-инвариантности.

Несмотря на формальный характер размерной регуляризации, вычисления с ней оказываются проще, нежели в универсальной регуляризации с импульсом обрезания. Трудности в последней схеме возникают из-за того, что она не сохраняет калибровочную инвариантность теории. В результате этого появляются квадратичные расходимости. Однако, в нашем случае этих неприятностей удаётся избежать, и квадратичная расходимость устраняется калибровочно-инвариантным образом. Для калибровочных полей разобраться с наличием квадратичных расходимостей в регуляризации с импульсом обрезания ещё предстоит.

Также нами выяснено, что в различных схемах регуляризации в эффективное действие дают вклад пе все возможные типы «поддиаграмм». Так, в размерной регуляризации участвуют части обеих диаграмм «восьмёрка» и «рыбка», а в регуляризации с импульсом обрезания фигурируют только части диаграммы «восьмёрка», а диаграмма «рыбка» не даёт логарифмического вклада. Это обстоятельство, вероятно, может в дальнейшем способствовать сокращению объёма многопетлевых вычислений при анализе подобных моделей.

Факт совпадения результатов использования двух регуляризаций, воз-.' можно, имеет ещё одно значение. Область использования размерной регуляризации ограничена: она не применима к теориям, содержащим киральные фермионы, например, к Стандартной модели (см. [124, 125]) или к суперсимметричным теориям. Подобные модели перенормируют с помощью метода высших ковариантных производных [126] (см. также [27]) и его современных обобщений [127, 128], являющихся, также и обобщениями давно известной в физике регуляризации Паули-Вилларса [129]. Применение регуляризации с импульсом обрезания с учётом некоторых предписаний, касающихся удаления некалибровочно-инвариантных членов, может упростить вычисления с данными моделями.

Следует отметить, что точную формулировку понятия калибровочной инвариантности применительно к главным киральным полям ещё надлежит предъявить. Также необходимо будет принять во внимание связанные с калибровочной инвариантностью симметрии действия (1.3.1).

Мы увидели, что в однопетлевом приближении перенормировки эффективного действия и «головастика» не совпадают [130].

Возникает ситуация, аналогичная теории полей Янга-Миллса, где перенормировки эффективного действия и квантовых уравнений движения также не равны. Там это явление обусловлено наличием двух констант перенормировки (см. [27]). Кроме того, дополнительной перенормировкой одноча-стичной вершины, допустимой вследствие (2.2.7) и сводящейся к перенормировке калибровочного поля совпадение удаётся восстановить [63]. В нашем случае этот множитель равен.

Тем не менее, в двухпетлевом приближении вопрос о совпадении перенормировок действия и уравнений движения остаётся открытым в виду сложности вычисления вклада в одночастичную вершинную функцию. Возможно, в ближайшем будущем этот вопрос будет прояснён. Также пока не ясно, можно ли добиться совпадения перенормировок для матричной сг-модели сколь-нибудь разумным переопределением поля.

В данной работе мы вообще не касались инфракрасного поведения ¡-3-функции и конечной части эффективного действия. Проблема изучения конечных частей актуальна в связи с некоторым оптимизмом в деле завершения программы перенормировок асимптотически свободных теорий и построения конечного перенормированного эффективного действия [см. формулу (1.3.10)].

Скажем также, что в настоящей работе мы использовали только кван-товополевые свойства ег-модели и совершенно не касались её интегрируемости (а также, интегрируемости модели п-поля). Однако мы убедились, что в частном случае (2) сг-модели наш результат для /3-функции совпадает с ответом, полученным в результате анализа главного кирального поля как интегрируемой модели.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Jackl. and OsbornH. Two-loop background field calculations for arbitrary background fields, Nucl. Phys. B, 207, 474 (1982).
  2. JI. Д. Замечания о расходимостях и размерной трансмутации в теории Янга-Миллса, Теорет. и мат. физика, 148, 133 (2006).
  3. FaddeevL. Mass in Quantum Yang-Mills Theory (comment on Clay Millennium Problem), Bull, of Brazil Math. Soc.- New Series, 33(2), 1−12 (2004).
  4. ПоляковА. M. Калибровочные поля и струны — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», пер. с англ., 1999.
  5. ВайнбергС. Квантовая теория полей. Том I: Основы, Пер. с. англ. — М.: Физматлит, 2003.
  6. ВайнбергС. Квантовая теория полей. Том II: Современные приложения, Пер. с. англ. — М.: Физматлит, 2003.
  7. PeskinM.E., Schroeder D. V., An Introduction to Quantum Field Theory., Addison-Wesley Publishing Company. Copyright 1995.
  8. JI. А., Фаддеев JI. Д., Гамильтонов подход в теории солито-нов. — М.: Наука, 1986.
  9. Abbott L.F., The background field method beyond one loop, Nucl. Phys. B, 185, 189 (1982).
  10. БерезинФ.А., Фаддеев Л. Д., Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом, Доклады АН СССР, 137, 1011 (1961).
  11. Coleman S. and WeinbergЕ., Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry breaking, Phys. Rev. D, 7, 1888 (1973).
  12. Coleman S. Secret Symmetry, in Laws of hadronic matter (Proceeding of the 11th Course of the «Ettore Majorana» International School of Subrmclear Physics), ed. A. Zichichi, Academic Press, 1975.
  13. КоулменС. Тайная симметрия: введение в теорию спонтанного нарушения симметрии и калибровочных полей Пер. в 131., е.
  14. Gross D.J. and WilczekF., Ultraviolet behavior of non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. Lett., 30, 1343 (1973).
  15. PolitzerH.D., Reliable perturbative results for strong interactions?, Phys. Rev. Lett., 30, 1346 (1973).16. 'tHooftG. and VeltmanM., Regularizations and renormalizations of gauge fields, Nucl. Phys. B, 44, 189 (1972).
  16. Bornsen J.-P., van de Ven A. E. M. Three-loop Yang-Mills /3-function via the covariant background field method, Nucl. Phys. B, 657, 257 (2003).
  17. БагаевА. А. Двухпетлевые вычисления эффективного действия матричной сг-модели в формализме фонового поля, Теорет. и мат. физика, 154, 354 (2008).
  18. ИциксонК., ЗюберЖ.-Б., Квантовая теория поля — Т. 1, Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
  19. РамонП., Теория поля. Современный вводный курс Пер. с англ.— М.: Мир, 1984.
  20. И. Я., СлавновА.А., Фаддеев J1. Д., Производящий функционал ¿-'-матрицы в калибровочно-инвариантных теориях, Теорет. и мат. физика, 21, 311 (1974).
  21. В. Н. и Фаддеев Л. Д., Теория возмущений для калибровочно-инвариантных полей, Препринт ИТФ-67−036, Киев, 1967.
  22. FaddeevL. D. and PopovV. N., Perturbation theory for gauge invariant fields. In: 135., pp. 31−51.
  23. В. H. и Фаддеев Л. Д., Ковариантное квантование гравитационного поля, Успехи физ. наук, 111, 427 (1973).
  24. FaddeevL. D. and PopovV. N., Covariant quantization of the gravitational field. In: 135., pp. 65−76.
  25. FaddeevL.D., Introduction to functional methods. In: Methodes en theorie des champs/Methods in field theory: Les Houches, Session XXVIII, 1975 (Ed. R. Balian and J. Zinn-Justin) — North-Holland Publishing Company, 1976, 3−40.
  26. FaddeevL.D., Introduction to functional methods. In: 135., cc. 79−119.
  27. ИциксонК., ЗюберЖ.-Б., Квантовая теория поля — Т. 2, Пер. с англ. М.: Мир, 1984.
  28. А. Н., Функциональные методы в квантовой теории поля и статистике. — Изд-во ЛГУ, 1976.
  29. DeWittB.S., In Relativity, Groups and Topology, eds B. S. De Witt, New York, Gordon and Breach, 1965, p. 19.
  30. DeWittB.S., Quantum theory of gravity. II. the manifestly covariant theory, Phys. Rev. 162, 1195 (1967).
  31. ДевиттБ.С., Динамическая теория групп и полей: Пер. с англ./Под ред. Г. А. Вилковысского. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. — 1987.
  32. Honerkamp J., Chiral multi-loops, Nucl. Phys. B, 36, 130 (1972).
  33. Hooft’t G., An algorithm for the poles at dimension four in the dimensional regularization procedure, Nucl. Phys. B, 62, 444 (1973).
  34. TomonagaS., On a relativisticaly invariant formulation of the quantum theory of wave fields, Progr. Theor. Phys., 1, 27 (1946).
  35. ТомонагаС., Релятивистски инвариантная формулировка квантовой теории волновых полей. Пер. в 133., с. 1.
  36. Schwinger J., Quantum electrodynamics. I. A covariant formulation, Phys. Rev., 74, 1439 (1948).
  37. ШвингерЮ., Квантовая электродинамика. Пер. в 133., с. 12.
  38. FeynmanR. P., Space-time approach to quantum electrodynamics, Phys. Rev., 76, 769 (1949).
  39. Р., Пространственно-временная трактовка квантовой электродинамики. Пер. в 133., с. 161.
  40. DysonF. J-, The radiation theories of Tomonaga, Schwinger and Feynman, Phys. Rev., 75, 486 (1949).
  41. ДайсонФ., Теория излучения Томонага, Швингера и Фейнмана. Пер. в 132., с. 94.
  42. G. С., The evaluation of the collision matrix, Phys. Rew., 80, 268 (1950).
  43. О. П., Адельсон-Вельский Г. М., Дискретная математика для инженера. — М.: Энергоатомиздат, 1988.
  44. ХарариФ., Теория графов: Пер. с англ., — М.: «Мир», 1973.
  45. В. С., Вариационное исчисление: Учеб. пособие для физ.-мат. спец. вузов]. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  46. Н. И., Вариационное исчисление — Харьков: Вища школа, 1981.
  47. АхиезерН. И., Лекции по вариационному исчислению. Учебник для гос. ун-тов]. — М.: Гостехиздат, 1955.
  48. В. И., Математические методы классической механики — М., «Наука», 1974.
  49. Jona-LasinioG., Relativistic field theories with symmetry-breaking solutions, Nuovo Cimento, 34, 1790 (1964).
  50. DashenR. F., HasslacherB. and NeveuA., Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. I. Semiclassical functional methods, Phys. Rew. D, 10, 4114, (1974).
  51. DashenR.F., HasslacherB. and NeveuA., Nonperturbative methods and extended-hadron models in field theory. II. Two-dimensional models and extended hadrons, Phys. Rew. D, 10, 4130 (1974).
  52. Goldstone J. and Salam A. and WeinbergS., Broken symmetries, Phys. Rev., 127, 965 (1962).
  53. Iliopoulos J., ItzyksonC., Martin A., Functional methods and perturbation theory, Rev. Mod. Phys., 47, 165 (1975).
  54. КорепинВ.Е. и ФаддеевJL Д., Квантование солитонов, Теорет. и мат. физика, 25, 147 (1975).
  55. БагаевА. А., Перенормировка квантовых уравнений движения для полей Янга-Миллса в формализме фонового поля, Записки научн. семин. ПОМИ РАН, 325, 5 (2005).
  56. Bagaev A. A., Renormalization of the quantum equation of motion for Yang-Mills fields in the background formalism, J. Math. Sci., 138, 5631 (2006).
  57. . А., НовиковС. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия: методы и приложения. Том II. Геометрия и топология многообразий. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.
  58. Yang С. N. and Mills R. L., Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance, Phys. Rev., 96, 191 (1954).
  59. ЯнгЧ. и МиллсР., Сохранение изотопического спина и изотопическая калибровочная инвариантность. Пер. в 134., с. 28.
  60. М. М., Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.
  61. В. С., Обобщённые функции в математической физике. — 2-е изд., испр., доп. — М.: Наука, 1979.
  62. Фок В. А., Работы по квантовой теории поля — Издательство Ленинградского университета, 1957.
  63. Ю. В. Новожилов В. Ю., Владимир Александрович Фок (К столетию со дня рождения) — Санкт-Петербургский государственный университет «Физика элементарных частиц и ядра» 2000, том 31, вып. 1.
  64. Schwinger J., On gauge invariance and vacuum polarization, Phys. Rev., 82, 664 (1951).
  65. FeynmanR. P., An operator calculus having applications in quantum electrodynamics, Phys. Rev., 84, 108 (1951).
  66. В. С., Уравнения математической физики: Учеб. для вузов]. — 2-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004.
  67. DowkerJ.S. and Gritchley Raymond, Effective Lagrangian and energy-momentum tensor in de Sitter space, Phys. Rew. D, 13, 3224 (1976).
  68. CorriganE., GoddardP. and OsbornH., TempletonS., Zeta-function reg-ularization and multi-instanton determinants, Nucl. Phys. B, 159, 469 (1979).
  69. Patodi V. K., Curvature and the eigenforms of the Laplace operator, J. Diff. Geom., 5, 233 (1971).
  70. GilkeyP. В., The spectral geometry of a Riemannian manifold, J. Diff. Geom., 10, 601 (1975).
  71. GilkeyP. В., The spectral geometry of real and complex manifolds, Proc. Symp. Pure Math., 27, 265 (1975).
  72. SeeleyR. Т., Complex powers of an elliptic operator, Proc. Symp. Pure Math., 10, 288 (1967).
  73. . А., Новиков С. П., Фоменко А. Т., Современная геометрия: методы и приложения. Том I. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. — М.: Эдиториал УРСС, 1998.
  74. В. М. и БулдыревВ. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. Метод эталонных задач, М.: «Наука», 1972.
  75. ЦвеликА. М., Квантовая теория поля в физике конденсированного состояния: Пер. с англ. — М.: Физматлит, 2002.
  76. WeinbergS., Dynamical approach to current algebra, Phys. Rev. Lett., 18, 188 (1967).
  77. MeetzK., Realization of the chiral symmetry in a curved isotopic space, J. Math. Phys., 10, 589 (1969).
  78. Polyakov A. M., Interaction of Goldstone particles in two dimensions. Applications to ferromagnets and massive Yang-Mills fields, Phys. Lett. B, 59, 79 (1975).
  79. Polyakov A. M., Hydden symmetry of the two-dimensional chiral fields, Phys. Lett., B, 72, 224 (1977).
  80. Polyakov A. and Wiegmann P. В., Theory of nonabelian Goldstone bosons in two dimensions, Phys. Lett., B, 131, 121 (1983).
  81. МигдалА.А., Фазовые переходы в калибровочных и спиновых решеточных системах, ЖЭТФ, 69, 1457 (1975).
  82. Семёнов-Тян-ШанскийМ. А. и Фаддеев JI. Д., К теории нелинейных ки-ральных полей, Вестник ЛГУ, 3, 81 (1977).
  83. Ecker G. and Honerkamp J., Application of invariant renormalization to the non-linear chiral invariant pion Lagrangian in the. one-loop approximation, Nucl. Phys. B, 35, 481 (1971).
  84. СлавновА. А. и Фаддеев Л. Д., Инвариантная теория возмущений для нелинейных киральных лагранжианов, Теорет. и мат. физика, 8, 297 (1971).
  85. FriedanD., Nonlinear models in 2 + e dimensions, Phys. Rev. Lett., 45, 1057 (1980).
  86. FriedanD., Nonlinear models in 2 + e dimensions, Ann. Phys., 163, 318 (1985).
  87. FateevV.A., OnofriE., ZamolodchikovAl. В., Integrable deformations of the 0(3) sigma model. The sausage model, Nucl. Phys. B, 406, 521 (1993).
  88. И. Я., Об устранении расходимостей в модели трёхмерного п-поля, Теорет. и мат. физика, 31, 3 (1977).
  89. BrezenE., Zinn-Justin J., Spontaneous breakdown of continuous symmetries near two dimensions, Phys. Rev. В 14, 3110 (1976).
  90. HikamiS. and BrezenE., Three-loop calculations in the two dimensional non-linear сг-model, J. Phys. A: Math. Gen., Vol. 11, No. 6, 1976.
  91. CampostriniM., Pelissetto, Rossi P. and VicariE., Strong-coupling analysis of two-dimensional 0(N) a model with N 2 on square, triangular and honeycomb lattices, Phys. Rev., 54, 7301 (1996).
  92. CampostriniM., Pelissetto, Rossi P. and VicariE., Strong-coupling analysis of two-dimensional 0(N) a model with N 3 од- square, triangular and honeycomb lattices, Phys. Rev., 54, 1782 (1996).
  93. ЧередникИ. В., Локальные законы сохранения главных киральных полей (d = 1), Теорет. и мат. физика, 38, 179 (1979).
  94. ЧередникИ. В., Алгебраические аспекты двумерных киральных полей I. В книге: Итоги науки и техники (Серия: Современные проблемы математики), том 17, М.: ВИНИТИ, 1981, с. 175.
  95. WiegmannP. В., On the theory of non Abelian bosons in two dimensions- exact solutions of the SU (N) SU (N) nonlinear a model, Phys. Lett., B, 141, 217 (1984).
  96. FaddeevL. D., ReshetikhinN. Yu., Integrability of the principal chiral field model in 1 + 1 dimension, Ann. Phys., 167, 227 (1986).
  97. КричеверИ. M., Аналог формулы д’Аламбера для уравнений главного поля и уравнения sine-Gordon, ДАН СССР, 253, 288 (1980).
  98. В. Е., Михайлов А. В., Релятивистски-инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи, ЖЭТФ, 74, 1953 (1978).
  99. РешетихииН. Ю. и Фаддеев JL Д., Интегрируемость квантовой модели главного кирального поля. В книге: Труды VII Международного совещания по проблемам квантовой теории поля, Алушта, 1984, с. 37.
  100. ФаддеевJI. Д., Интеграл Фейнмана для сингулярных лагранжианов, Теорет. и мат. физика, 1, 3 (1969).
  101. FradkinE. S. and TyutinLV., Feynman rules for the massless Yang-Mills field. Renormalizability of the theory of the massive Yang-Mills field, Phys. Lett. B, 30, 562 (1969).
  102. Нгуен Ван Хьеу, Лекции по теории унитарной симметрии элементарных частиц, М.: Атомиздат, 1967.
  103. M.IH. и СоломякМ.З., Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве: Учеб. пособие. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.
  104. Н. И., ГлазманИ. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве: Т.1. — 3-е изд., испр. и доп. — Харьков: Вища школа, Изд-во при Харьк. ун-те, 1977.
  105. АхиезерН.И., ГлазманИ.М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве: Т.2. — Харьков: Вища школа, Изд-во при Харьк. ун-те, 1978.
  106. ПобедряБ.Е., Лекции по тензорному анализу: Учеб. пособие. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986.
  107. Roe J., Elliptic operators, topology and asymptotic methods, Longman Scientific Technical, Copublished in the United States with John Wiley Sons, Inc., New York, 1988.
  108. Дж., Введение в теорию алгебр Ли и их представлений — Пер. с англ. М.: МЦНМО, 2003.
  109. Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для студентов-математиков. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001.
  110. FrolovS. A. and SlavnovA. A., An invariant regularization of the standard model, Phys. Lett. В., 309, 344 (1993).
  111. BakeevT. D. and SlavnovA. A., Higher covariant derivative regularization revisited, Mod. Phys. Lett. A., 11, 1539 (1996).
  112. SlavnovA. A. Invariant regularization of non-linear chiral theories, Nucl. Phys. B, 31, 301 (1971).
  113. SlavnovA.A., Universal gauge invariant renormalization, Phys. Lett., B, 518, 195 (2001).
  114. СлавновА. A., He зависящая от регуляризации калибровочно-инвари-антная перенормировка теории Янга-Миллса, Теорет. и мат. физика, 130, 3 (2002).
  115. PauliW. and VillarsF. On the invariant regularizatioibin relativistic quantum theory, Rev. Mod. Phys., 21, 434 (1949).
  116. В., ВилларсФ., Об инвариантной регуляризации релятивистской квантовой теории Пер. в 132., с. 139.
  117. А. А., Замечание о перенормировке квантовых уравнений движения для матричной сигма-модели, Записки научн. семин. ПОМИ РАН, 347, 30 (2007).
  118. Квантовая теория калибровочных полей — Сб. статей — М.: Мир, 1977.
  119. Элементарные частицы и компенсирующие поля: Сб. статей/Под ред. Д. Иваненко — М.: «Мир», 1964.
  120. FaddeevL.D., 40 years in mathematical physics: World scientific series in 20th century mathematics, Vol.2, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., Singapore, 1995.
Заполнить форму текущей работой

На отлично!