Анализ транспланковских столкновений частиц в нетривиальных фоновых метриках

В теоретической физике фундаментальных взаимодействий основными величинами, не выводимыми из каких бы то ни было принцииов теории и отвечающими самым базовым свойствам нашей Вселенной, являются гравитационная постоянная Ньютона С, постоянная Планка К и скорость света с. Естественным образом этим константам можно сопоставить их размерные комбинации, такие, например, как характерные энергия, время, длина (называемые планковскими масштабами):

Общепринято мнение, что данные величины обладают важным физическим смыслом и указывают на масштаб энергий/времен/расстояний, при котором наши представления о мире, выраженные в парадигмах квантовой теории [1−4] и общей теории относительности [5, 6] становятся, по всей видимости, неприменимыми. Дело в том, что на таких масштабах должны стать существенными эффекты квантовой гравитации, которые пока не подлежат теоретическому описанию в силу неперенормируемости квантованной теории гравитации Эйнштейна.

В связи с этим задача построения картины мира, самосогласованной на всех масштабах энергий, представляет собой центральную проблему физики фундаментальных взаимодействий, попытки решения которой предпринимаются на протяжении многих десятилетий. В частности, наиболее многообещающим и результативным подходом к проблеме квантования гравитации является теория струн [7].

Тем не менее, несмотря на отсутствие регулярного способа описания а) процессов, проистекающих при энергиях выше порога Планка Ер, можно задаться вопросом о разработке эффективных приближенных подходов, позволяющих получить информацию о физике в транспланковской области. Одному из таких подходов и посвящена данная диссертация.

В 1971 году П. Айхельбург и Р. Зексл нашли точное решение уравнений Эйнштейна, порожденное безмассовым ультрарелятивистским точечным источником в асимптотически плоском пространстве, которое они назвали ударной гравитационной волной [8]. Эта работа была посвящена чисто классической теории гравитации, однако специалисты быстро увидели связь ударных гравитационных волн с транспланковской физикой. В самом деле, если энергия частицы превышает планковский порог, то ее длина волны де Бройля вполне может быть меньше планковской длины и меньше формального радиуса Шварцшильда частицы. В этом случае &rsquo-&rsquo-квантовые&rdquoсвойства частицы будут подавлены по сравнению с ее классическими гравитационными свойствами, и для описания подобных объектов можно использовать классическую гравитацию и квазиклассические поправки к ней. Более подробно это объясняется в параграфе 1.1.

Впервые на возможность (квази) классического приближения в теории транспланковских столкновений обратил внимание Г. &rsquo-т Хоофт в статьях [9, 10], где он рассмотрел рассеяние трансиланковских скалярных частиц в системе покоя одной из них и описал этот процесс как рассеяние скалярного поля (т.е. одной из частиц) в метрике ударной гравитационной волны (порожденной второй частицей). Анализ амплитуды рассеяния в эйкональном приближении показал, что при малых прицельных параметрах имеет место нарушение унитарности, которое может быть интерпретировано как рождение черной дыры.

В более поздней работе &rsquo-т Хоофт построил Б-матрицу процессов столкновительного рождения и термодинамического распада черных дыр [И].

Интересный результат был получен Г. Верлинде и Э. Верлинде, которым удалось выйти за рамки квазиклассического приближения и дать квантовое описание процесса транспланковсокго рассеяния вперед в терминах топологической квантовой теории поля [12].

В течение долгого времени физика транспланковских процессов представляла лишь абстрактный академический интерес. В самом деле, планковский порог (1) на много порядков выше энергий, достижимых в лабораторных условиях на ускорителях частиц или же наблюдаемых в космических лучах. Поэтому гораздо большее внимание ученых привлекали формальные аспекты данной области науки (математические вопросы квантования гравитации, построение единой теории поля с позиции теории струн и т. д.), нежели феноменологические. Среди публикаций по транспланковской феноменологии можно выделить цикл работ Д. Амати, М. Чиафалони и Г. Венециано [13−17], посвященный возможным проявлениям струнных эффектов, а также статьи И. Я. Арефьевой, И. В. Воловича и К. Висванатана по столкновительному рождению черных дыр [18,19].

Повышенный интерес к транспланковской феноменологии возник после того, как в конце 90-х годов Н. Аркани-Хамед, Г. Двали и С. Димопулос [20, 21], а также JI. Рэндалл и Р. Сандрум [22,23] сформулировали модели сильной (тераэлектронвольтной) гравитации, кратко называемые ADD и RS моделями соответственно. Их гипотеза состояла в том, что пространство-время обладает дополнительными измерениями, присутствие которых ощущают лишь частицы, обладающие достаточно высокими (порядка ТэВ), но экспериментально достижимыми энергиями. Данная гипотеза позволила иначе взглянуть на картину эффектов, обсуловленных гравитацией, и допустить, что транспланковская физика может наблюдаться при энергиях, достижимых на современных коллайдерах. Кратко опишем основные идеи модели ADD.

Предполагается, что помимо четырех привычных измерений пространства-времени существует также п пространственных измерений, компактифицированных на окружности малого радиуса. При относительно небольших энергиях частицы &rdquo-не чувствуют&rdquoналичия дополнительных измерений и их гравитационное взаимодействие описывается четырехмерной теорией Эйнштейна со стандартной гравитационной постоянной Ньютона С?4. Однако эта величина больше не является фундаментальной, — при достаточно высоких энергиях частицы начинают ощущать присутствие компактифицированных измерений, и гравитация для них становится пЬ 4-мерной с некоторой иной константой взаимодействия (?*. Поля Стандартной Модели при этом не проникают в дополнительные измерения. Принято говорить, что они локализованы на 3-бране (3 здесь отвечает пространственной размерности). Гравитация же распространяется во всех 4 + п измерениях.

Рассмотрим механизм, приводящий к тому, что фундаментальный масштаб энергии становится существенно меньше энергии Планка. Работая в рамках АББ-модели, будем предполагать, что п дополнительных измерений компактифицированы на окружности радиуса Ь, так что пространство имеет структуру Л⁴ х Тп. Обозначим многомерную гравитационную постоянную как (?* и запишем многомерное гравитационное действие вдгау = J^+Пх у/9* л*- (2) здесь д* и 1 т!* относятся к ?) = (4 + п)-мерному пространству, метрика которого с1з2 = дмм<1хм (1×1^. Чтобы связать и Сдг, будем полагать для простоты, что дополнительные измерения плоские и, значит, (4 + п)-мерная метрика имеет вид йз2 = д^{х)(1×1х (1хи — 6аьйуа (1уь, (3) где д^и — четырехмерная часть метрики, которая зависит только от координат х11. Координаты же в дополнительных измерениях параметризуются с помощью уа, а = 1, Отсюда сразу видим, что л/ї#*ї = у/9(л), а Д (4+гг) = 12(4). Интегрируя по дополнительным координатам, получим эффективное четырехмерное действие: — дгог" = ~2б7гС~ ] ^ ^ V ^ где Уп = Ьп — объем пространства, образуемого дополнительными измерениями. В итоге имеем, что.

С?4 = С*/К =.

То есть получается, что ньютоновская постоянная — это лишь эффективная четырехмерная постоянная, получаемая размерным перемасштабированием многомерной, действительно фундаментальной, постоянной. Мы видим, что в рассматриваемом классе теорий энергия Планка, определяемая через (?4 как.

Ері =.

Ксъ.

½ 1.22×1019 ГэВ, (6) в, А больше не является фундаментальной постоянной. На ее место встает Е*:

1/(2+п).

Е*.

П1+пс5+п.

7).

2*.

Итак, мы получили, что Е* - это фундаментальный масштаб энергии. Определим его величину. Е* соответствует энергии, на которой становятся заметными квантово-гравитационные эффекты. Но мы знаем, что вплоть до энергий порядка сотен ГэВ гравитационные эффекты в физике частиц не наблюдаются. Это значит, что по меньшей мере Е* > 1 ТэВ.

Рассмотрим, какие ограничения накладываются на размер и количество дополнительных измерений. Если считать, что Е* = 1 ТэВ, то.

Ер1 ~ Е1+пЬп (8) то есть, учитывая, что 1 ГэВ = 2 • 10 14 см для п =1 I ~ 1013 см для п — 2 I ~ 10~2см дляп = 3 I ~ 10−7см.

Очевидно, что на расстояниях, меньших, чем размер дополнительных измерений, наблюдатель зафиксирует отклонения от Ньютоновского закона, поэтому, разумеется, дополнительные измерения должны быть меньше чем расстояния, на которых на данный момент проверен закон Ньютона: г ~ 0.1мм. То есть, если в дополнительных измерениях может распространяться только гравитация, то.

Мы видим, что для данного значения Е* допустимым является только п ^ 2.

В модели Рэндалл-Сандрума существует всего одно дополнительное измерение, имеющее бесконечную протяженность. Фундаментальный масштаб гравитационного взаимодействия там вводится иным образом, однако феноменологические следствия из обеих моделей в целом схожи и указывают на то, что эффекты теории гравитации должны быть заметны в экспериментах на LHC.

Феноменология дополнительных измерений обширно изучалась, этой теме посвящено несколько тысяч работ. В частности можно упомянуть работы [24]-[43], а также обзор [44].

Среди всех гипотетически возможных проявлений сильной гравитации одним из наиболее впечатляющих является рождение экспериментально наблюдаемых микроскопических черных дыр при ультрарелятивистских столкновениях частиц.

Впервые гипотеза о возможном рождении черных дыр в контексте моделей сильной гравитации была высказана Т. Бэнксом и М. Фишлером.

L < 0.1 мм.

10) в работе [45] 1999 года. Из общих соображений ими были получены оценки на сечение рождения черных дыр и выдвинуты предположения относительно возможных экспериментальных проявлениях подобного процесса. Конкретных вычислений при этом они не производили.

Первой публикацией, содержавшей явный расчет геометрического сечения рождения черных дыр в транспланковских столкновениях, была статья И. Я. Арефьевой [46], в которой в рамках трехмерного аналога модели Рэндалл-Сандрума мира на бране было построено явное решение, описывающее формирование черной дыры, и была установлена его связь с гравитацией в большем числе измерений.

Важный прорыв в описании транспланковских столкновений удалось сделать С. Гиддингсу и Д. Ердли в 2002 году. В своей статье [47] они, работая в рамках представления об ударных волнах, применили метод ловушечных поверхностей для получения оценки на сечение рождения черной дыры в четырехмерном пространстве Минковского и ее массу. Мы будем активно использовать именно этот подход в данной диссертационной работе. Пока же отметим, что ловушечная поверхность в асимптотически плоском пространстве является объектом, существование которого по теореме Хокинга-Пенроуза с неизбежностью влечет за собой существование черной дыры [48]. И в этом аспекте важность их работы заключается в том, что им фактически удалось строго доказать, что при достаточно малых прицельных параметрах и достаточно высоких энергиях формирование черной дыры в транспланковском столкновении неизбежно.

Целесообразно отметить, что, разумеется, физика транспланковских процессов не ограничивается только лишь эффектами формирования черных дыр.

В частности, при больших значениях прицельного параметра гравитационное взаимодействие частиц проявляет себя в изменениях амплитуд рассеяния частиц в эйкональном приближении. Подробно этот вопрос излагается, например, в обзорах [49,50].

Также при трапспланковских взаимодействиях становится теоретически допустимым столь сильное искривление пространства, что может происходить нарушение причинности, и формируются микроскопические машины времени (кротовые норы), т. е. области пространства-времени, содержащие замкнутые времениподобные кривые. Этот вопрос также исследовался, однако, в силу его огромной сложности (в первую очередь идеологической и логической), пока прояснен очень слабо [51−55].

Отдельный интерес представляют процессы, при которых гравитационное взаимодействие не доминирует над сильным, а сравнимо с ним (область энергий вблизи планковского порога в моделях сильной гравитации). При этом феноменологическая картина становится гораздо более сложной за счет нетривиальной интерференции между двумя фундаментальными взаимодействиями. Но пока не существует адекватного способа описания физики в этом диапазоне энергий в силу неприменимости квазиклассического приближения и модели гравитационных волн. •.

В данной диссертации мы сосредоточим внимание на вопросах, связанных с проблемой рождения черных дыр.

Пока что мы обсуждали лишь физику транспланковских столкновений в пространстве Минковского. Однако особый интерес представляет также влияние нетривиальной метрики фонового пространства на ход подобных процессов. Разумеется, в земных условиях фоновое гравитационное поле исчезающе мало по сравнению с полем ультрарелятивистских частиц. Однако существует как минимум два важных типа метрик, изучение которых представляет феноменологический интерес. Это метрики де Ситтера (<18) и анти де Ситтера (А<18). ¦

Метрика де Ситтера интересна по той причине, что она является простейшей моделью пространства-времени с положительной космологической постоянной. Известно, что относительно недавние экспериментальные данные коллаборации WMAP показали, что космологическая постоянная нашей Вселенной имеет значение около, А = 10~47ГэВ4 [56]. И хотя данное современное значение Л очень мало, есть все основания полагать, что на ранней (инфляционной) стадии эволюции Вселенной значение Л было очень большим, а потому процессы транспланковских столкновений в ранней Вселенной были подвержены ее влиянию. В настоящее время результаты этого влияния могут быть экспериментально обнаружены по следам черных дыр, сформировавшихся в ту эпоху, на картах реликтового излучения эксперимента «PLANCK». В принципе, в данном аспекте имеет смысл рассмотреть не только dS1 но и более сложные модели пространства-времени с положительной космологической постоянной (такие как метрика Фридмана-Робертсона-Уолкера и др.), но в этой работе мы пока ограничимся лишь простейшим случаем пространства де Ситтера.

До сих пор пространство де Ситтера не рассматривалось в аспекте транспланковской феноменологии, и единственный результат, который стоит упомянуть в связи с этим контекстом, — полученные Дж. Подольски, Дж. Гриффитсом и М. Ортаггио точные решения типа ударных гравитационных волн, порожденных ультрарелятивистскими источниками различного типа в метрике де Ситтера произвольной размерности1 [57−60], а также работу [61].

Метрика анти де Ситтера, хотя она и не является непосредственной математической моделью какой-либо осмысленной физической системы, в последние годы привлекала намного больший интерес теоретиков как возможный бэкграунд для взаимодействия ударных гравитационных волн, нежели метрика де Ситтера. Это связано с последними результатами в области применения AdS/CFT-соответствия к описанию физики сильных взаимодействий (СFT — конформная теория поля). Здесь уместно сделать.

1 Отдельный интерес представляет исследование К. Сфетсоса, посвященное ударным гравитационным волнам, распространяющимся над бэкграундами типа черных дыр [62] небольшое отступление от темы1.

В работе 2001 года [64] с помощью методов уЫ5-голографии было расчитано значение сдвиговой вязкости сильно коррелированной суперсимметричной кварк-глюонной плазмы, описываемой конечнотемиературной N — 4 теорией супер-Янга-Миллса в пределе больших N (здесь N — ранг калибровочной группы теории SU (N)). Впоследствии выяснилось, что наблюдаемое в эксперименте RHIC (Relativistic Heavy Ion Collider) значение сдвиговой вязкости реальной кварк-глюонной плазмы очень близко к значению, вычисленному для ее суперсимметричного аналога. Это обстоятельство привело к тому, что технику AdS/CFT-соответствия стали формально применять к теориям с нарушенной конформной и суперсимметрией, пытаясь описывать и предсказывать экспериментально наблюдаемые эффекты в теории сильно коррелированных сред (как в физике конденсированных состояний, так и в квантовой хромодинамике и теории кварк-глюонной плазмы). Причем развитие подобного подхода, несмотря на его кажущуюся смелость и необоснованность, дало неожиданно хорошие результаты как с качественной, так и с количественной точек зрения.

В рамках реализации программы по описанию физики сильных взаимодействий с помощью техники Лйй'-голографии К. Кангом и X. Настази в 2004 году была предложена модель сталкивающихся ударных гравитационных волн в пространстве AdS$ как дуальных партнеров сильно взаимодействующих ультрарелятивистских частиц2 [66, 67]. При этом зависимость сечения рождения черных дыр от энергии столкновения волн была применена ими для дуального вывода ограничения Фруассара на сечение жестких процессов в квантовой хромодинамкие. Таким образом было установлена связь между двумя столь различными на первый.

1Подробное изложение идеологии и техники AdS/CFT-cocrrBeicniiiin см. в [63].

2Вообще говоря, ио-видимому, впервые на ударные гравитационные волны с точки зрения AdS/CFT-соответствия обратили внимание в гораздо более ранней статье [65], однако к голографическому описанию реальной физики сильных взаимодействий эта работа отношения не имела. взгляд областями теоретической физики, как теория транспланковских столкновений и теория сильных взаимодействий. Необходимо также упомянуть работы X. Настази [68, 69], в которых он развивает голографический подход к рождению черных дыр в Ас13.

В работах С. Габсера и соавторов [70, 71] также рассматривались столкновения ударных гравитационных волн в пространстве анти де Ситтера, а их дуальным партнером служили сталкивающиеся тяжелые ионы. Вычисление площади ловушечных поверхностей, формируемых в Ас13, соответственно давало оценку на энтропию потоков частиц, рожденных при столкновении ионов.

Важный прогресс в этом направлении был достигнут П. Ромашке и Д. Грумиллером в статье [72], где им удалось построить приближенную метрику пространства-времени после столкновения двух ударных гравитационных волн в А (13 $- Это позволило вычислить тензор энергии-импульса дуальной кварк-глюонной плазмы, сформированной в результате столкновения тяжелых ионов, и оценить время ее термализации.

Работы [70−72] вызвали достаточно широкий резонанс и инспирировали большое количество публикаций, но голографии ударных волн. Сравнимыми по важности публикациями, посвященными данному вопросу, также являются [73−75].

В данной диссертационной работе мы проводим расчет ловушечных поверхностей, формирующихся при столкновении заряженных ударных гравитационных волн в пространстве А (135. Предположительно, данный результат может быть применен к описанию взаимодействия тяжелых ионов, обладающих ненулевым химическим потенциалом.

Диссертация состоит из трех глав.

В главе 1 вводятся основные объекты, необходимые для описания транспланковских процессов в классическом приближении.

В параграфе 1.1 мы приводим качественные аргументы в пользу справедливости классического взгляда на процессы столкновения частиц, обладающих энергиями выше порога Планка. Также в этом параграфе на примере простейшего случая безмассовой ультрарелятивистской частицы в пространстве Минковского дается определение ударной гравитационной волны как модели гравитационного поля, порожденного источником, у которого кинетическая энергия доминирует над энергией покоя.

В параграфе 1.2 определяются в инвариантной форме некоторые понятия общей теории относительности, необходимые для установления связи между ловушечными поверхностями и черными дырами.

Параграф 1.3 посвящен методу ловушечных поверхностей в общей теории относительности. Мы даем бескоординатное определение ловушечной поверхности в соответствии с монографией [76] и, далее в основном следуя книге [77], проводим детальный вывод уравнения на эту поверхность, допускающего локальную координатную запись. Для этого мы устанавливаем формальную аналогию между моделью линий тока в сплошной среде и светоподобными геодезическими в пространстве-времени. Помимо формального результата данная аналогия позволяет также сделать более прозрачным физический и геометрический смысл ловушечной поверхности.

Главы 2 и 3 содержат основные результаты диссертации.

В главе 2 рассматриваются столкновения ударных гравитационных волн в 4- и 5-мерном пространствах де Ситтера.

В параграфе 2.1 мы, действуя по аналогии с работой [78], получаем явные метрики ударных гравитационных волн в пространстве де Ситтера, порожденных нейтральными и заряженными источниками.

В параграфе 2.2, рассматривая уравнения на ноль-геодезические как лагранжевы уравнения модели п-поля, мы находим явные выражения для геодезических в области пространства-времени, предшествующей столкновению ударных волн.

Затем, используя полученные результаты, в параграфе 2.3 мы выводим явное уравнение на ловушечную поверхность, также лежащую в области пространства-времени, предшествующей столкновению.

Параграф 2.4 посвящен получению точного решения этого уравнения в случае, когда ловушечная поверхность формируется при соударении нейтральных волн. Мы находим явный вид этой поверхности и вычисляем ее площадь как функцию космологического радиуса пространства и энергии сталкивающихся волн. Помимо прочего показывается, что при превышении волнами определенного энергетического порога формирование ловушечной поверхности становится невозможным (хотя до этого порога площадь ловушечной поверхности растет с увеличением энергии). Площадь, ловушечной поверхности интерпретируется как геометрическое сечение столкновительного рождения черных дыр в пространстве де Ситтера.

В параграфе 2.5 производится учет влияния электрического заряда волн на формирование ловушечных поверхностей.

Глава 3 посвящена проведению аналогичных вычислений для пространства анти де Ситтера.

В параграфе 3.1 мы приводим некоторые известные результаты, касающиеся геометрии простейших ударных гравитационных волн в и получаем форм-факторы волн, порожденных быстрыми точечными электрически заряженными источниками.

В параграфе 3.2 выводится уравнение на ловушечную поверхность, формируемую при столкновении волн.

В параграфе 3.3 проводится анализ того, при каких соотношения энергий и зарядов гравитационных волн возможно формирование ловушечной поверхности, и выводятся явные формулы для ее площади.

В приложении, А приведен вспомогательный математический результат.

— процедура регуляризации расходящегося интеграла, формально определяющего форм-фактор ударной гравитационной волны, порожденной точечным источником в пространстве де Ситтера.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту:

1. Получена явная формула для площади ловушечной поверхности, формируемой в столкновениях ударных гравитационных волн, порожденных точечными электрически заряженными источниками в пространстве-времени де Ситтера размерности И = 4, как функции энергии и заряда. Эта формула может быть интерпретирована как зависимость сечения столкновительного рождения черных дыр в транспланковском режиме.

2. На качественном уровне проанализировано, при каких соотношениях энергий и зарядов волн в йБ ловушечная поверхность может быть сформирована, а при каких нет. В частности продемонстрировано, что при столкновении нейтральных ударных волн, обладающих энергией-выше определенного порога, формирование ловушечной поверхности становится невозможным.

Численная оценка показывает, что этот критический порог энергий очень близок к массе экстремальной черной дыры Шварцшильда-де Ситтера. Это может служить дополнительным подтверждением гипотезы, что даже в асимптотически неплоских пространствах наличие ловушечной поверхности является достаточным условием существования горизонта событий, а ее площадь дает довольно точную оценку на площадь горизонта.

3. Результаты анализа столкновений простейших нейтральных ударных в ААвъ, полученные в работах [70, 73], были обобщены на случай взаимодействия электрически заряженных источников.

Получены явные формулы для площади ловушечной поверхности в ААБъ (заряженный случай) и ААБ^ (при нулевом заряде).

Также качественно проанализирована структура областей пространства параметров (М, О) существования и несуществования ловушечной поверхности.

4. Построена процедура регуляризации расходящихся интегралов, описывающих форм-факторы ударных гравитационных волн в пространстве-времени де Ситтера. Показано, что формальные выражения, используемые в предшествующих работах других авторов, верны.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. I. Ya. Aref’eva, A.A. Bagrov, Е.А. Guseva, Critical formation of trapped surfaces in the collision of non-expanding gravitational shock waves in de Sitter space-timehep-th: 0905.1087- JHEP 0912:009,2009.

2. И. Я. Арефьева, A.A. Багров, Формирование ловушечных поверхностей в столкновениях нерасширяющихся гравитационных ударных волн в пространстве-времени AdS4, ТМФ, 161:3 (2009), 382−399.

3. I.Ya. Aref’eva, A.A. Bagrov, L.V. Joukovskaya, Critical trapped surfaces formation in the collision of ultrarelativistic charges in (A)dS, hep-th:0909.1294, v JHEP 03(2010)02.

4. И. Я. Арефьева, A.A. Багров, JI.B. Жуковская, Некоторые аспекты применения обобщенных функций к анализу ударных гравитационных волн в общей теории относительности, Алгебра и анализ, 22:3 (2010), 3−15.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинаре по квантовой теории поля отдела теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, на семинаре лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, а также на следующих международных конференциях:

1. 6-я летняя школа и конференция по современной математической физике, Белград, Сербия, 2010.

2. Летняя школа «Теория струн: формальные результаты и приложения», Каржез, Корсика, Франция, 2010.

3. Конференция «Кварки-2010», Коломна, Россия, 2010.

4. Международная конференция «Проблемы теоретической и математической физики — 2009» памяти Н. Н. Боголюбова, Дубна, Россия, 2009.

5. 16-й Международный конгресс по математической физике, Прага, Чешская республика, 2009.

6. 2-я Международная конференция по струнной теории ноля и смежным вопросам, Москва, Россия, 2009.

Автор хотел бы выразить свою признательность сотрудникам отдела теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова* РАН за создание комфортных условий для научной работы.

Особенно я благодарен своему научному руководителю профессору Ирине Ярославне Арефьевой за постановку задачи и постоянные конструктивные интересные дискуссии по теме диссертации, а также за то, что она существенно способствовала моему близкому знакомству с международным научным сообществом и формированию у меня объективного цельного взгляда на современную теоретическую физику.

Также я благодарю своих оппонентов Дмитрия Владимировича Гальцова и Вячеслава Евгеньевича Диденко за внимание к моей диссертационной работе.