Элементы топологии на уроках математики в школе

ВВЕДЕНИЕ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 3

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 4

§ 1.

Введение

в топологию.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .4

§ 2. Теорема Жордана о замкнутой кривой.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .6

§ 3. Проблема четырёх красок.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .11

§ 4. Фракталы.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 17

Самоподобные геометрические объекты.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 17

Что такое размерность?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .19

Как измерить размерность?. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 20

«Фрактальная геометрия природы».. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 21

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .23

Список используемой литературы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .24

Дополнение.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... 25

Приложение 1.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 25

В условиях развития новых технологий резко возрос спрос на людей, обладающих нестандартным мышлением, умеющих ставить и решать новые задачи. Поэтому так важно, чтобы в каждой школе проводилась внеклассная работа с учениками наиболее талантливыми. А топология как тема для факультативного курса или курса по выбору — это наиболее успешная тема для развития нестандартного мышления в сознании учащихся.

В данной работе представлены материалы по теме «наглядная топология», предназначенные для организации курса по выбору в классах с углубленным изучение математики. Изучение топологии способствует развитию пространственного воображения школьников, выработке абстрактного мышления.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировались учебники, научные журналы, научно-популярная литература, сборники нормативных документов, производился поиск и отбор материалов, посвящённых данной теме, проводилась их методическая обработка. Особенностью данной работы является рассмотрение вопросов, редко встречающихся в школьной практике.

Основное содержание работы изложено в трёх параграфах.

В первом параграфе рассказывается о топологии как науке: определяется, что является предметом топологии, даётся «определение» топологии, делается небольшой экскурс в историю топологии.

Второй параграф посвящён Жордановой кривой. Формулируется основное утверждение, проводится доказательство.

В третьем параграфе идёт обсуждение проблемы четырёх красок. Сообщается, что существует доказательство, что шести красок достаточно для правильной раскраски любой карты на плоскости или сфере. Приводится пример того, что необходимо как минимум четыре краски, чтобы раскрасить карту на плоскости или сфере и пока не найдено карты, для правильной раскраски которой не хватало бы четырёх красок. Сообщается, что пока фактического доказательства того, что любую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками. Но существует доказательство утверждения о семи красках тора. Предлагается разрешить интересную головоломку.

В четвёртом параграфе идёт речь о фракталах. А именно происходит знакомство с самоподобными геометрическими объектами, даётся несколько вариантов определения размерности, рассказывается, как измерить размерность, знакомство с «Фрактальной геометрией природы».

В приложении — приводится решение головоломки предложенной в § 3.

При написании работы были использованы книги, статьи научно-популярных журналов, сборник нормативных документов -.

§ 1.

Введение

в топологию.

В середине ХIX столетия возникло совершенно новое течение в геометрии, которому было суждено вслед за тем стать одной из главных движущих сил современной математики. Предметом новой отрасли, называемой топологией (или analysis situs), является изучение свойств геометрических фигур, сохраняющихся даже тогда, когда эти фигуры подвергаются таким преобразованиям, которые уничтожают все их и метрические и проективные свойства.

Топологии удивительно трудно дать определение. Её описание значительно сложнее тех формулировок, которые предполагают признанные справочники и энциклопедии для арифметики («Наука о положительных вещественных числах» — Webster’s New Collegiate Dictionary или «Искусство манипулировать с числовыми величинами и их отношениями» — Encyclopaedia Britannica) или геометрии («Изучение [математических] свойств пространства» — Encyclopaedia Britannica). [Марк Барр вообще определяет математику как нечто «предназначенное держать факты в состоянии оцепенения, в то время как мы бесстрастно изучаем соотношение между ними», что особенно применимо к алгебре.]

Стартовав как раздел геометрии, топология быстро внедрилась и во многие другие области математики. Кажется почти правильным утверждение, что топология представляет собой особое состояние ума и преследует свои собственные цели.

Одним из великих геометров этой эпохи был А. Ф. Мёбиус (1790—1868), человек, не слишком преуспевший из-за своей скромности в научной карьере: он занимал должность астронома в одной из второразрядных немецких обсерваторий. В возрасте шестидесяти восьми лет он представил Парижской академии мемуар об «односторонних» поверхностях, содержащий кое-какие из наиболее изумительных фактов в новой отрасли геометрии. Подобно многим другим важным научным работам, его рукопись несколько лет несколько лет валялась на полках Академии, пока обстоятельства не сложились так, что её опубликовал сам автор. Независимо от Мёбиуса гёттингинский астроном И. Листинг (1808—1882) сделал подобные же открытия и, под влиянием Гаусса, в 1847 г. Издал небольшую книгу «Vorstudien zur Topologie». Когда Бернгард Риман (1826—1866) прибыл в Гёттинген, чтобы стать там студентом, математическая атмосфера этого университета этого города уже была насыщена острым любопытством по отношению к новым и старым геометрическим идеям. Скоро он осознал, что именно в них нужно искать разгадку самых глубоких свойств аналитических функций комплексного переменного. Позднейшее развитие топологии, вероятно, едва ли обязано чему-либо в такой степени, как великолепному зданию римановой теории функций, в которой топологические концепции имеют самое фундаментальное значение.

В некотором смысле слова топологии — это наука, изучающая непрерывность: исходя из непрерывности пространства или форм, она переходит к обобщениям, которые затем по аналогии приводят к новому пониманию непрерывности, а «обычное» пространство, как мы себе его представляем, остаётся далеко позади. Истинные топологи избегают всяких картинок, испытывая к ним некоторое недоверие. Это вызвано тем, что невозможно (и бессмысленно!) изобразить занимающие их «пространства». Однако нам будет легче подойти к пониманию их целей, к топологической точке зрения на определённые формы (или «пространства»), если мы начнём с того, что можно увидеть и потрогать.

Тополог интересуется теми свойствами «предметов» (трактуемых нами пока в геометрическом смысле), которые наиболее устойчивы, то есть которые выдерживают деформации сжатия и растяжения.

На первых порах своеобразия методов, которыми приходилось действовать в новой области, воспрепятствовало тому, чтобы полученные здесь результаты были изложены в традиционной дедуктивной форме, типичной для элементарной геометрии.

Хотя топологию можно с полной определённостью назвать продуктом двух последних столетий, необходимо всё же отметить, что ещё и раньше было сделано несколько открытий, которые, как вытекает из современной систематики математических знаний, имеют ближайшее отношение топологии. Из них самым крупным, несомненно, является установление формулы, связывающей числа вершин, рёбер, граней простого многогранника: она была подмечена уже Декартом в 1640 г., позднее переоткрыта и использована Эйлером в 1752 году. Характерные черты топологического утверждения в этой формуле стали очевидными гораздо позднее — после того как Пуанкаре в «формуле Эйлера» и её обобщениях усмотрел одну из центральных теорем топологии.

Так как при первых шагах в неизвестной области идеал безупречной строгости вовсе не обязателен и даже мало важен, то мы иногда будем без колебаний апеллировать непосредственно к интуиции учащихся.

§2. Теорема Жордана о замкнутой кривой.

На плоскости нарисована простая замкнутая кривая (нигде сама себя не пересекающая). Посмотрим, какое свойство этой фигуры сохраняется неизменным даже в том случае, если плоскость будет подвергаться каким угодно деформациям, как будто бы она была сделана из тонкого слоя резины. Длина кривой или площадь ограниченной ею части плоскости при деформациях не сохраняется. Но у рассматриваемой конфигурации есть и топологическое свойство, столь простое, что может показаться тривиальным. Простая замкнутая кривая С на плоскости делит плоскость ровно на две области, внутреннюю и внешнюю. Точнее говоря, мы утверждаем следующее: точки плоскости разбиваются на два класса — А (внешние точки) и В (внутренние точки) — таким образом, что любая пара точек, принадлежащих одному и тому же классу, может быть связана кривой, не имеющей общих точек с С, тогда как всякая кривая, соединяющая две какие-нибудь точки разных классов, непременно пересекается с С. Это утверждение вполне очевидно, например, для случая окружности или эллипса, но уже чуть менее очевидно для такой сложной кривой, как причудливой формы многоугольник, изображенный на рис. 1.

Впервые эта теорема была сформулирована Камиллом Жорданом (1838 — 1922) в его широко известном «Cours d’analyse», из которого целое поколение математиков почерпнуло современную концепцию математической строгости. Как это ни странно, доказательство, данное самим Жорданом, не было ни кратким, ни простым по своей идее, но в особенности удивительно то, что, как оказалось, оно и не было вполне исчерпывающим, и понадобились значительные усилия, чтобы восполнить его пробелы. Первые строгие доказательства теоремы Жордана были очень сложными и трудно воспринимаемыми даже для людей с хорошей математической подготовкой. Сравнительно простые доказательства были придуманы лишь недавно. Одно из затруднений заключается в большой общности понятия «простой замкнутой» кривой, значительно более широкого, чем понятие многоугольника или «гладкой» кривой: по определению «простая замкнутая» кривая есть любая прямая, топологически эквивалентная окружности. С другой стороны, необходимо таким терминам, как «внутри» или «вне» (столь ясными интуитивно), дать логические определения, прежде чем строгое доказательство станет возможным. Проанализировать в их полной общности, возникающие в этой связи отношения и понятия есть теоретическая задача первостепенного значения, разрешению которой в большой степени служит современная топология. Но, с другой стороны, следует иметь в виду и, то обстоятельство, что, занимаясь изучением конкретных явлений в области геометрии, в громадном большинстве случаев малоуместно вводить понятия, неограниченная общность которых создаёт излишние затруднения. Так, возвращаясь к теореме Жордана, существенно то, что для случая «хорошо ведущих себя» кривых — например, для многоугольников или для кривых с непрерывно меняющейся касательной (которые только и встречаются в наиболее важных задачах) — доказательство этой теоремы может быть проведено совсем просто. Для случая многоугольников сделать это гораздо сложнее, приведём это доказательство чуть ниже.

Помним, что утверждается: жорданова кривая разбивает односвязную поверхность (например, плоскость или сферу) на две области, не имеющие общих точек, общая граница которых совпадает с данной линией. Жорданову кривую, разбивающую поверхность на две части, можно нарисовать и на тор; нужно только, чтобы она не окружала дыру и не проходила через неё, как это имеет место в случае двух кривых на рис. 2. Однако на плоскости или на сфере всякая жорданова кривая разбивает поверхность на две части, а на торе это верно не для всякой жордановой кривой.

Приведём доказательство теоремы Жордана для случая многоугольника. Итак, теорема Жордана утверждает, что всякая простая замкнутая криваяС разделяет точки плоскости, не принадлежащие кривой С, на такие две области (не имеющие общих точек), по отношению к которым сама кривая С является общей границей. Докажем здесь эту теорему для частного случая, когда С есть замкнутый многоугольник Р.

Покажем, что точки плоскости (кроме точек, находящихся на самом многоугольном контуре Р) разбиваются на два класса, А и В, обладающие следующими свойствами: 1) две точки одного и того же класса могут быть соединены ломаной линией, не имеющей общих точек с Р; 2) если две точки принадлежат разным классам, то любая ломаная линия, их соединяющая, имеет общие точки с Р. Один из названных классов образует «внутренность» многоугольника, другой — состоит из точек, находящихся «вне» многоугольника.

Приступая к доказательству, выберем какое-то фиксированное направление в нашей плоскости, не параллельное ни одной из сторон Р. Так как р имеет конечное число сторон, то это всегда возможно. Затем определим классы, А и В следующим образом.

Точка р принадлежит классу А, если луч, проведённый через неё в фиксированном направлении, пересекает Р в чётном числе точек (0,2, 4,6 и т. д.). Точка р принадлежит классу В, если луч, проведённый из р в фиксированном направлении, пересекает Р в нечётном числе точек (1,3,5 и т. д.).

К этому нужно добавить, что если рассматриваемый луч проходит через какую-нибудь вершину Р, то эта вершина идёт в счёт как точка пересечения луча с Р или не идёт, смотря по тому, расположены ли прилежащие стороны многоугольника Р по разные стороны луча или по одну и туже его сторону.

Условимся говорить, что две точки р и q имеют одну и ту же «чётность», если они принадлежат одному и тому же из двух классов, А и В.

Заметим прежде всего, что все точки любого отрезка прямой, не пересекающегося с Р, имеют одну и ту же чётность. Действительно, чётность точки р, движущеёся по такому отрезку, может измениться не иначе, как при пересечении соответствующего луча с одной из вершин Р; но, принимая во внимание наше соглашение о счёте точек пересечения, легко убедиться, что в каждом из двух возможных случаев чётность всё же не меняется. Из сказанного следует, что если некоторая точка Р1 области, А соединена ломаной линией с некоторой точкой р2 области В, то эта линия непременно пересекает Р. Иначе чётность всех точек ломаной линии, в частности точек р1 и р2, была бы одинаковой. Дальше, покажем, что две точик одного и того же из двух классов, А и В могут быть соединены ломаной линией, не пересекающейся с Р. Обозначим две данные точки через р и q. Если прямолинейный отрезок рq, соединяющий р и q, не пересекается с Р, то доказывать больше нечего. В противном случае пусть р'—первая, а q'—последняя точка пересечения отрезка рq с многоугольником Р (рис. 4). Построим ломаную линию, начинающуюся сот точки р прямолинейным отрезком, расположенным по направлению рq, но заканчивающюся непосредственно перед точкой р': отсюда ломаная пойдёт вдоль Р (безразлично, в каком из двух возможных направлений) и будет так идти, пока не придёт снова на прямую рq около точки q'. Весь вопрос в том, произойдёт ли пересечение с прямой рq на отрезке р’q' или на отрезке q' q: мы сейчас убедимся, что справедливо именно последнее, и тогда будем иметь возможность закончить ломаную, соединяя последнюю из полученных точек с точкой q прямолинейным отрезком, снова лежащим на отрезке рq. Если две точки r и s расположены очень близко одна от другой, но по разные стороны одной из сторон многоугольника Р, то они имеют различную чётность, так как выходящие из них (в фиксированном направлении) луч будут таковы, что на одном из них будет на одну точку больше точек пересечения с Р, чем на другом. Отсюда ясно, что чётность меняется, когда двигаясь по рq, мы проходим через точку q'. Значит, ломаный «путь», намеченный на чертеже пунктиром, вернётся на рq между q' и q, так как р и q (следовательно, все точки на рассматриваемом «пути») имеют одну и туже чётность.

Таким образом, теорема Жордана для случая многоугольника доказана. «Внешними» по отношению к многоугольнику Р будут те точки, которые принадлежат классу А: действительно, двигаясь по какому-нибудь лучу в фиксированном направлении достаточно далеко, мы несомненно, придём к точке, за которой пересечений с Р уже не будет, и все такие точки будут принадлежать классу А, так что их чётность будет 0. Тогда уже придётся заключить, что точками «внутренними» будут точки класса В. Каким бы запутанным ни был замкнутый многоугольник Р, всегда очень легко узнать, расположена ли данная точка р внутри или вне его: достаточно из р провести луч и посчитать число его точек пересечения с Р. Если это число нечётное, значит, р «сидит» внутри и не сможет выбраться наружу, не пересекая Р. Но если это число чётное, то точка р — вне многоугольника Р.

§3. Проблема четырёх красок.

Среди ранних и глубоких достижений топологии есть ряд теорем, которые первоначально были сформулированы как проблемы и лишь затем доказаны. Некоторые из них, вроде уже упоминавшейся теоремы о жордановой кривой, быть может, потому так знамениты, что их наглядная очевидность столь явно контрастирует с трудностью доказательства.

Существует и ещё одна теорема, даже более знаменитая, чем выше названная, ибо прошло более ста лет, как она сформулирована, а доказательства до сих пор нет. В 1976 г. эта теорема была доказана с использованием ЭВМ -. Она известна как проблема четырёх красок (формально, пока не получено доказательство, её нельзя назвать теоремой). В ней утверждается: чтобы «правильно» раскрасить любую карту, изображённую на односвязной поверхности вроде поверхности глобуса или этой страницы, необходимо только четыре краски.

Раскрашивая географическую карту, обыкновенно стараются распределить цвета, таким образом, между странами, чтобы две страны, имеющие общую границу, были окрашены по-разному. Было обнаружено на опыте, что любая карта, сколько бы ни было изображено на ней стран и как бы они ни были расположены, может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более чем четырьмя красками. Легко убедиться, что меньшее число достаточным для всех случаев не является. На рис. 5 изображён остров посреди моря, который никак нельзя раскрасить менее чем четырьмя красками, так как на нём имеется четыре страны, из которых каждая соприкасается с остальными тремя.

Разумеется, что на карте могут существовать точки, в которых сходится любое число областей (или стран), что ещё совсем не означает, что каждую из них необходимо закрасить своей краской. Шахматную доску можно, как обычно раскрасить только двумя красками, хотя на ней есть точки, где сходятся четыре клетки. Чтобы две страны было необходимо закрасить в разные цвета, надо чтобы у них был хот бы небольшой общий участок границы. Нам не требуется также все моря красить голубой краской или все британские владения — розовой; мы обязаны лишь красить в разные цвета прилегающие страны. Никому не удалось построить карты, для которой потребовалось бы более четырёх красок, никому не удалось также доказать, что такой карты построить нельзя, хотя огромное количество учёных умов пытались это сделать. Было доказано, что пять областей нельзя расположить таким образом, чтобы каждая из них касалась всех остальных (доказательство, если проводить его абсолютно строго, оказывается хитрее, чем можно было бы предложить.) Однако отсюда ещё вовсе не следует справедливость общей теоремы о четырёх красках, хотя существование подобных пяти областей, конечно, опровергло бы эту теорему.

Тот факт, что до настоящего времени не было ни разу найдено такой карты, для раскрашивания которой потребовалось бы более четырёх красок, приводит к мысли о справедливости такой теоремы: При любом данном разбиении плоскости на области, не покрывающие друг друга ни полностью, ни частично, всегда возможно пометить их цифрами 1, 2, 3, 4 таким образом, чтобы «прилежащие» области были бы обозначены разными цифрами. Под «прилежащими» областями понимаются такие, которые имеют целый отрезок границы общим: две области, имеющие лишь одну общую точку (или даже конечное число общих точек), как например штаты Колорадо и Аризона, не будут называться «прилежащими», так как никакого смешения или неудобства не возникает, если их раскрасить одинаково.

Можно начать чертить карту и раскрашивать её по мере построения, но не исключено, что мы зайдём в тупик и нам придётся вернуться назад и раскрашивать карту по-новому. Во всех экспериментах нам удаётся выпутаться из любого положения, но до сих пор не доказано, что это действительно возможно всегда.

Есть основание полагать, что впервые проблема четырёх красок была поставлена Мёбиусом в 1840 г.; позднее её формулировали де Морган в 1850 г. и Кэли в 1878 г. «Доказательство» её было опубликовано в 1879 г. Кемпе, но Хивуд в 1890 г. нашёл ошибку в рассуждении Кемпе. Пересматривая доказательство Кемпе, Хивуд обнаружил, что пяти красок всегда достаточно. Несмотря на усилия многих выдающихся математиков, положение вплоть до нашего времени остаётся в сущности неизменным. Было доказано, что пяти красок достаточно для всех карт, и имеется предположение, что достаточно также четырёх. Но, как и в случае знаменитой теоремы Ферма, ни доказательства этого предположения, ни противоречащего ему примера приведено не было, и оно остаётся одной из «больших» нерешённых математических проблем. Заметим, между прочим, что проблема четырёх красок была решена в положительном смысле для частных случаев, когда число областей не превышает тридцати восьми. Отсюда ясно, что если в общем случае теорема неверна, то опровергающий пример должен быть не особенно простым.

Самое досадное, что доказана теорема, которая кажется гораздо более трудной: на торе или на любой другой двусвязной поверхности существуют карты, для раскрашивания которых требуется 7 красок, и семи красок хватает для раскрашивания любой карты. В случае если читателю нравится озадачивать других, пусть он нанесёт рис. 6 на бумажный тор (бублики малопригодны для картографии) и после небольшой предварительной болтовни его раскрасить. Как можно заметить, на рисунке семь областей, каждая из которых касается всех остальных (помните о склейках, указанных стрелками).

Следует объяснить, что области на противоположных сторонах, которые соприкасаются между собой вдоль участка склейки, должны быть окрашены в разные цвета. Даже в случае ленты Мёбиуса удалось доказать, что нужно не более чем 6 красок и что есть карты, для которых требуется ровно 6 красок. Если разбить полоску, как показано на рис. 7, а затем перекрутить её и склеить, то мы увидим, что при этом получится 6 областей, каждая из которых будет касаться всех остальных. Поскольку у листа Мёбиуса одна сторона, мы считаем, что он прозрачен: каждый участок имеет один и тот же цвет, независимо от того, с какого направления мы на него смотрим.

К проблеме четырёх красок подступались с разных сторон, из которых по-видимому, наиболее обещающей является формула Эйлера для многогранников, поскольку любую карту можно топологически преобразовать в некоторый многогранник, а формула, как мы видели ранее, приложима к любой фигуре, состоящей из граней (стран на карте), рёбер (границ) и вершин (точек соприкосновения границ). Несмотря на изнурительные исследования, основная проблема не решена до сих пор, хотя в качестве её «отходов» получен ряд интересных теорем. В некотором смысле эту проблему можно было бы назвать проблемой трёх красок, ибо если бы нам удалось построить карту, для внешнего «пояса» которой потребовалось бы более трёх красок, то мы могли бы затем окружить её ещё одной областью, для чего нам понадобилась бы пятая краска.

Это означает не то, что для всей такой карты, за исключением лишь окружающей карту области, используют только 3 краски, а то, что во всех случаях мы должны быть в состоянии так перекрасить карту, чтобы для областей внешнего «пояса» потребовалось только 3 краски. В случае карты, изображённой на рис. 8, мы начинаем раскрашивать сначала внутренние области: 1, 2 и 3, а затем, как на показано, окружающие их области; при этом мы начинаем с тех же красок 1, 2 и 3, но уже для х потребуется четвёртая краска, а для у — пятая. Дабы этого избежать, мы должны отказаться от четвёртой краски для области х, закрасив этим цветом одну из внутренних областей, что позволит нам в случае «пояса» х обойтись тремя красками. Если мы найдём удачный метод удаления четвёртых красок для всех последовательно возникающих «внешних поясов», то сможем решить эту часть проблемы.

Любой карте можно придать более единообразную форму, преобразовав её в то, что называется правильной картой — такой, у которой в каждой точке соприкасается не более трёх областей. Это не повлияет на раскрашивание, поскольку при переходе к первоначальной карте окажется лишь, что несоприкасающиеся области соприкасаются в точке (но не по части границы!). Обычный способ состоит в том, чтобы заменить точку р, в которой соприкасается более трёх областей, новой областью, А (рис.9). Теперь у нас образовалось 4 точки a, b, c, d, в каждой из которых соприкасаются только 3 области (страны). Если мы правильно раскрасим эту вторую карту, а затем удалим А, то в результате останется всё ещё правильно раскрашенная карта, с той оговоркой, что мы, быть может, используем 3 краски там, где окажется достаточно и двух. Мы принесли простоту в жертву единообразию — вещь, порой полезная в математике.

Отметим то замечательное обстоятельство, что для некоторых поверхностей более сложного типа, чем плоскость или сфера, соответствующие, соответствующие теоремы действительно были доказаны, так что, как это ни парадоксально, анализ более сложных (в геометрическом отношении) поверхностей в данном случае проводится легче, чем более простых. Как было сказано выше, для случая поверхности тора, имеющей вид «бублика», что всякая нарисованная на ней карта может быть раскрашена семью красками и что, с другой стороны, на ней мыслимы такие карты, составленные из семи областей, что каждая область соприкасается с остальными шестью.

Головоломка. Вам требуется раскрасить карту (рис. 10). Площадь каждой области равна 8 м², за исключением верхней, у которой площадь составляет 16 м². У вас есть следующие краски: КРАСНАЯ, которой хватает ровно, на 24 м²; ЖЁЛТАЯ, которой хватает на 24 м²; ЗЕЛЁНАЯ, которой хватает на 16 м², и СИНЯЯ, которой хватает на 8 м². Результат должен удовлетворить обычному требованию: соприкасающиеся области нельзя закрашивать в одинаковый цвет. Остерегайтесь единорогов.

§ 4. Фракталы.

Объекты, которые мы теперь называем фракталами, впервые появились в воображении математиков начала прошлого столетия. И тогда вряд ли могло прийти в голову, что в окружающей нас природе встретится что-либо похожее на эти необычные и изысканные кривые. И хотя в этом параграфе речь пойдёт в основном о физических системах, начать придётся с маленького и очень нестрогого математического введения.

4.1. Самоподобные геометрические объекты.

Самоподобной геометрической фигурой (телом) будем называть фигуру, которую можно разрезать на конечное число одинаковых фигур, подобных ей самой. Примеры — на рисунке 11: отрезок, равносторонний треугольник, квадрат, куб.

Несколько сложнее выглядит самоподобный объект на рис. 12. Но строится он довольно просто. Начиная с равностороннего треугольника со стороной l₀, будем повторять (до бесконечности) следующий процесс: каждые отрезок, соединяющий вершины ломаной, разделим на три части и среднюю часть заменим двумя отрезками длиной l/3, где l — длина исходного отрезка. Первые несколько стадий построения такой кривой показаны на рис. 12. На n-й стадии построения кривая представляет собой ломаную из = 3N = 3· 4ⁿ отрезков длиной l/3ⁿ каждый, полная её длина L = 3l_о(4/3)ⁿ. Эту ломаную называют триадической кривой Коха (по имени шведского математика, придумавшего этот объект).

Рис. 12

Каждый исходный отрезок триадической кривой Коха состоит из четырёх подобных ему отрезков с втрое меньшим расстоянием между концами.

Самоподобными являются и объекты, показанные на рисунке 13, — так называемые треугольная кривая Серпинского — «ковёр Серпинского» (по имени польского математика В. Серпинского (1882 — 1969)). Способ их построения ясен из рисунка: первая получается при многократном соединении середин сторон соответствующих равносторонних треугольников, вторая — при бесконечном повторении процедуры выбрасывания середины из разделённого на 9 частей квадрата.

Рис. 13

Вернёмся к кривой Коха. Попробуем, например, определить её длину с помощью циркуля. Установив раствор циркуля равным ?, будем переставлять циркуль по кривой, считая число его перестановок n. Длина кривой при этом приближенно будет равна L?? n. Величину? будем называть масштабом измерения.

Измеряя, скажем, длину окружности с радиусом R = 1 м, мы получим, что измеренная длина L = ?n при? = 1 м равна 3,0 м, при? = 0,1 м L = 6,2 мм, при? = 0,01 м L = 6,28 м, и при ?0 длина L стремится к пределу 2? R = 6,28 318… м.

Попытавшись проделать аналогичную процедуру с кривой Коха, мы убедимся в отсутствии того предела, который можно было бы считать длиной этой кривой. Выбирая масштаб? = l₀/3ⁿ, мы получим, что измеренная длина кривой будет равна длине ломаной, соответствующей n-й стадии её построения — L = 3l₀(4/3)ⁿ.

Попытки измерить длины других самоподобных кривых привели бы к аналогичному результату — с уменьшением масштаба измерения длина кривой неограниченно растёт.

Отметим один весьма важный фактор, отличающий реальный самоподобный объект от идеального математического: у реальных объектов существует минимальный масштаб измерения ?_min.

Рассмотрим, например, реальный процесс построения кривой Коха с помощью карандаша и бумаги. Пусть мы строим кривую с начальной длиной стороны l₀ = 1 м карандашом, оставляющим линию толщиной а₀ = 0,1 мм = 10^-4 м. С математической точки зрения процедура построения кривой может продолжаться бесконечно. Реальный же процесс остановится, как только длина отрезка между двумя соседними точками излома сравняется с толщиной линии. Нетрудно подсчитать, что это произойдёт на шаге с номером n = ln (l₀/а₀)/ln3? 9. Длина нашей линии при этом будет L? 40 м. Так что реальная самоподобная кривая имеет конечную длину.

Теперь вернёмся к идеальным математическим объектам. Формулу длины кривой Коха можно записать в таком виде: L = А?^-, где, А = 3l₀^ln4/ln3, = (ln4/ln3)-1. (Учащиеся, зная правила обращения с логарифмами, смогут сами убедиться, что эта запись эквивалентна формуле L = 3l₀(4/3)ⁿ.) Фигурирующий в формуле показатель связан с размерностью кривой.

4.2. Что такое размерность?

Существует несколько определений размерности, соответствующих совершенно разным понятиям. Попробуем составить представление о некоторых из них.

Первое определение связано с минимальным числом координат, необходимых для однозначного определения положения точки. В нашем пространстве это число равно трём, на плоскости достаточно двух координат, на линии — всего одной. В этом смысле пространство трёхмерно, плоскость двумерна, линия одномерна. Естественно, в таком определении размерность всегда является целым числом.

Второе определение связано со следующим обстоятельством. Чтобы разрезать прямую на две части, достаточно исключить одну точку. Множество, состоящее из конечного (счётного) числа точек, будем считать нульмерным. Размерность любого множества будем полагать на единицу большей, чем размерность разреза, делящего его на две связные части. При таком определении размерности линия одномерна, плоскость (для разрезания которой необходимо провести разрез по некоторой линии) двумерна, объёмно геометрическое тело трёхмерно. Эта размерность — её называют топологической — также может быть только целой.

Перейдём теперь к третьем, самому интересному для нас определению размерности, точнее — к определению целого класса близких по смыслу понятий размерности. Простейшее из них — размерность самоподобия D можно определить формулой D = (ln N)/(ln n), где N — число одинаковых частей, на которые разбивается данный самоподобный объект, имеющих в n раз меньший пространственный разрез. Посмотрите на рис11. Проведя, как показано на рисунке, разрезы, мы разделим квадрат на N = 4 квадрата со стороной, меньшей исходной в n = 2 раза. Кубик со стороной 1 состоит из N = 8 кубиков со стороной? (n = 2). Так что размерность самоподобия для квадрата равна ln4/ln2 = 2, для кубика — ln8/ln2 = 3; очевидно, что размерность отрезка равна 1.

Вычисляя таким же образом размерность объектов, показанных на рисунках 12 и 13, мы увидим, что размерность каждого участка кривой Коха (и размерность всей кривой) равна D = ln4/ln3 = 1,2618, треугольной кривой Серпинского — ln3/ln2 = 1,5849, «ковра Серпинского» — ln8/ln3 = 1,8727. Эти странные кривые имеют нецелую размерность.

А теперь вернёмся к формуле длины кривой Коха. Воспользовавшись только что приведённым определением размерности D, мы можем переписать эту формулу в виде L = 3l₀^D?^1-D.

Рост измеренной длины самоподобной кривой при уменьшении масштаба измерения является показателем её нецелой размерности: D = 1+.

4.3. Как измерить размерность?

Размерность самоподобия можно определить только для очень регулярных, построенных по строго определённым правилам, объектов. Если отклонения от регулярности невелики, объект можно считать приблизительно самоподобным. А если велики?

Воспользуемся определением размерности, которым часто пользуются при экспериментальном измерении размерности различных физических систем.

Пространство, в котором расположен интересующий нас объект, разбивают на клетки размером? (например, наносят на плоскость фотографии объекта квадратную сетку со стороной ?). Подсчитывают число клеток, в которые попали точи объекта. Разбиение повторяют, используя меньший масштаб ?и т. д. (рис. 14). Зависимость числа клеток, в которые попали точки объекта, от размера клетки при этом даётся законом N = A? ^{-D, где D и есть искомая размерность. Рассматривая плоскую область площади S (треугольник на рис. 4), нетрудно убедиться, что N? S/?2, так что D = 2. Для отрезка N = BL/?, где L — длина отрезка, а B — коэффицинт, зависящий от его ориентации. Размерность отрезка D = 1. Если проделать ту же процедуру и с объектами, показанными на рисунках 12 и 13, получатся значения D, совпадающие с их размерностью самоподобия. Для определения размерности реальных объектов рисуют график зависимости lnN от — ln?. Этот график изображается прямой линией, тангенс угла наклона которой даёт нам значение D.}

Рис. 14.

4.4. «Фрактальная геометрия природы».

В 1961 году вышла работа английского исследователя Л. Ричардсона (1881 — 1953), посвященная измерению длин береговых линий. Автором было установлено, что измеряемая длина побережья растёт с уменьшением масштаба измерения по законуL = А?^- (закон Ричардсона), где показатель составляет, например, для западного побережья Британии 0, 24, а для побережья Австралии — 1,13. И хотя этот закон очень напоминал формулы длин самоподобных кривых, работа Ричардсона существовала сама по себе. Имелось и некоторое количество других физических примеров, «выходящих» на самоподобные объекты. Но всё было разрознено…

Существенно изменение произошло с появлением книги французского математика Бенуа Мандельброта (работающего в США), вышедшей в 1975 году на французском и в 1977 году на английском языке. Книга собрала воедино множество этих математических и физических примеров, сделав их достоянием научного обихода. Но главной заслугой Мандельброта было то, что он придумал, как всё это называется.

Многие, вероятно, помнят, что основным вкладом Атоса в развитие событий, описанных в романе Дюма «Двадцать лет спустя», было изобретение названия операции — «Семейное дело». Этот вклад считался равноценным шпаге д’Артаньяна и деньгам Партоса. Придумать хорошее название — большая заслуга.

Для объектов дробной размерности, точнее — для объектов, фрактальная размерность которых больше их топологической размерности, Мандельброт придумал название «фрактал». Слово это происходит от латинского fraktus — дробный, изрезанный. Один весьма остроумный человек перевёл это название на русский язык словом «дробняк».

Первая книга Мандельброта называлась «Фракталы: форма, случай, размерность». Вторая, вышедшая в 1982 год, называлась уже так: «Фрактальная геометрия Природы». Это название как нельзя лучше отражает реальную ситуацию.

Фрактальными свойствами обладают многие географические объекты — океанские и морские побережья, реки, горы и горные ущелья. Границы государств, если только они следуют естественным ориентирам, а не проведены линейкой на карте и лишь потом определены на местности (как, например, граница между Египтом и Суданом), — тоже фракталы. Длина границы между Португалией и Испанией (приведенная в португальском справочнике) и длина границы между Испанией и Португалией (приведенная в испанских официальных сведениях) отличается на 20, поскольку при их измерении использованы разные масштабы. Это ещё раз подтверждает, что понятие длины для фрактальных кривых является не слишком осмысленным.

Таким образом, история изучения фрактальных систем довольно поучительна. Появившись в начале как игра ума чистых математиков, эти объекты мало интересовали естествоиспытателей. Одновременно с этим существовало некоторое количество малоприятных фактов (типа неизмеримости длины береговой линии), не слишком важных, чтобы привлечь общее внимание, и не слишком интересных, чтобы исследовать их ради них самих. Число таких фактов растёт, но они по-прежнему остаются малоинтересными и разрозненными. Но этап вопросов прошли многие теории, прежде, чем приобрести стройность и завершённость. Так что у фракталов всё впереди.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Внеклассная работа является одной из важнейших форм обучения в классах обычных, а также с углубл6енным и повышенным изучением математики. Поэтому перед методистамиматематиками в настоящее время стоят задачи помочь учителям наполнить её новым содержанием и повысить её эффективность. А так как в настоящее время происходит реформа образования (введение профильного обучения, и в связи с этим изменения программы), то эту работу нужно проводить как можно быстрее.

В данной работе были предложены материалы для проведения факультатива или курса по выбору по теме «наглядная топология». Учитель обладает широкими возможностями при рассмотрении данной темы.

Вопросы, рассматриваемые в данной работе, не полностью охватывают содержание теории топологии. Но всё же, предложенные разработки обладают рядом особенностей: они интересны, занимательны и способны увлечь учащихся. Рекомендуем учителям гимназий, лицеев, школ в классах с углубленным и повышенным изучением математики использовать их при организации внеклассной работы.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Барр Ст. Россыпи головоломок / Перевод: Ю. Н. Сударева. — М.: Мир, 1978. — 415с.

2. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения / Перевод: Ю. А. Данилова. — М.: Мир, 1971. — 511с.

3. Зборнік нарматыўных дакументаў // заснавальнік: Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь; пад рэд. Б.В.Іваноў, М.І.Ліс, Н.М.Лінькова і інш. — Мінск: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2004. — № 21(560) — С. 3- 23.

4. Лизинский В. М. Работа с одарённой молодёжью //Научно-практический журнал «Завуч» для администрации школ. — 2004. — № 7. — С. 83 — 87.

5. Соколов И. М. Фракталы // Квант. -1989, — № 5 — С. 6 — 11.

6. Тригг Ч. Задачи с изюминкой / Перевод: Ю. Н. Сударева. — М.: Мир, 1975. — 304с.

7. Яглом И. М. Четырёх красок достаточно// Природа. — 1977, № 4.

8. Белага Э. Г. Мини-геометрии, М., «Знание», 1977;

Приложение 1.

Решение головоломки.

Смешав 1/3 красной краски со всей синей, получим достаточно фиолетовой краски, чтобы покрасить 16 м². На рис. 11 показана схема раскраски.