Метод ?-одевания и интегрируемые иерархии

Теория солитонов и метод обратной задачи, с которыми связана настоящая диссертация, являются сейчас важным разделом математической физики, которому посвящено множество публикаций и монографий (см., например, [76]). В результате развития теории солитонов получено большое количество новых интегрируемых систем, обладающих замечательными математическими свойствами и имеющих множество приложений. Одним из важных методов в современной теории солитонов является метод d-одевания, предложенный В. Е. Захаровым и C.B. Манаковым [111, 112]. Этот метод позволяет конструировать интегрируемые уравнения одновременно с широким классом их решений. Настоящая диссертация посвящена развитию метода <9-одевания. Основное внимание уделено исследованию схемы конструирования интегрируемых уравнений и расширению ее возможностей, а также изучению свойств возникающих интегрируемых систем (непрерывных и дискретных симметрий, редукций). Получены новые интегрируемые системы и щ редукции, имеющие интересные приложения, в частности, к непрерывной и дискретной геометрии.

Метод одевания берет начало с работ Захарова и Шабата [83, 107], в которых была предложена схема конструирования интегрируемых уравнений и одновременно вычисления их решений. Эта схема основана на факторизации интегрального оператора на прямой в произведение двух операторов Вольтерра. Дальнейшее развитие метод одевания получил в работе [109], где в схему метода одевания была введена задача Римана-Гильберта.

Метод <9-одевания возник в результате двух важных наблюдений, сделанных при изучении обратной задачи рассеяния для L-операторов уравнений КП1 и КП2. В 1981 году С. В. Манаков показал [68], что обратная задача для L-оператора КП2 (зависящего от времени одномерного оператора Щре-дингера) в классе убывающих потенциалов сводится к нелокальной задаче Римана. В 1983 году Абловиц, Бар Яаков и Фокас [1] обнаружили, что обратная задача для L-оператора КП1 (оператора теплопроводности) сводится к d-проблеме на комплексной плоскости. Осознание общей структуры, стоящей за этими двумя результатами, привело С. В. Манакова и В. Е. Захарова к формулировке метода <9-одевания [111, 112].

Метод^{-одевания} представляет собой метод конструирования решений интегрируемых уравнений, используя вспомогательную линейную задачу в плоскости комплекной переменной (нелокальную ^-проблему), сводящуюся к линейным интегральным уравнениям. В общем случае решения строятся локально в окрестности некоторой точки пространства-времени, и их глобальное поведение не фиксировано.

Одновременно метод^{-одевания} является методом построение интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, так как если уравнение вкладывается в схему этого метода, для него существует бесконечное количество симметрий и представление в виде условий совместности (что обычно и подразумевается под интегрируемостью в этом случае).

В работах [111, 112] было показано, что формализм метода^{-одевания} применим к уравнениям КП1, КП2. Было также замечено, что метод одевания позволяет строить широкий класс частных решений, зависящий от функциональных параметров, в явной форме. Этот класс соответствует вырожденным ядрам интегральных уравнений нелокальной ¿-^-проблемы, в него входят, в частности, решения в виде набора плоских солитонов.

Технически, уравнения КП1 и КП2 в методе^{-одевания} [111, 112] определялись тройкой функций вспомогательной (спектральной) переменной, которые входят в показатели экспонент, определяющих зависимость ядра нелокальной 5-проблемы от пространственных и временных переменных. Для КП1 это функции К (Х) = iA, К2(А) = iA2, К3(А) = iA3- для КП2 К^Х) = iA, К2(Х) = А2, Кз (Х) = iA3. Было также выяснено, что введение дополнительных переменных tn с Кп (X) = гАп+3 (или Кп (X) = (гА)п+3 для КП2) соответствует высшим уравнениям КП. В работах [111, 112] было также построена интегрируемая система (система ЗахароваМанакова), соответствующая функциям К{{А), имеющим один простой полюс в различных точках. Имея в виду многочисленные приложения^{-метода} к геометрии, возникшие в последнее время, достаточно символично, что первая же новая интегрируемая система, сконструированная в рамках метода <9-одевания, оказалась геометрической по природе. Позднее выяснилось, что в скалярном случае система Захарова-Манакова совпадает с системой Дарбу, описывающей системы сопряженных поверхностей и хорошо известной в геометрии.

Возник естественный вопрос, какая интегрируемая система соответствует произвольной тройке рациональных функций Ki (X), и, в частности, какие уравнения возникают в случае общего положения, когда эти функции имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов. Схема конструирования интегрируемых (2+1)-мерных уравнений, предложенная в работах [111, 112], использовала кольцо операторов (кольцо Захарова-Манакова), позволяющих размножать решения нелокальной ô—проблемы. Изучение общих свойств линейного пространства решений, получаемых с помощью этого кольца, показывало, что произвольной тройке рациональных функций должна соответствовать интегрируемая система, но выписать эту систему в явном виде не удавалось. Ключом к решению этой задачи стало наблюдение о существовании различных нормировок нелокальной^{-проблемы,} сделанное в работе автора и C.B. Манакова [123]. В этой работе было показано, что, наряду с канонической нормировкой, с той же степенью корректности определена и нормировка нелокальной^{-проблемы} на произвольную рациональную функцию Используя специальный набор решений ô—проблемы, в работе [123] удалось построить интегрируюмую систему, соответсвующую ситуации общего положения (функции Ki (Л) имеют произвольное число простых несовпадающих полюсов). Эта система представляет собой модификацию известной интегрируемой системы N волн. Оказалось, что система общего положения формально лагранжева, для нее было найдено действие и выписаны простейшие интегралы движения [123]. В принципе, произвольная система, интегрируемая методом д-одевания, может быть получена из системы общего положения вырождение, при котором простые полюса функций Кг (Х) сливаются и превращаются в кратные. Это также должно означать, что системы, интегрируемые методом д-одевания, лагранжевы, и действие для них получается предельным переходом (вырождением) из действия системы общего положения. В работе [123] на примере уравнения КП было показано, что процедура предельного перехода действительно работает для действия, и (известный) лагранжиан КП был получен предельным переходом из лагранжиана системы общего положения (системы типа N волн).

В связи с тем, что метод^{-одевания} дает процедуру получения лагранжиана интегрируемой системы, возникла следующая интересная задача. При изучении изоспектральных (при фиксированном уровне энергии) деформаций двумерного оператора Шредингера было найдено новое интегрируемое уравнение — уравнение Веселова-Новикова [96]. Лагранжиан для него найти не удавалось. Встал вопрос, нельзя ли получить этот лагранжиан предельным переходом из лагранжиана системы общего положения. Процедура интегрирования уравнения Веселова-Новикова методом ¿-¡-¡—одевания была уже известна, но в ней пара точек с особенностями (ноль и бесконечность), технически равноправные, использовались несимметрично, и с самого начала вводилась сильная редукция, состоящая в занулении магнитного поля в двумерном операторе Шредингера. Для использования предельного перехода возникла необходимость вывести нередуцированную систему с использованием различных нормировок (в нуле и на бесконечности). В результате возникла система Веселова-Новикова на две функции, связанная с двумерным оператора типа оператора Дирака [120]. Редукциями этой системы являются уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова (новое уравнение). Лагранжиан системы Веселова-Новикова легко находился и без предельного перехода, но оказалось, что при редукции, соответствующей модифицированному уравнению ВН, из него получается лагранжиан этого уравнения, а при редукции, соответствующей уравнению ВН, лагранжиан вырождается. Таким образом, стоявшая первоначально задача (нахождение лагранжиана уравнения ВН) решена не была. Однако, были получены новые интересные уравнения (система ВН и уравнение мВН), которые через некоторое время нашли важные приложения в геометрии и сейчас широко используются [53, 87]. Следует заметить, что при выводе этих уравнений существенно использовались различные нормировки нелокальной 5-проблемы.

В связи с заметным интересом к дискретным интегрируемым системам в 90-х годах, возник вопрос о месте дискретных переменных в методе д-одевания. В первой работе автора в этом направлении [126] было показано, как включить дискретные (разностные) операторы в кольцо Захарова-Манакова, и с использованием этого кольца был построен дискретный аналог КП иерархии, а также дискретный аналог системы общего положения (системы типа N волн).

Продолжением работы по изучению интегрируемых дискретных систем в рамках метода 5-одевания стала статья [129]. В этой работе были впервые построены дискретный и я-разностный аналоги системы Дарбу-Захарова-Манакова (ДЗМ). Была найдена интерпретация различных типов преобразований симметрии для системы ДЗМ (преобразования Бэклунда, Дарбу, Комбескура), известных (в непрерывном случае) из геометрии, в спектральных терминах (на языке д-проблемы). Были построены также некоторые решения дискретной и q-paзнocтнoй системы ДЗМ.

Безусловно, задача о дискретизации системы ДЗМ была поставлена не случайно. Поскольку в непрерывном случае эта система играет важную роль в геометрии и интенсивно изучалась, была надежда, что и ее дискретный аналог имеет геометрический смысл. Через два года Долива и Сантини пришли к той же системе из геометрических соображений [18]. Геометрическая интерпретация ее оказалась неожиданно простой: она описывает систему дискретных поверхностей, состоящих из плоских четырехугольников. После того, как выяснилось, что возникшая в работе [18] система уже проинтегрирована методом д-одевания [129], этод метод стал широко использоваться в работах по дискретной геометрии [13, 19], включая конструкции, введенные в работах [128, 129] (дискретные переменные в методе 5-одевания, функция Коши-Бейкера-Ахиезера в методе 5-одевания). В геометрическом контексте функция Коши-Бейкера-Ахиезера (матричная) играет фундаментальную роль: она задает компоненты радиус-вектора, задающего систему поверхностей.

В работе [126] были сделаны наблюдения о том, что построение общего решения рассматриваемых полностью дисретных интегрируемых систем сводится к линейной алгебре и возникающие формулы для решений связаны с детерминантной формулой типа формулы для т-функции Мивы [72]. Были выписана формулы для таких решений в терминах функции Коши-Бейкера-Ахиезера (КБА). Автор использует название, предложенное в работе Грине-вича и Орлова [37], в которой была введена функция (ядро) Коши-Бейкера-Ахиезера на римановой поверхности. В рамках метода д-одевания эта функция связана с решением нелокальной 5-проблемы с нормировкой (Л — ??)-1 ('плавающая нормировка'). Эти наблюдения послужили для автора толчком к дальнейшему изучению свойств функции Коши-Бейкера-Ахиезера, как в рамках метода д-одевания, так и в контексте интегрируемых иерархий, результаты которого были сформулированы в работе [128]. В этой работе было введено тождество Хироты для функции КБА. Было показано, что, стартуя с этого тождества, можно воспроизвести все необходимые элементы схемы конструирования интегрируемых нелинейных уравнений, применяемые в методе 5-одевания (кольцо Захарова-Манакова и свойства линейного пространства, в котором оно действует). В то же время, тождество Хироты для фунции Коши-Бейкера-Ахиезера не является объектом, специфическим для метода д-одевания, оно воспроизводится и в методе конечнозонного интегрирования и может быть помещено в более общий контекст подхода Сато и Сегала-Вильсона, в котором функция КБА является хорошо определенным объектом. Таким образом, тождество Хироты связывает метод д-одевания с другими методами теории интегрируемых систем и позволяет поместить результаты, полученные с его помощью, в более широкий контекст.

Следует отметить, что первый шаг, связывающий метод^{-одевания} с подходом Сато и Сегала-Вильсона, был сделан в работе Кэррола и Коно-пельченко [10], где в рамках метода д-одевания было получено стандартное тождество Хироты для функции Бейкера-Ахиезера. Вывод в рамках метода <9-одевания тождества Хироты для функции КБА, введенного в работе [128], дан в работе [129]. Для этого вывода существенно наблюдение, что решение нелокальной^{-проблемы,} нормированное на (Л — /л)-1 (ядро КБА), одновременно решает нелокальную^{-проблему} по Л и дуальную проблему по ?1. Это же наблюдение было независимо сделано Манаковым и Зенчуком [118] и использовалось при изучении редукций интегрируемых систем в терминах метода д-одевания.

В связи с важностью функции Коши-Бейкера-Ахиезера и билинейного тождества для нее, автором (совместно Б.Г. Конопельченко) были предприняты усилия по изучению тождества Хироты самого по себе, вне контекста метода д-одевания, и анализа функциональных уравнений для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающих из этого тождества [132, 133]. Динамика функции Коши-Бейкера-Ахиезера, задаваемая тождеством Хироты, связана с группой петель (гладких функций на кривой без нулей) — ее можно рассматривать как основной объект интегрируемой иерархии. Для тождества Хироты можно поставить начальную задачу и показать, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Решение дается детерминантной формулой для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле [128] (фактически эта формула решает интегрируемые дискретные уравнения при произвольной начальной точке грассманиана явно, средствами линейной алгебры). Таким образом, решение начальной задачи для тождества Хироты существует (по крайней мере, в подгруппе рациональных петель). Кроме того, в работе [119] было показано, что решение единственно. Эти утверждения показывают, что тождество Хироты является содержательным объектом и его можно изучать в отрыве от конструктивных методов построения решений.

Детерминантная формула позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерминантную форму теорем сложения для нее. Найдена также формула, выражающая тау-функцию через ядро Коши-Бейкера-Ахиезера в терминах вариационной 1-формы. Показано, что стартуя с билинейного тождества Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (без отсылки к ^-проблеме), можно получить картину динамики на грассманиане и ввести стандартные объекты.

Особую роль играют функциональные (дискретные) уравнения на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, возникающие из тождества Хироты, которые отвечают элементарным рациональным петлям (т.е. петлям, имеющим простой ноль и простой полюс). Эти уравнения в компактной форме содержат всю информацию об соответствующей интегрируемой иерархии и дают различные типы производящих уравнений иерархии. В работах [132, 133, 119] из функционального уравнения для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего КП иерархии, получены теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение для потенциала и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него (второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (КБА-функция, проинтегрированная с произвольными весами) (третий уровень), преобразования Миуры 3->2-> 1.

Наибольший интерес представляет уравнение третьего уровня. Это новое Мёбиус-инвариантное дискретное уравнение (discrete Schwarzian КРdiscrete КР singular manifold equation) которое недавно получило геометрическую интерпретацию, связанную с классической теоремой Менелая, известной с глубокой древности [57].

Дискретные производящие уравнения дают уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных.

1) КП иерахию для потенциала.

2) мКП иерархию для волновых функций.

3) иерархию уравнений многообразия особенностей (Мебиус-инвариантных уравнений) для волновых фунций второго уровня.

В терминах иерархии в форме PDE дискретные уравнения интерпретируются как алгебраический принцип суперпозиции для трех преобразований Бэклунда.

В монографии [119] рассмотрены также соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды. Преимуществом подхода, базирующегося на тождестве Хироты для функции Коши-Бейкера-Ахиезера, является то, что многокомпонентный случай рассматривается в основном аналогично однокомпонентному и требует лишь минимальной модификации. Спецификой общего многокомпонентного случая является наличие существенно дискретных переменных (типа дискретной переменной цепочки Тоды). В многокомпонентном случае возникает также новый класс уравнений — векторные модифицированные уравнения. В связи с этим общая картина многокомпонентного случая достаточно сложна, и в монографии [119] сделана попытка описать лишь ее основные элементы.

При изучении Мебиус-инвариантных дискретных уравнений интегрируемых иерархий обнаружилось, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, связанной с бинарным преобразованием Дарбу [137]. Была найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты и построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки [137, 138]. Симметрийные редукции иерархии по этим потокам приводят к возникновению рациональной и тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

В рамках метода 5-одевания была также развита эффективная техника исследования редукций интегрируемых систем. При изучении системы Веселова-Новикова было выяснено, что редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова соответствуют простым линейным условиям на ядро нелокальной^{-проблемы,} сохраняющимся при динамике по нечетным временам иерархии [36, 120]. Дальнейшее развитие исследование редукций в рамках метода 5-одевания получило в работе [115], где было показано, что уравнения Ламе, хорошо известные в геометрии и описывающие 1Ч-ортогональные системы координат, получаются в результате сходной редукции. В работе [116] был изучен общий класс условий на ядро нелокальной^{-проблемы,} определяющих редукции. В монографии [119] введены условия на ядро Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующие редукциям.

Недавно автором совместно с Е. В. Ферапонтовым [140] было обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, низшими представителями которого в двухкомпонентном случае являются редукции, выделяющие уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение Веселова-Новикова, а в многокомпонентном случае — егоровская редукция и уравнения Ламе, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией.

Было показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется весьма простым свойством, а именно, существованием дифференциального оператора Вп порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ъ-опрератором является оператор Дирака.

0яФ2 = 0Фь №= 7², играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физикедуальный оператор имеет вид.

Основное наблюдение, связывающее редукции с геометрией, состоит в том, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями Гаусса-Кодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве р2п1- которое представляет собой про-ективизированное ядро преобразования Бп. Во втором порядке возникают И^-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу. Третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Был рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу /З^Фг, i, j = 1, i ^ j, и дуальных линейных уравнений.

ЭгЩ = получены соответствующие редукции и рассмотрена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, были построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Недавно был предложен квазиклассический метод 9-одевания, полученный в длинноволновом пределе из обычного метода [54, 55, 56]. Этот метод дает возможность конструировать уравнения бездисперсионных интегрируемых иерархий и их решения, стартуя с нелинейного уравнения Бельтрами в комплексной плоскости. С использованием этого метода, автором совместно с Б. Г. Конопельченко и Л. Мартинесом Алонсо были получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).

Изложение настоящей диссертации в основном следует историческому развитию метода д-одевания.

Первая глава начинается с первоначальной формулировки метода д-одевания, предложенного Захаровым и Манаковым. Затем рассмотрены различные нормировки и система общего положения, система Веселова-Новикова и ее редукции. Конец главы посвящен введению дискретных и д-разностных переменных в методе 5-одевания и возникающим дискретным интегрируемым системам. В рамках 5-метода введено ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и доказано тождество Хироты для него.

Во второй главе развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро^{-проблемы.} Подробно расмотре-ны соответствующие задачи для различных случаев уравнения Буссинеска.

В третьей главе тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассматривается самостоятельно, вне контекста^{-метода.} Сформулирована начальная задача для тождества Хироты (рассматриваемого как уравнение). Получены детерминантные формулы для преобразований ядра КБА. Рассмотрен вопрос о введении т-функции.

В четвертой главе из билинейного тождества Хироты выводятся производящие дискретные уравнения интегрируемых иерархий. Рассмотрены иерархия КП, многокомпонентная иерархия КП и иерархия двумерной цепочки Тоды.

В пятой главе изучается переход от дискретных производящих уравнений к непрерывному случаю и различные типы уравнений, возникающих при этом переходе.

В шестой главе рассмотрены некоторые приложения и дальнейшее развитие метода <9-одевания.

Сначала изучается класс редукций многокомпонентной иерархии КП, имеющий важные приложения приложения к проективной дифференциальной геометрии.

Затем рассмотрены неизоспектральные симметрии, связанные с преобразованием Мебиуса, и симметрийные редукции.

В конце главы сформулирован квазиклассический метод <9-одевания и получены производящие уравнения для бездисперсионных иерархий.

Заключение

.

Сформулируем основные результаты диссертации.

Введены различные нормировки нелокальной ¿-^-проблемы, и с их использованием найдена интегрируемая (2+1)-мерная система, соответствующая случаю общего положения для 5-одевания на плоскости (произвольное количество простых несовпадающих полюсов в показателях экспонент, одевающих ядро). Это система типа системы N волн, для нее выписан Лагранжиан и некоторые законы сохранения. Показано, что из Лагранжиана системы общего положения предельным переходом можно получить Лагранжиан уравнений с кратными полюсами (на примере КП).

С использованием различных нормировок найдена система уравнений, связанная с двумерным оператором Дирака, редукции которой дают уравнение Веселова-Новикова и модифицированное уравнение ВеселовагНовикова (введено впервые). Построен Лагранжиан системы, найдены условия на ядро д-проблемы, обеспечивающие редукции, решена обратная задача для малых убывающих потенциалов при фиксированной энергии.

Развита техника, позволяющая выделять малые убывающие решения (непрерывный спектр) и решения, стационарные по какому-либо времени, в терминах условий на ядро^{-проблемы.} Подробно расмотрены соответствующие задачи и солитонный сектор для различных случаев уравнения Буссинеска.

В схему метода 9-одевания введены дискретные и q-paзнocтныe переменные. Исследованы возникающие дискретные системы. Найден дискретный и q-paзнocтный интегрируемые аналоги геометрической системы Дарбу.

В рамках д-метода введена ядро Коши-Бейкера-Ахиезера (плавающая нормировка) и дуальная д-проблема. Получено тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера.

Тождество Хироты для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера рассмотрено самостоятельно, как уравнение. Для этого уравнения поставлена начальная заг дача и показано, что для преобразований, определяемых рациональными петлями, эта задача решается явно, средствами линейной алгебры. Доказано также, что решение начальной задачи единственно. Стартуя с тождества Хироты, найдена детерминантная формула для преобразования функции Коши-Бейкера-Ахиезера, соответствующего произвольной рациональной петле. Показано, что детерминантная формула в однокомпонентном случае позволяет ввести т-функцию для рациональных петель и дает детерми-нантную форму теорем сложения для нее.

Для скалярной иерархии КП из билинейного тождества выведено дискретное (функциональное) уравнение для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающее элементарной рациональной петле. Из этого уравнения получены: теорема сложения для тау-функции, дискретное уравнение на потенциал и линейные задачи для него (первый уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций первого уровня и линейные задачи для него второй уровень иерархии), дискретное уравнение для волновых функций второго уровня (третий уровень иерархии). Уравнение третьего уровня — новое, Мёбиус-инвариантное (discrete Schwarzian КРdiscrete КР singular manifold equation). Получены преобразования Миуры 3->2->1. Рассмотрены соответствующие уравнения для многокомпонентной КП иерархии и иерархии двумерной цепочки Тоды.

Из дискретных производящих уравнений получены уравнения иерархий (КП иерархия, многокомпонентной КП иерархия, иерархия ДС, иерархия двумерной цепочки Тоды) в частных производных. Показано, что разложение по параметрам введенных дискретных уравнений генерирует в виде уравнений в частных производных в случае иерархии КП 1) иерахию уравнений на потенциал (стандартная иерархия КП) 2) иерархию уравнений для волновых функций (модифицированная иерархия КП) 3) иерархию уравнений для волновых фунций второго уровня (Мебиус-инвариантная иерархия КП). Показано, что из дискретных производящих уравнений получаются также преобразования Бэклунда и формулы суперпозиции для них. Найдены соответствующие уравнения для многокомпонентной иерархии КР, иерархии ДС и для однокомпонентной иерархии цепочки Тоды. В многокомпонентном случае получены также векторные модифицированные уравнения.

Обнаружено, что целый класс редукций многокомпонентной иерархии КП, совместных с динамикой по нечетным временам, тесно связан с проективной дифференциальной геометрией. Показано, что рассматриваемый класс редукций характеризуется существованием дифференциального оператора £>п порядка п (порядок редукции), преобразующего волновые функции линейных операторов иерархии в волновые функции дуальных операторов. Это свойство достаточно для явного вычисления редукций. В двумерном случае (иерархия Дэви-Стюартсона) Ь-опрератором является оператор Дирака, играющий важную роль в диффенциальной геометрии и математической физике. Выяснено, что редукция порядка п совпадает с проективно-геометрическими уравнениями ГауссагКодацци, описывающими специальные классы конгруэнций прямых в проективном пространстве Р2п1, которое представляет собой проективизированное ядро преобразования ?)". Показаг но, что во втором порядке возникают Ж-конгруэнции в пространстве Р3, принадлежащие линейному комплексу, а третий порядок соответствует изотропным конгруэнциям в Р5. Рассмотрен также многокомпонентный случай, дифференциальные операторы, связывающие волновые функции линейных уравнений системы Дарбу и дуальных линейных уравнений, получены соответствующие редукции и найдена их геометрическая интерпретация. С использованием уравнений для ядра Коши-Бейкера-Ахиезера, отвечающих редукциям, построены производящие формы для редукций произвольного порядка. Эти формы полностью определяют редукцию и играют критическую роль в геометрической интерпретации.

Показано, что преобразование Мёбиуса на третьем уровне КП иерахии отвечает специальной неизоспектральной симметрии, найдена интерпретация этой симметрии в терминах тождества Хироты, построены рациональные и тригонометричесие неизоспектральные потоки, показано, что симметрийная редукция по этим потокам приводит к возникновению тригонометрической системы Калоджеро-Мозера.

С использованием квазиклассического метода^{-одевания} получены производящие уравнения для бездисперсионной КП и 2БТЬ иерархий в терминах потенциала, в терминах действия и в терминах бездисперсионного аналога ядра Коши-Бейкера-Ахиезера (аналоги первого, второго и третьего уровня иерархии в обычном случае).