Эллиптические задачи с нелокалными краевыми условиями и полугруппы Феллера

Актуальность темы

.

Настоящая диссертация посвящена следующим взаимосвязанным вопросам: разрешимости и гладкости решений эллиптических уравнений с нелокальными краевыми условиями и существованию полугрупп Феллера, возникающих в теории многомерных диффузионных процессов.

Обыкновенные дифференциальные уравнения с нелокальными условиями, возникающими в гидродинамике, рассматривал еще А. Зоммерфельд [101]. Впоследствии одномерные нелокальные задачи изучали В. А. Ильин [29], В. А. Ильин и Е. М. Моисеев [30], А. Крол [90], М. Пиконе [92], А. Л. Ску-бачевский [99], Я. Д. Тамаркин [68], А. А. Шкаликов [69] и др.

В 1932 г. Т. Карлеман [76] рассмотрел задачу о нахождении голоморфной функции в ограниченной области (7, удовлетворяющей следующему условию: значение неизвестной функции в точке у границы <9(7 связано со значением в каждой точке П (у), где: <9(7 —>• <9(7 — гладкое невырожденное преобразование, = у, у е 5(7. В работе [76] эта задача сводится к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом. С такой постановкой задачи связаны дальнейшие исследования сингулярных интегральных уравнений со сдвигом, отображающим границу области на себя и порождающим конечную группу (подробную библиографию можно найти, например, в книге Н. И. Му-схелишвили [44]), а также работы, в которых изучаются эллиптические уравнения, содержащие сдвиг области на себя (см. монографию А. Б. Антоневича и А. В. Лебедева [71]). Эллиптические уравнения с абстрактными нелокальными краевыми условиями изучались в работах Р. Билза [72], Ф. Браудера [73], М. И. Вишика [7], М. Шехтера [95]. При этом на абстрактные операторы налагались условия, гарантирующие выполнение неравенства коэрцитивности. В ряде случаев накладывались ограничения на сопряженный оператор.

В 1969 г. А. В. Бицадзе и А. А. Самарский [5] рассмотрели принципиально иную нелокальную эллиптическую задачу, возникающую в теории плазмы: ищется гармоническая в ограниченной области С функция, удовлетворяющая нелокальным условиям, связывающим значения искомой функции на многообразии Гх С дй со значениями на некотором многообразии, лежащем внутри области Сна множестве <9(7 Гх ставится условие Дирихле. В случае прямоугольной области эта задача была решена в работе [5] сведением к интегральному уравнению Фредгольма второго рода и применением принципа максимума. В случае произвольной области и общих нелокальных условий задача была сформулирована как нерешенная [54]. (Укажем также работу А. Крола [90], в которой отмечена важность развития теории нелокальных краевых задач.).

Различные варианты и обобщения нелокальных задач, которые содержат преобразования переменных, отображающие границу в замыкание области, рассматривали А. В. Бицадзе [3,4], А. К. Гущин [25], А. К. Гущин и В. П. Михайлов [26,27], Н. В. Житарашу и С. Д. Эйдельман [28], В. А. Ильин и Е. И. Моисеев [31], К. Ю. Кишкис [33,34], Б. П. Панеях [48], Я. А. Ройтберг и 3. Г. Шеф-тель [52,53], А. П. Солдатов [66] и др.- при этом особое внимание уделялось разрешимости нелокальных задач. Спектральные свойства нелокальных задач в многомерном случае исследовались Е. И. Моисеевым [42,43], М. А. Муста-финым [45]. Отметим, что в цитированных работах изучается либо двумерный случай, либо уравнения второго порядка, либо накладываются достаточно жесткие условия на геометрию носителя нелокальных членов (например, предполагается, что носитель нелокальных членов лежит внутри области или имеет пересечение только с той частью границы, где задано «локальное» условие Дирихле).

Основы теории линейных эллиптических уравнений порядка 2 т с нелокальными краевыми условиями общего вида были заложены в работах А. Л. Ску-бачевского и его учеников [35,49,50,56,58,59,61−63,65,97,99,100]: приведена классификация по типу нелокальных условий, доказаны априорные оценки и построены правый и левый регуляризаторы в пространствах Соболева или весовых пространствах (в зависимости от типа нелокальных условий), а также получена асимптотика решений вблизи точек сингулярности. Для ряда задач изучены спектральные свойства и свойства индекса соответствующих операторов. В частности, было показано, что свойства задачи существенным образом зависят от геометрии носителя нелокальных членов. Проиллюстрируем возможные случаи на следующем примере.

Пусть (?с1п (п>2) — ограниченная область с границей <9(2 = Гх и Г2 и /С, где Та — открытые связные (в топологии <9(7) (п— 1)-мерные многообразия класса С°°, /С = Гх П Г2 — (п — 2)-мерное связное многообразие без края класса С°° (если п = 2, то К. — {¿-/х, 02}> где дг, д2~ концы кривых Гх, Г2). Пусть в окрестности каждой точки д е К область С диффеоморфна п-мерному двугранному (плоскому, если п = 2) углу. Рассмотрим в области С нелокальную задачу.

Здесь bff G С°°(Е2) — Пст — бесконечно дифференцируемые невырожденные преобразования, отображающие некоторую окрестность Оа многообразия IV на множество так, что ЦДГо-) с G. Точки множества К назовем точками сопряжения нелокальных краевых условий.

В работах A. JI. Скубачевского предложена следующая классификация:

Лм = /оЫ (ytG), ura ~ К (у)и (Па (у))га = О (о- = 1,2).

1) (2).

1. Г2 = 0 и Hi (rx) = CG (рис. 1);

2. Г2/0и Па{ IV) П /С = 0, С7 = 1,2 (рис. 2);

3. Г2^0и fi, (TV) П К ф 0, а = 1 или 2 (рис. 3).

Рис. 1. Область G с границей 6G = Гх.

Гх.

Рис. 2: fiff (IV) п/с = 0.

Ti.

Рис. 3: IV (IV) П /С 0.

Первый класс задач (а также его обобщения на случай абстрактных нелокальных операторов в краевых условиях) является наиболее изученным: свойства нелокальной задачи во многом близки к свойствам соответствующей «локальной» задачи (когда 6СТ ('//) = 0). В частности, нелокальная задача фредголь-мова в обычных пространствах Соболева и ее индекс равен индексу «локализованной» задачи, а соответствующая задача со спектральным параметром однозначно разрешима при достаточно больших значениях параметра (см. [56, 58,99]). В случае когда спектр локальной задачи дискретный, нелокальная задача также имеет дискретный спектр, а система ее корневых функций образует базис Абеля в соответствующем пространстве Соболева (см. [49,50]).

Существенно более сложная ситуация имеет место для второго и третьего классов. Для второго класса нелокальных задач кривая ^(Г^.) может пересекаться (в том числе касаться) границы области, а в более общем случае даже частично совпадать с границей. Для третьего класса задач считаем, что подход носителя нелокальных членов в точках сопряжения к границе области некасательный, что существенно для используемого в диссертации метода. В работах [59,100] показано, что в случае пересечения носителя нелокальных членов с границей области решения могут иметь степенные особенности вблизи точек сопряжения краевых условий даже в случае бесконечно гладкой границы и бесконечно дифференцируемой правой части. Поэтому такие задачи рассматривались ранее в специальных весовых пространствах, учитывающих возможные особенности решений. Наиболее удобными при этом оказались пространства В. А. Кондратьева, введенные им при исследовании «локальных» краевых задач в областях с угловыми или коническими точками. В работах [35, 59, 62, 63] доказана фредгольмова разрешимость нелокальных задач в пространствах В. А. Кондратьева, а в работе [97] показано, что если носитель нелокальных членов не пересекается с точками сопряжения краевых условий (рис. 2), то индекс нелокальной задачи равен индексу соответствующей локальнойв противном случае (рис. 3) это, вообще говоря, уже неверно.

Отметим, что нелокальные эллиптические задачи с касательным подходом кривой Г2о-(Га) к границе области в точках сопряжения краевых условий в отдельных случаях изучались в работах [4, 34] методами теории функций комплексного переменного, однако общая теория нелокальных краевых задач в этом случае не развита.

Независимо от упомянутых работ, нелокальные эллиптические задачи возникли в теории многомерных диффузионных процессов, описывающих с вероятностной точки зрения поведение частицы в области G. В работах [78, 79] В. Феллер показал, что всякому одномерному (п = 1) диффузионному процессу соответствует некоторая сильно непрерывная неотрицательная сжимающая полугруппа в пространстве C (G) или некотором его подпространстве. Впоследствии такие полугруппы получили название полугрупп Феллера. Кроме того, В. Феллер получил необходимые и достаточные условия того, что обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка является генератором (инфи-нитезимальным производящим оператором) указанной полугруппы. Полученные им краевые условия, задающие область определения оператора, являются нелокальными.

В многомерном случае (п ^ 2) общий вид генератора полугруппы Феллера был получен А. Д. Вентцелем [6]. Им было доказано, что генератор полугруппы Феллера есть эллиптический дифференциальный оператор второго порядка (возможно, с вырождением), область определения которого состоит из непрерывных (один или два раза непрерывно дифференцируемых, в зависимости от процесса) функций, удовлетворяющих нелокальным краевым условиям. Нелокальное слагаемое представляет собой интеграл от функции по замыканию области относительно неотрицательной борелевской меры f?(y, dri), у Е dG.

В наиболее сложном случае, когда мера атомарна, нелокальные условия могут принимать вид (2). Их вероятностный смысл таков: частица, попадая в точку у е IV, может через некоторое случайное время с вероятностью Ьа (О ^ ba ^ 1) оказаться в точке Оа (у) (такое поведение частицы называют «скачком»), либо с вероятностью 1 — Ъа поглотиться границей —в этом случае процесс завершается.

В общем случае краевые условия содержат производные от неизвестной функции до второго порядка включительно, что соответствует, помимо поглощения, отражению частицы от границы области, диффузии вдоль границы и явлению вязкости.

Следующая задача остается при п ^ 2 нерешенной. Пусть задан эллиптический интегро-дифференциальный оператор, область определения которого описывается нелокальными краевыми условиями общего вида [6]. Будет ли такой оператор (или его замыкание) генератором полугруппы Феллера?

Различают два класса нелокальных краевых условий: трансверсальные и нетрансверсальные. В трансверсальном случае порядок нелокальных членов меньше порядка локальных, тогда как в нетрансверсальном порядки совпадают. Трансверсальный случай изучали К. Сато и Т. Уено [94], Дж. М. Бони, П. Ко-редж и П. Приоре [75], С. Ватанабе [105], К. Таира [102−104], Й. Ишикава [89] и многие другие. В работах А. Л. Скубачевского [60,64,98] был предложен метод изучения более сложного нетрансверсального случая. Этот метод основан на использовавшейся ранее (см. [56,59]) в теории нелокальных задач идее отделения нелокальных членов от локальных граничных операторов и теореме Хилле—Иосиды. Впоследствии метод был развит в работах [9,10,80,81].

Помимо приложений нелокальных эллиптических задач к теории плазмы и теории диффузионных процессов, укажем на важные приложения, возникающие в теории функционально-дифференциальных уравнений (см. монографию [99] и приведенную там библиографию), теории параболических задач с нелокальными краевыми условиями (см. [96]), в авиационно-космической технике при моделировании многослойных пластин и оболочек [47,91,99], в задачах терморегуляции при описании процессов в химических реакторах и системах климат-контроля (см. [24,77]), а также в теории управления (см., например, [70]). Кроме того, отметим монографию А. Бенсусана и Ж.-Л. Лионса [74], где, в частности, рассматриваются эллиптические интегро-дифференциальные операторы в связи с вопросами стохастической теории управления.

В последнее время развивается также теория нелокальных нелинейных уравнений и неравенств и ее приложения. В этой связи упомянем статью [41], в которой изучаются дифференциальные неравенства с нелокальными слагаемыми (там же можно найти ссылки на работы других авторов).

Новизна результатов.

До сих пор [59,62,63,83] в общей теории эллиптических задач с нелокальными краевыми условиями предполагалось, что преобразования вблизи точек сопряжения краевых условий линейны, а именно представляют из себя композицию операторов сдвига, поворота и гомотетии. В гл. I рассматривается задача с нелинейными преобразованиями. Оказывается [14], такая задача не есть малое или компактное возмущение соответствующей задачи с линейными преобразованиями. Однако в работе показано, что при переходе от линейных преобразований переменных к нелинейным оператор задачи в весовых пространствах В. А. Кондратьева остается фредгольмовым и его индекс не меняется. Для простоты изложения мы считаем, что п = 2, однако соответствующие результаты переносятся и на случай п ^ 3 (см. [14]).

Ранее вопрос о фредгольмовости неограниченного нелокального оператора в Ь2(С?) в случае подхода носителя нелокальных членов к границе области изучался лишь тогда, когда нелокальные условия заданы на сдвигах границы [57,61], или же в случае нелокального возмущения задачи Дирихле для уравнения второго порядка [25−27]. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах Соболева ¥-1+2т (0) = И⁴″ 2&trade-^) (где 2 т — порядок эллиптического уравнения, I > 0) прежде не исследовалась. Основная трудность заключается в том, что решения нелокальной задачи могут иметь степенные особенности вблизи некоторых точек и, вообще говоря, не принадлежат «нужному» пространству Соболева. Соответствующие вопросы изучены в гл. Н-1У. Показано, что фредгольмова разрешимость ограниченного оператора в пространствах Соболева У1+2т{С) определяется расположением собственных значений некоторой вспомогательной оператор-функции £(А) (зависящих от комплексного параметра А), структурой жордановых цепочек, отвечающих этим собственным значениям, а также выполнением определенных алгебраи-. ческих соотношений между эллиптическим оператором и операторами в нелокальных краевых условиях. Изучены нелокальные краевые условия как с нулевой правой частью, так и с произвольной. Неограниченный оператор в Ь2©, заданный на обобщенных решениях нелокальной задачи (функциях из 0 ^ I ^ 2 т — 1), оказывается фредгольмовым вне зависимости от расположения собственных значений оператор-функции С{А). При помощи понятия раствора — между неограниченными операторами (см. [32]) исследована устойчивость индекса нелокальных операторов в Ь2{0) при возмущении эллиптического уравнения младшими членами и краевых условий нелокальными операторами.

В работе [36] рассматривался вопрос о гладкости вблизи угловой или конической точки обобщенных решений из пространства Соболева Ут© эллиптического уравнения порядка 2 т с условием Дирихле на границе. В частности, было доказано, что решения можно сделать сколь угодно гладкими за счет уменьшения раствора угла. Принципиально иная ситуация имеет место в случае нелокальных краевых условий. В [59,100] показано, что гладкость обобщенных решений может нарушаться вблизи гладкой границы или вершины малого угла. С другой стороны, наличие нелокальных членов с достаточно большими по модулю коэффициентами может обеспечить гладкость обобщенных решений вблизи вершины угла, большего тг. В гл. V изучена гладкость обобщенных решений из? г©, О ^ I < 2 т — 1, эллиптических уравнений порядка 2трассматриваются нелокальные краевые условия как с нулевой, так и с произвольной правой частью.

Вопрос о существовании полугрупп Феллера в нетрансверсальном случае рассматривался в работах [60,98] при условии, что коэффициенты нелокальных операторов убывают при стремлении аргумента к границе области. В [10,81] изучены краевые условия в случае, когда коэффициенты при нелокальных членах вблизи точек сопряжения краевых условий меньше единицы. Показано, что нелокальную задачу (после сведения на границу) можно рассматривать в определенном смысле как возмущение «локальной» задачи Дирихле. Предельный случай, когда коэффициенты при нелокальных членах равны единице, до сих пор оставался неизученным (больше единицы коэффициенты быть не могут [6]). В гл. VI исследованы нетрансверсальные нелокальные условия, допускающие этот предельный случай. Получены достаточные условия на борелевскую меру д (у, ?1]) (носитель которой содержится в замыкании области), гарантирующие, что соответствующий нелокальный оператор будет генератором полуи группы Феллера. При этом изучены как ограниченные, так и неограниченные возмущения эллиптического оператора.

Структура диссертаций.

Диссертация состоит из введения, шести глав и списка литературы. Главы содержат параграфы, которые имеют сплошную нумерацию (всего — 26 параграфов). Параграфы, в свою очередь, разделены на пункты. Нумерация пунктов двойная: первое число означает номера параграфа, второе — номер пункта внутри параграфа. Во введении нумерация формул одинарная. В гл. I—VI нумерация формул, теорем, лемм и т. д. двойнаянапример, первое число номера формулы означает номер параграфа, второе —номер формулы внутри параграфа.

1. Агранович M. С., Вишик М. И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида// Успехи матем. наук. — 1964. — 19, № З.-С. 53−161.

2. Ахиезер Н. И., Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — М.: Наука, 1966.

3. БицадзеА. В. К теории нелокальных краевых задач// Докл. АН СССР. — 1984.-277, № 1. — С. 17−19.

4. Бицадзе А. В. Об одном классе условно разрешимых нелокальных краевых задач для гармонических функций// Докл. АН СССР. — 1985. — 280, № 3. С. 521−524.

5. Бицадзе А. В., Самарский А. А. О некоторых простейших обобщениях линейных эллиптических краевых задач// Докл. АН СССР. —1969. — 185, № 4.-С. 739−740.

6. Вентцелъ А. Д. О граничных условиях для многомерных диффузионных процессов// Теор. вероятн. и ее применения. — 1959. — 4, № 2. — С. 172— 185.

7. Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений// Труды Моск. матем. общ. — 1952. — 1. — С. 187— 246.

8. Волевич Л. Р. Разрешимость краевых задач для общих эллиптических систем// Матем. сб. 1965. — 68, № 3. — С. 373−416.

9. Галахов Е. И. О достаточных условиях существования полугрупп Фел-лера// Матем. заметки. — 1996. — 60, № 3. — С. 442−444.

10. Галахов Е. И., Скубачевский А. Л. О сжимающих неотрицательных полугруппах с нелокальными условиями// Матем. сб. — 1998. — 189. — С. 45−78.

11. Гилбарг Д., Трудинеер М. Эллиптические дифференциальные уравнения второго порядка. — М.: Наука, 1989.

12. Гохберг И. Ц., Сигал Е. И. Операторное обобщение теоремы о логарифмическом вычете и теоремы Руше// Матем. сб. —1971. — 84 (126), № 4. — С. 607−629.

13. Гуревич П. Л. Асимптотика решений нелокальных эллиптических задач в плоских углах// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2003. — 23. — С. 93−126.

14. Гуревич П. Л. Нелокальные эллиптические задачи с нелинейными преобразованиями переменных вблизи точек сопряжения// Известия РАН. Сер. матем. -2003. 67, № 6. — С. 81−120.

15. Гуревич П. Л. О гладкости обобщенных решений нелокальных эллиптических задач на плоскости// — Докл. АН. — 2004. — 398, № 3. — С. 295 299.

16. Гуревич П. Л. Обобщенные решения нелокальных эллиптических задач// Матем. заметки. 2005. — 77, № 5. — С. 665−682.

17. Гуревич П. Л. Об устойчивости индекса неограниченных нелокальных операторов в пространствах Соболева// Труды МИАН. — 2006. — 255. — С. 116−135.

18. Гуревич П. Л. О неустойчивости индекса некоторых нелокальных эллиптических задач// Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2007. — 26. С. 179−194.

19. Гуревич П. Л. Неограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными краевыми условиями// Докл. АН.—2007.— 417, № 4.

20. Гуревич П. Л. О существовании полугруппы Феллера с атомарной мерой в нелокальном краевом условии// Труды МИАН. — 2008. — 260. С. 164— 179.

21. Гуревич П. Л. Ограниченные возмущения двумерных диффузионных процессов с нелокальными условиями вблизи границы// Матем. заметки.— 2008. — 83, № 2.-181−198.

22. Гуревич П. Л. О несуществовании полугрупп Феллера в нетрансверсаль-ном случае// Успехи матем. наук. — 2008. — 63, № 3. — С. 159−160.

23. Гуревич П. Л., Скубачевский А. Л. О фредгольмовой и однозначной разрешимости нелокальных эллиптических задач в многомерных областях// Труды Моск. матем. общ. — 2007. — 68. — С. 288−373.

24. Гуревич П. Л., Егер В., Скубачевский А. Л. О существовании периодических решений некоторых нелинейных задач термоконтроля// Докл. АН. 2008. — 418, № 2. — С. 151−154.

25. Гущин А. К. Условие компактности одного класса операторов и его применение к исследованию разрешимости нелокальных задач для эллиптических уравнений// Матем. сб. — 2002. — 193, № 5. — С. 17−36.

26. Гущин А. К., Михайлов В. П. О разрешимости нелокальных задач для эллиптического уравнения второго порядка// Матем. сб. — 1994. — 185, № 1.-С. 121−160.

27. Гущин А. К., Михайлов В. П. О непрерывности решений одного класса нелокальных задач для эллиптического уравнения// Матем. сб. — 1995. 186, №. 2. — С. 37−58.

28. Житарашу Н. В., Эйдельман С. Д. О нелокальных граничных задачах для эллиптических уравнений// Матем. исслед. — 1971. — 6, № 2 (20). — С. 63−73.

29. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка// Дифференц. уравнения. 1986. — 22, № 12. — С. 2059;2071.

30. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Априорная оценка решения задачи, сопряженной к нелокальной краевой задаче первого рода// Дифференц. уравнения. 1988. — 24, № 5. — С. 795−804.

31. Ильин В. А., Моисеев Е. И. Двумерная нелокальная краевая задача для оператора Пуассона в дифференциальной и разностной трактовках// Ма-тем. модел. 1990. — 2, № 8. — С. 139−156.

32. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.

33. Кишкис К. 10. Об индексе задачи Бицадзе—Самарского для гармонических функций// Дифференц. уравнения. — 1988. — 24, № 1. — С. 105−110.

34. Кишкис К. Ю. К теории нелокальных задач для уравнения Лапласа// Дифференц. уравнения. — 1989. — 25, № 1. — С. 59−64.

35. Ковалева О. А., Скубачевский А. Л. Разрешимость нелокальных эллиптических задач в пространствах с весом// Матем. заметки. — 2000. — 67, № 6. С. 882−898.

36. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками// Тр. Моск. матем. общ. — 1967. — 16. — С. 209−292.

37. Кондратьев В. А. Особенности решений задачи Дирихле для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности ребра// Дифференц. уравнения. 1977. — 13, № 11. — 2026;2032.

38. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1971.

39. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. — М.: Мир, 1971.

40. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Ьр~оценки решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами// Труды Моск. матем. общ. — 1978. -37. -С. 49−93.

41. Митидиери Э., Похожаев С. И. Теоремы типа Лиувилля для некоторых нелинейных нелокальных задач// Докл. АН. — 2004. — 399, № 6. — С. 732−736.

42. Моисеев Е. И. О спектральных характеристиках одной нелокальной краевой задачи// Дифференц. уравнения. — 1994. — 30, № 5. — С. 864−872.

43. Моисеев Е. И. Об отсутствии свойства базисности у системы корневых функций одной нелокальной краевой задачи// Дифференц. уравнения. — 1994. 30, № 12. — С. 2082;2093.

44. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Физ-матгиз, 1962.

45. Мустафин М. А. Суммируемость методом Абеля рядов по корневым векторам нелокальных эллиптических задач// Дифференц. уравнения.— 1990.-26, № 1.-С. 167−168.

46. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. — М.: Наука, 1991.

47. Онанов Г. Г., Скубачевский А. Л. Дифференциальные уравнения с отклоняющимися аргументами в стационарных задачах механики деформируемого тела// Прикладная механика. — 1979. — 15, № 5. — С. 39−47.

48. Панеях Б. П. О некоторых нелокальных краевых задачах для линейных дифференциальных операторов// Матем. заметки. — 1984. — 35, № 3. — С. 425−434.

49. Подъяпольский В. В. Полнота и базисность по Абелю системы корневых функций одной нелокальной задачи// Дифференц. уравнения. — 1999. — 35, № 4. С 568−569.

50. Подъяпольский В. В., Скубачевский’А. Л. О главном члене спектральной асимптотики нелокальных эллиптических задач. — Тезисы конференции, посвященной 75-летию Л. Д. Кудрявцева, 1998. — С. 157.

51. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б, Лекции по фукнциональному анализу.— М.: Иностранная литература, 1954.

52. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Об одном классе общих нелокальных эллиптических задач// Докл. АН СССР. —1970. — 192, № З.-С. 511 513.

53. Ройтберг Я. А., Шефтель 3. Г. Нелокальные задачи для эллиптических уравнений и систем// Сиб. матем. журн. — 1972. — 13, № 1. — С. 165−181.

54. Самарский А. А. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений// Дифференц. уравнения. — 1980. — 16, № 11. — С. 1925;1935.

55. Скубачевский А. Л. О некоторых нелокальных эллиптических краевых задачах// Дифференц. уравнения. 1982. — 18, № 9. — С. 1590−1599.

56. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром// Матем. сб. 1983. — 121 (163), № 2 (6). — С. 201−210.

57. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи А. В. Бицадзе, А. А. Самарского// Докл. АН СССР. 1984.-575, № 4. — С. 813−816.

58. Скубачевский А. Л. Разрешимость эллиптических задач с краевыми условиями типа Бицадзе—Самарского// Дифференц. уравнения.— 1985. 21, № 4. — С. 701−706.

59. Скубачевский А. Л. Эллиптические задачи с нелокальными условиями вблизи границы// Матем. сб. 1986. — 129(171), № 2. — С. 279−302.

60. Скубачевский А. Л. О некоторых задачах для многомерных диффузионных процессов// Докл. Акад. наук СССР. 1989. — 307. — 287−292.

61. Скубачевский А. Л. О собственных значениях и собственных функциях некоторых нелокальных краевых задач// Дифференц. уравнения. — 1989.—25, № 1. —С. 127−136.

62. Скубачевский А. Л. Модельные нелокальные задачи для эллиптических уравнений в двугранных углах// Дифференц. уравнения. — 1990. — 26, № 1.-С. 120−131.

63. Скубачевский А. Л. О методе срезающих функций в теории нелокальных задач// Дифференц. уравнения. 1991. — 27, № 1. — С. 128−139.

64. Скубачевский А. Л. О полугруппах Феллера для многомерных диффузионных процессов// Докл. АН. 1995. — 341, № 2. — С. 173−176.

65. Скубачевский А. Л. О разрешимости нелокальных задач для эллиптических систем в бесконечных углах// Докл. АН. — 2007. — 412, № 3. — С. 317−320.

66. Солдатов А. П. Задача Бицадзе—Самарского для функций, аналитических по Дуглису// Дифференц. уравнения. — 41, № 3. — 2005. — 396 407.

67. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций.—М.: Мир, 1973.

68. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — Петроград. 1917.

69. Шкаликов А. А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями// Вестн. МГУ. Сер. матем. и мех. 1982. — № 6. — С. 12−21.

70. Amann H. Feedback stabilization of linear and semilinear parabolic systems// In: Proceedings of «Trends in Semigroup Theory and Applications,» Trieste, Sept. 28 Oct. 2, 1987. — Lect. Notes Pure Appl. Math. — 1989. — 116. — C. 21−57.

71. Browder F. Non-local elliptic boundary value problems// Amer. J. Math. — 1964. -86. P. 735−750.

72. Bensoussan A., Lions J.-L. Impulse Control and Quasi-Variational Inequalities.— Paris: Gauthier-Villars, 1984.

73. Bony J. M., Courrege P., Priouret P. Semi-groups de Feller sur une variete a bord compacte et problemes aux limites integro-differentiels du second ordre donnant lieu au principe du maximum// Ann. Inst. Fourier (Grenoble).— 1968. — 18. — P. 369−521.

74. Carleman T. Sur la theorie des equations integrales et ses applications// Verhandlungen des Internat. Math. Kongr. Zurich. 1932.-7.-P. 138−151.

75. Colli P., Grasselli M., Sprekels J. Automatic control via thermostats of a hyperbolic Stefan problem with memory// Appl. Math. Optim. —1999.— 39. P. 229−255.

76. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations// Ann. Math. 1952. — 55. — P. 468−519.

77. Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. P. 1−30.

78. Galakhov E. I. Multidimensional diffusion processes with nonlocal conditions// Funct. Differ. Equ. -2001. 8, № 1−2.-P. 225−238.

79. Galakhov E. I., Skubachevskii. A. L. On Feller semigroups generated by elliptic operators with integro-differential boundary conditions// J. Differential Equations. 2001. — 176. — P. 315−355.

80. Garroni M. G., Menaldi J. L. Second order elliptic integro-differential problems. — London—New York—Washington, D.C.: Chapman & Hall/CRC, 2002.

81. Gurevich P. L. Nonlocal problems for elliptic equations in dihedral angles and the Green formula// In Mitteilungen aus dem Mathem. Seminar Giessen, Math. Inst. Univ. Giessen, Germany. 2001. — 247. — P. 1−74.

82. Gurevich P. L. Asymptotics of solutions for nonlocal elliptic problems in plane bounded domains// Funct. Diff. Equ. -2003. 10, № 1−2.-P. 175 214.

83. Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, I// Russ. J. Math. Phys. 2003. — 10, № 4. — P. 436−466.

84. Gurevich P. L. Solvability of nonlocal elliptic problems in Sobolev spaces, II// Russ. J. Math. Phys. 2004. — 11, Nh 1. — P. 1−44.

85. Gurevich P. L. The consistency conditions and the smoothness of generalized solutions of nonlocal elliptic problems// Adv. Differential Equations. — 2006. 11, № 3. — P. 305−360.

86. Gurevich P. L. Smoothness of generalized solutions for higher-order elliptic equations with nonlocal boundary conditions// J. Differential Equations. — 2008. 245. — P. 1323−1355.

87. Ishikawa Y. A remark on the existence of a diffusion process with non-local boundary conditions// J. Math. Soc. Japan. — 1990. — 42. — P. 171−184.

88. Krall A. M. The development of general differential and general differential-boundary systems// Rocky Mountain J. of Math. — 1975. — 5. — P. 493 542.

89. Onanov G. G., Tsvetkov E. L. On the minimum of the energy functional with respect to functions with deviating argument in a stationary problem of elasticity theory// Russ. J. Math. Phys. 1995. — 3, № 4. — P. 491−500.

90. Picone M. Equazione integrale traducente il piu generale problema lineare per le equazioni differenziali lineari ordinarie di qualsivoglia ordine// Academia nazionale dei Lincei. Atti dei convegni. — 1932. — 15. — P. 942 948.

91. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. — Dordrecht—Boston—London: Kluwer Academic Publishers, 1996.

92. Sato K., Ueno T. Multi-dimensional diffusion and the Markov process on the boundary// J. Math. Kyoto Univ. 1965. — 4. — P. 529−605.

93. Schechter M. Nonlocal elliptic boundary value problems// Ann. Scuola Super. Pisa, Ser. 3. 1966. — 20, № 2. — P. 421−441.

94. Shamin R. V. Nonlocal parabolic problems with the support of nonlocal terms inside a domain// Funct. Differ. Equ. 2003. — 10, № 1−2. — P. 307 314.

95. Skubachevskii A. L. On the stability of index of nonlocal elliptic problems// J. Math. Anal. Appl. 1991. — 160, № 2. — P. 323−341.

96. Skubachevskii A. L. Nonlocal elliptic problems and multidimensional diffusion processes// Russian J. Mathematical Physics. — 1995. — 3. — P. 327−360.

97. Skubachevskii A. L. Elliptic functional differential equations and applications. — Basel—Boston—Berlin: Birkhauser, 1997.

98. Skubachevskii A. L. Regularity of solutions for some nonlocal elliptic problem// Russ. J. Math. Phys. 2001. — 8. — P. 365−374.

99. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodinamischen Erklarung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen// Proc. Intern. Congr. Math. (Rome, 1908). Vol. III.-Roma: Reale Accad. Lincei, 1909.-P. 116−124.

100. Taira K. Diffusion processes and partial differential equations. — New York-London: Academic Press, 1988.

101. Taira K. On the exiestense of Feller semigroups with boundary conditions// Mem. Amer. Math. Soc. 1992. — 99, № 475. — P. 1−65.

102. Taira K. Semigroups, boundary value problems and Markov processes. — Berlin: Springer-Verlag, 2004.