Фрактальный анализ временных рядов урожайности зерновых

ВВЕДЕНИЕ

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ

1. Методика фрактального анализа временных рядов

2. Методика R/S-анализа временных рядов

3. Оценка коэффициента Херста природных и экономических рядов

4. Фрактальный анализ временных рядов урожайности

5. R/S-анализ временных рядов урожайности

6. Бинарное кодирование временных рядов урожайности

7. Стохастическая модель ВЫВОДЫ ЛИТЕРАТУРА

В курсовой работе проведено предпрогнозное исследование рядов урожайности озимой пшеницы с применением фрактального анализа, R/Sанализа и бинарной кодировки; показано, что именно фрактальный анализ позволяет наиболее адекватно установить соотношение «детерминированность — стохастичность» для данного часового ряда; выявлен географический тренд эффекта детерминированности часовых рядов урожайности; установлен антиперсистентный характер динамики урожайности озимой пшеницы для областей Украины.

Эволюция экономических систем отражается в виде временных рядов параметров функционирования этих систем. Временные ряды служат основанием для анализа, моделирования и прогнозирования дальнейшего развития систем. Качество прогнозирования будет зависеть от того, насколько правильно проведена оценка системы с точки зрения соотношения «детерминированность — стохастичность». Самыми распространенными методами оценки степени стохастичности системы являются метод R/S-анализа и метод фрактального анализа. С этой же целью используют метод бинарного кодирования, значение энтропии системы, значение дисперсии трендовых остатков, методы корреляционного, спектрального и гармонического анализа. Если временной ряд является случайным процессом типа «случайного блуждания», к его моделированию нужно применять стохастические методы. Другие подходы используют, когда система в значительной степени детерминирована. Детерминированность может проявляться в виде трендоустойчивых участков или циклической динамики. Обычно динамическая математическая модель системы в силу ее сложности недоступна исследователям, и к прогнозированию эволюции таких систем чаще всего применяют трендовые методы, гармонические и статистические модели.

Цель курсовой работы — проведение предпрогнозного анализа рядов урожайности озимой пшеницы областей Украины с использованием разных методов. Результатом этого анализа должна стать оценка соотношения «детерминированность — стохастичность» для каждой из областей.

ФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ УРОЖАЙНОСТИ ЗЕРНОВЫХ

1. Методика фрактального анализа временных рядов

Сегодня фрактальный анализ успешно применяется в разных областях прикладных исследований. Это связано с тем, что любые достаточно сильные нерегулярности в природе стремятся найти самоподобие (инвариантность относительно масштаба, фрактальность). Основной характеристикой самоподобных структур является фрактальная размерность, введенная Хаусдорфом и выраженная формулой

D = lim[lnN(?)/ln(l/?)] (1)

где N (?) — минимальное количество сфер радиуса ?, покрывающих исследуемое множество.

Фрактальную природу имеют реализации большинства наблюдаемых в природе и обществе динамических процессов. Временные ряды, являющиеся отражением эволюции динамических систем, также имеют фрактальные свойства и могут рассматриваться как стохастические фракталы. Это позволяет применять методику фрактального анализа к графикам временных рядов. Если исходное множество погружено в евклидово пространство, то в уравнении (1) вместо покрытия этого множества сферами можно брать любые другие его аппроксимации простыми фигурами (например, клеточками) с геометрическим фактором ?. Рассмотрим график вещественной непрерывной функции y=f(t), определенной на некотором отрезке [а, b] (см. рис.1). Введем равномерное разбиение отрезка

?_k=[a=t₀ < t₁ < …< t_k = b ]; ? = (b-a)/k (2)

и построим минимальное покрытие функции в классе покрытий, состоящих из прямоугольников с основанием ?. Минимальное покрытие будет отличаться от клеточного покрытия тем, что высота прямоугольника на отрезке [t_t-1, t_t ] будет определяться не количеством клеточек, которые полностью покрывают график, а равняться амплитуде А_t(?), которая является разницей между максимальным и минимальным значениями функции на этом отрезке. Введем величину V_f(?), которую находят по формуле

V_f(?) = (3)

и назовем ее вариацией функции, отвечающей масштабу разбиения ? на отрезке [а, b]. Полную площадь минимального покрытия S_? (?) можно записать в виде:

S_? (?) = V_f(?)* ? (4)

Из (1) следует, что

V_f(?)? ? —^? при ? >0. (5)

Назовем? индексом фрактальности. При вычислении индекса? конкретного временного ряда используем последовательность вложенных разбиений ?_к (2), где k = 2ⁿ; n= 1, 2,. Максимальное значение длины отрезка ? должно не превышать длину временного ряда N. Численные эксперименты показали, что для определения значения индекса? достаточно 32 значений ряда. При этом точность определения намного выше, чем при определении коэффициента Херста H. Это открывает широкие возможности при анализе коротких временных рядов. Введем понятие коэффициента фрактальности :

Н_? =1-? (6)

Рис. 1. Минимальное покрытие (внутренний прямоугольник) и клеточное покрытие (внешний прямоугольник) функции f(t) на интервале [t_t-1, t_t ] длиной ?

Если функция является реализацией гауссовского случайного процесса, значение коэффициента Херста H совпадает со значением коэффициента фрактальности Н_?. Однако реальные временные ряды обычно не являются гауссовскими, и поэтому значения Н и Н_? могут сильно отличаться.

2. Методика R/S-анализа временных рядов

Фрактальность временных рядов впервые была описана английским гидрологом Херстом, исследовавшим динамику речных разливов реки Нил. Херст обнаружил, что для временных рядов различных естественных процессов (уровней осадков, стоков рек и др.) наблюдаемый нормированный размах R/S хорошо описывается эмпирическим соотношением

R/S = (?/2)^H. (7)

Здесь

R(?) = max > ?(x (t) -х_?) — min?(x (t) — х_?)

— размах временного ряда x (t) за период ?,

S =

- стандартное отклонение за период ?, х_? — среднее значение ряда за период ?, Н— показатель Херста. Нормированный размах R/S меняет масштаб по мере увеличения временного интервала т согласно степенной зависимости от Н. Поскольку все фрактальные структуры также меняют масштаб согласно степенным зависимостям, то временные ряды, для которых выполняется соотношение (7), называют фрактальными.

Если при исследовании временного ряда значение H близко к 0,50, это значит, что ряд составлен из независимых случайных значений. В случае, когда 0,50 < Н< 1, временной ряд называют персистентным. Такой ряд характеризуется эффектом долговременной памяти. Когда 0 < Н < 0,50, это означает антиперсистентность временного ряда. Антиперсистентная система меняется чаще, чем чисто случайная система. В этом случае есть основания говорить о сложном динамическом характере системы, свидетельством которого являются нерегулярные колебания переменной х. Как показали исследования Мандельброта и Петерса, большинство финансово-экономических рядов (курсы акций, валютные курсы, фондовые индексы и другое экономические индикаторы) имеют статистику Херста, которая больше 0,5, то есть фрактальную структуру, или долговременную память.

R/S -анализ является непараметрической статистикой, а поэтому он не содержит требований к форме распределения, которое лежит в основе процесса. Необходимо лишь, чтобы процесс был независимым. Условием статистической независимости исследуемой величины является отсутствие автокорреляций во временном ряде. Считается, что для большинства временных рядов природных процессов, таких как осадки, разливы рек, урожайность (причины урожайности скорее естественные, а последствия — экономические), автокорреляции слабо выражены. В отличие от этого автокорреляции цен — очень сильные и продолжительные. Кроме того, известно, что финансовые ряды являются рядами с геометрическим ростом, а природные — рядами с арифметическим ростом. Поэтому при проведении R/S -анализа финансовых рядов исследуют ряды разностей логарифмов цен (логарифмические приращения), а при R/S -анализе временных рядов природных процессов исследуют исходные ряды. В результате такого подхода был получен вывод, что природные временные ряды, как и финансовые, являются персистентными, то есть имеют свойство долговременной памяти. Расчеты автокорреляционных функций, выполненные нами с использованием пакета Statistica, показывают, что предположение о статистической независимости не всегда выполняется для рядов естественного происхождения. Подтверждением этого вывода является автокорреляционная функция ряда урожайности озимой пшеницы Черновицкой области (1955;2008 гг.) (см. рис. 2).

Рис. 2. Автокорреляционная функция урожайности озимой пшеницы в Черновицкой области в 1955;2008 гг.

Поэтому необходимым предварительным этапом R/S -анализа является исследование автокорреляционной функции процесса и, при выявлении существенных автокорреляций, переход к ряду разностей, который практически лишен автокорреляций (см. рис. 3).

Петерc рекомендует выбирать длину отрезка в пределах от m = 10 до m = Ndiv2, причем m должно быть делителем длины ряда N (или самого близкого снизу целого числа N₀). Это необходимо для того, чтобы при всех оценках длина ряда была одинаковой.

При исследованиях коротких временных рядов возникает проблема стабильности оценки. При смещении исследуемого отрезка на один элемент оценка коэффициента Херста может существенно измениться. Для повышения устойчивости оценок мы использовали усреднение нормированных размахов. Первый раз расчет начинался с первого элемента ряда, второй — со второго, последний раз — с элемента z+1, где z = N—N_r После этого нормированные размахи усреднялись. Такой подход расширяет статистическую базу расчетов и позволяет получить более точную оценку значения Н.

Рис. 3. Автокорреляционная функция ряда разниц урожайности озимой пшеницы в Черновицкой области в 1955;2008 гг.

3.Оценка коэффициента Херста природных и экономических рядов

Оценки коэффициента Херста для разных временных рядов были выполнены нами с использованием программы, написанной в среде Delphi. Отладка и калибровка программы выполнялись путем сравнения полученных результатов с результатами работы программы, предоставленной В. Соловьевым (Черкасский национальный университет), и результатами, приведенными в книгах Петерса. Сравнение проводилось на базе следующих временных рядов:

1. Rus_1900_2006 — ряд урожайности зерновых в России за период 1900;2006 гг.

2. USA_1866_2007 — ряд урожайности озимой пшеницы в США за период 1866—2007 гг.

3. Dow_Jones_5280-временной ряд индекса Доу-Джонса. Недельные данные за 1888−1990 гг.

4. 1ВМ_1962_2008 — временной ряд дневных прибылей акций фирмы «IBM» за 1962;2008 гг.

5. Nile₆₂₂_1469 — ежегодные данные об уровне реки Нил за 622−1470 гг.

6. SunM_1749_1937 — месячные данные о количестве солнечных пятен за 1749−1937 гг.

7. S&P 500 — ряд месячных прибылей биржевого индекса S&P 500 за период с января 1950 г. по июль 1988 г.

Результаты расчетов приведены в табл. 1.

Таблица 1 Оценка значения коэффициента Херста для природных и экономических временных рядов

* Расчеты выполнены с использованием программы, предоставленной В. Соловьевым.

** Данные взяты из указанных выше книг Петерса.

Как видно из таблицы 1, результаты, полученные для финансовых рядов из разных источников, близки. Но для рядов естественного происхождения наши оценки отличаются от оценок Петерса. Чтобы объяснить это расхождение, следует вспомнить, что при R/S -анализе ряд должен быть стационарным и независимым. Для удовлетворения этим требованиям при исследовании финансовых рядов переходят от исходного ряда {х.} к ряду при-быльностей y_t=log (x_t-1/x_t). При исследовании рядов естественного происхождения для исключения корреляционных связей нужно осуществить переход от первоначального ряда к ряду первых разностей. В результате применения такого подхода мы получили оценку рядов урожайности, ряда разливов реки Нил и ряда солнечной активности как антиперсистентных временных рядов.

4. Фрактальный анализ временных рядов урожайности

Применим описанную выше методику фрактального анализа к временным рядам урожайности озимой пшеницы. Метод вложенных разбиений, создающих последовательность предфрактальных моделей временного ряда, обеспечивает быстрый выход на степенную асимптотику. Преимуществом данной методики является то, что она позволяет оценивать степень фрактальности коротких временных рядов длиной от 32 значений. Поскольку длина ряда урожайности составляет 54 года, для расчета индекса /и построим последовательность вложенных разбиений ?_к (2), где k = 2ⁿ; л = 1,2, 3, 4, 5. Расчет индекса фрактальности приведем на примере ряда урожайности в АР Крым. Для построения регрессии используем первоначальный участок ряда длиной 48 лет и длины расчетных интервалов — 2, 4, 8 и 16 лет. Получим значение? = 0,54. Исследуем устойчивость полученной оценки. Сместим исследуемый участок на один элемент вперед, то есть выберем новый участок ряда от х₂ до х₄₉. Получим несколько иное значение индекса фрактальности? =0,51. Повторим данный прием еще 5 раз, закончив участком х₇, х₅₄. Полученные значения коэффициента? равны 0,54; 0,51; 0,59; 0,49; 0,56; 0,51; 0,57. Как видим, оценка? неустойчивая. Для увеличения устойчивости оценки и уменьшения погрешности применим метод скользящего окна шириной т. Его суть состоит в том, что если т не является делителем N, расчет повторяется несколько раз: первый раз — для отрезка ряда х₁, х₂, х_m, второй раз — для отрезка х₂, х₃,, х_т+1 и так далее, последний раз — для отрезка х,_+і, х_2+к, х_т+к. Здесь k является остатком от деления длины ряда N на длину исследуемого участка т. Полученные значения вариации усредняются. По усредненным значениям строится регрессия, и по ее наклону определяется индекс ?. Такой подход расширяет статистическую базу расчетов и позволяет получить более точную и стабильную оценку значения индекса фрактальности? для данного временного ряда. Применение описанной методики для АР Крым дало результат? =0,54 (см. рис. 4). Результаты компьютерных расчетов для областей Украины приведены в табл. 2. Для удобства сравнения с коэффициентом Херста в таблице приводится значение коэффициента фрактальности Н_?=1-?.

Рис. 4. Расчет индекса фрактальности ряда урожайности озимой пшеницы для АР Крым (?=0,540, R²=0,981)

5. R/S-анализ временных рядов урожайности

Применим методику R/S -анализа к рядам урожайности озимой пшеницы. Значение коэффициента Херста Н определяется из графика зависимости log(R/S) от log( ?) как наклон прямой линейной регрессии, построенной методом наименьших квадратов:

log (R/S)_? =log© + H*log (?). (8)

Приведем методику наших расчетов. Для исключения корреляционных связей мы переходили от ряда урожайности к ряду первых разностей. Для построения регрессии мы использовали первоначальную часть ряда длиной 48 лет. Минимальное значение длины отрезка мы выбирали равным не 10, как рекомендует Петерc, а 8. Это было сделано с целью увеличения количества точек, по которым строится линия регрессии, что важно для коротких рядов. За длину участка мы брали все целые числа из интервала 8 < m< [N/2]. В результате компьютерных расчетов для ряда урожайности озимой пшеницы АР Крым мы получили значение H=0,38. Передвигая исследуемый участок длиной 48 лет вдоль временного ряда, мы получаем ряд значений: 0,38; 0,34; 0,40; 0,44; 0,45; 0,43, при среднем значении коэффициента детерминации R² = 0,85. Один из таких шагов проиллюстрирован на рис. 5 (вверху). Как и в случае индекса фрактальности ?, оценка коэффициента Херста Н неустойчивая. Для повышения устойчивости оценки применим методику скользящего окна с последующим усреднением кумулятивных сумм. По усредненным значениям строим регрессионную прямую и по ее наклону определяем коэффициент Н. В результате при уровне значимости? = 0,95 и коэффициенте детерминации R² = 0,975 мы получили уточненное значение коэффициента Херста для АР Крым Н= 0,419 ± 0,040 (см. рис. 5, внизу).

Как отмечает Федер, одним из условий применения R/S -анализа является длина ряда не менее 10³. Это условие резко снижает пределы применимости данного метода, поскольку большое количество экономических рядов имеют намного меньшую длину. Предложенный нами метод скользящего окна ослабляет указанное требование и позволяет применять R/S -анализ к рядам с длиной порядка 10², поскольку многократное усреднение равносильно увеличению длины ряда на порядок. Благодаря этому мы смогли получить заслуживающую доверия оценку коэффициента Херста для коротких временных рядов урожайности.

а) Рис. 5. Определение коэффициента Херста: вверху — без применения усреднения; внизу — с применением усреднения Рассчитанное нами значение коэффициента Херста Н = 0,42 для ряда урожайности озимой пшеницы АР Крым близко к коэффициенту фрактальности = 0,46, найденному выше. Результаты компьютерных расчетов коэффициента Херста для областей Украины приведены в табл. 2. Как показывает анализ таблицы, преимущественное количество временных рядов антиперсистентны. Лишь ряды урожайности Закарпатской, Львовской, Кировоградской и Николаевской областей близки к случайным.

6. Бинарное кодирование временных рядов урожайности

Проведем это бинарное кодирование. Построим ряд первых разниц у₁ = х₂ — х₁, у₂ = х₃ — х₂, y_N_, = = х_л, — x_N__y Закодируем этот ряд бинарной последовательностью {а_i}, которая состоит из символов 0 и 1: а_t = {0,1}. Символ «1» отвечает приросту y_t>0), символ «0» — спаду или отсутствию изменений (у_t< 0). Введем понятие кластера как последовательности одинаковых символов, идущих друг за другом в закодированном ряде. Наибольший интерес представляют кластеры единичной длины типа «101» и «010». Большое количество таких кластеров свидетельствует об антиперсистентном поведении ряда. Для ряда с независимыми приращениями доля кластеров единичной длины определяется соотношением

B= (9)

Здесь N — длина ряда. Назовем В бинарным индексом. Бинарный индекс отражает степень непостоянства процесса. Бинарный коэффициент Н_в

Н_в=1-В (10)

по аналогии с коэффициентом Херста может служить степенью персистентности. Для случайного ряда длиной N=54 из соотношения (9) получаем Н_в=0,491. Сравнивая фактическую частоту появления кластеров в исследуемом ряде с теоретической, заданной соотношением (9), мы можем оценить отклонение данного временного ряда от ряда с независимыми случайными элементами. Значения бинарного коэффициента, полученные в результате компьютерных расчетов и приведенные в табл. 2, показывают, что для большинства областей частота появления кластеров единичной длины превышает частоту, соответствующую случайному ряду с независимыми компонентами. Это свидетельствует о том, что ряды урожайности озимой пшеницы в основном антиперсистентны. Анализируя приращения урожайности, мы установили, что чаще всего после прироста урожайности следует ее спад, и наоборот, после спада — прирост. Количество таких случаев составляет 61% от всех разностных серий (совокупные данные для всех областей см. в табл. 2). Количество случаев, когда подряд идут два годовых прироста (или же два спада), составляет 27%. Количество трехлетних серий приростов (спадов) составляет 10%, количество четырехлетних серий — 2%. Если бы динамика урожайности отвечала модели случайного процесса с независимыми приращениями, распределение количества серий отвечало бы степенному закону: 51%, 25%, 12% и др.

Результаты бинарного кодирования рядов урожайности и вид автокорреляционной функции приращений урожайности (см. рис. 3) доказывают, что приращения урожайности нельзя рассматривать как независимые. Этот факт в совокупности с небольшим количеством статистически значимых коэффициентов автокорреляционной функции открывает путь к эффективному прогнозированию динамики урожайности методом авторегрессии. Отрицательное значение первого коэффициента автокорреляционной функции (см. рис. 3) подтверждает антиперсистентное поведение ряда урожайности.

7. Стохастическая модель

Если временной ряд является реализацией случайного процесса с независимыми приращениями, оптимальным прогнозом на будущее служит последнее значение ряда. На этом факте основывается идея стохастической модели прогнозирования. Мы применили эту модель для получения одногодичного прогноза урожайности в пределах десятилетнего интервала 1999—2008 гг. Усреднение погрешности прогноза в пределах данного интервала позволяет избежать случайных оценок и оценить степень близости исследуемого ряда к модели случайных блужданий (степень стохастичности). Чем меньше будет средняя погрешность прогноза, тем ближе будет исследуемый процесс к процессу случайных блужданий и тем выше степень стохастичности временного ряда.

Большая погрешность стохастической модели означает большие отклонения новой реализации от последнего значения ряда (большие приросты, большие спады). То есть средняя погрешность определяется как среднее значение абсолютной величины приростов и спадов. Но величина приростов (спадов) зависит от степени изменчивости процесса. Чтобы оценить фактическое отклонение от случайного процесса, необходимо нормировать среднюю погрешность стохастической модели (среднее абсолютное приращение). В случае стационарных случайных процессов нормирование осуществляется делением на стандартное (среднеквадратичное) отклонение. Поскольку временные ряды урожайности нестационарны, нормирование следует осуществлять делением на стандартное отклонение остатков от тренда. В качестве тренда мы брали механический тренд, построенный методом скользящего среднего с шириной окна 9 лет.

Тогда за степень стохастичности можно принять нормированный коэффициент стохастичности S_n, определяемый по формуле

S_n =S (11)

где S — среднее значение погрешности стохастической модели на десятилетнем промежутке, S_t — стандартное отклонение остатков от тренда, S₁ — среднее значение S, по всем областям. Большое значение коэффициента S_n будет свидетельствовать о значительной степени детерминированности временного ряда, малое значение S_m — о преимущественно стохастическом характере процесса. Детерминированное поведение рядов урожайности озимой пшеницы связано с циклической динамикой. После нормирования погрешности стохастической модели мы разместили области в порядке спада нормированной погрешности (см. табл. 2). Из таблицы видно, что все области можно разделить на 3 группы.

1. «Детерминированные». Области, во временных рядах урожайности которых наиболее четко проявляется эффект цикличности колебаний урожайности. Это Николаевская, Одесская, Харьковская, Днепропетровская, Донецкая, Херсонская, Полтавская, Сумская, Кировоградская области. Периоды циклов достаточно стабильны, но амплитуда меняется резко, благодаря чему нормированная погрешность превышает 30% (30—60%).

2. «Стохастические». Области, поведение урожайности для которых близко к случайному винеровскому процессу. Это Ивано-Франковская, Тернопольская, Закарпатская, Черновицкая, Ривненская, Волынская и Львовская области и особенно АР Крым. Цикличность выражена очень слабо, но вариация амплитуды небольшая, благодаря чему нормированная погрешность не превышает 25% (10−25%).

3. «Промежуточные». Области, для которых эффект цикличности проявляется, но не очень четко. Это Луганская, Киевская, Житомирская, Запорожская, Черкасская, Черниговская, Винницкая, Хмельницкая области. Нормированная погрешность — в пределах 25—30%.

Таблица 2 Значения коэффициента стохастичности, коэффициента Херста, коэффициента фрактальности и бинарного коэффициента рядов урожайности озимой пшеницы для областей Украины

ВЫВОДЫ

Итак, все использованные нами методы исследований (корреляционный и фрактальный анализы, R/S-анализ и бинарное кодирование) привели к выводу об ангиперсистентном поведении рядов урожайности. Но необходимо ответить на вопрос: какой из коэффициентов Н, Н_м, Н_в наиболее точно отражает степень стохастичности временного ряда? Для ответа рассчитаем корреляцию указанных коэффициентов с порядковым номером области в таблице 2 (см. нижнюю строку).

Таблица 2 отсортирована по спаду нормированной погрешности прогноза, которая также является мерой степени случайности. Самое высокое значение коэффициента корреляции R = 0,81 отвечает коэффиценгу Н_?. Следовательно, именно коэффициент фрактальности H_? наиболее адекватно отражает степень стохастичности ряда урожайности. Коэффициент Херста H и бинарный коэффициент Н_в являются менее точными показателями стохастичности.

Причинами этого могут быть наличие автокорреляций в рядах разностей урожайности, отклонение от нормального закона распределения этих рядов и недостаточная их длина.

Анализ таблицы 2 показывает четкий эффект роста коэффициента фрактальности по направлению «восток — запад». Это значит, что эффект цикличности урожайности озимой пшеницы ярче всего проявляется именно в восточных областях. Влияние атлантического климата (западные области) и климата Черного моря (АР Крым) приводит к тому, что в колебаниях урожайности начинает преобладать случайная компонента.

Полученные нами результаты являются основанием для целенаправленного выбора прогнозных моделей урожайности с горизонтом прогноза 1 год и больше. Прогнозные оценки, которые обеспечивают эти модели, позволяют увеличить доходы от экспорта зерновых благодаря оптимальной экспортной политике на протяжении всего года с учетом сезонных ценовых колебаний на мировом рынке зерна; оптимизировать динамику накопления (высвобождения) государственного зернового резерва и его структуру; повысить устойчивость сельскохозяйственного производства в целом.

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М., «Мир», 2000,333 с.

2. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. М, Интернет-трейдинг, 2004,304 с.

3. Дубовиков М. М., Крянев А. В., Старченко Н. В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных временных рядов. «Вестник РУДН» № 1,2004, т. 3, с. 81−95.

4. Грицюк П. М. Статистичний аналіз кластерів у часових рядах врожайності зернових. Економика: проблеми теорії та практики. 36. наук, праць. Дніпропетровськ, «Наука і освіта», 2010.

5. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М., «Мир», 1974,605 с.

6. Грицюк П. М. Прогнозування урожайності зернових культур: особливості і методика. Вчені записки. 36. наук, праць. К., КНЕУ, 2009, вип. 11, с. 294−300.

7. Hausdorff F. Dimension undAusseres Mass. «MathematicheArmalen» № 79, 1919, p. 157−179.

8. Hurst Н. Е. Long-term Storage of Reservoirs. «Transactions of the American Society of Civil Engineers» Vol. 116,1951, p. 776−808.

9. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М., Институт компьютерных исследований, 2002, 656 с.

10. Федер Е. Фракталы. М., «Мир», 1991, с. 179.

11. Боровиков В. П., Ивченко Г. И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде WINDOWS. M, «Финансы и статистика», 2006, 368 с.

12. Грицюк П. М. Динамика урожайности зерновых: прогнозы и риски. «Экономика Украины» № 11, 2009, с. 42−52.