Затухающие колебания. 
Прикладная физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

Колебания вида (4.6) длятся неопределенно долго. Реально поддерживать такие колебания можно лишь за счет внешнего источника энергии, как это и делается, например, в механических часах. Колебания системы в потенциальной яме сами по себе неизбежно затухают вследствие сил трения. Закон, по которому происходит затухание, зависит от вида силы трения. Во многих практически важных случаях обобщенная сила, ответственная за трение, пропорциональна скорости (сила, действующая на твердые тела в жидкости или в газе). В этом случае вместо уравнения (4.3) получим уравнение.

ИЛИ.

где мы положили а/ц = 2р, к/р = coj. Общий вид функции, удовлетворяющей уравнению (4.9) при (3 < ш₀, такой:

Система совершает колебания с частотой со, амплитуда которых экспоненциально убывает со временем. Эта картина имеет смысл, если система совершает достаточно много колебаний, прежде чем останавливается. Характерное время затухания колебаний равно т = 1/Р (это время, за которое амплитуда уменьшается в е раз). Число колебаний N, которое система совершает за это время, равно.

N = — = — = —— = — Q. Величина Q — — = — называется добротТ 2п л 2р л 2р о.

ностью колеблющейся системы.

Обратите внимание. Трение уменьшает частоту колебаний и увеличивает период (формула (4.10)). Необходимое условие наличия колебаний со₀ > р. Если это условие не выполняется (силы трения слишком велики), система, выведенная из положения равновесия, возвращается в него и останавливается.

Если со₀ «Р, то.

Величина S = In—— = ln (e^pr) = pT называется логарифмическим q (t + T)

декрементом затухания. При Р"ш₀

Добротность Q связана с логарифмическим декрементом формулой.

При малом затухании из формул (4.11) для частоты и периода получим.

Величины (о₀, Т₀ называются собственными частотой и периодом соответственно.

Задача 4.5. Амплитуда колебаний некоторой системы уменьшилась в к раз после п колебаний. Каков логарифмический декремент затухания системы?

Решение. Имеем:

Задача 4.6. Амплитуда колебаний математического маятника, состоящего из шарика массой т и нити длиной /, уменьшилась в два раза после п колебаний. За сколько колебаний произойдет такое же изменение амплитуды, если масса шарика станет в к раз меньше при том же размере?

Решение. Считаем, что и достаточно велико (скажем, больше двадцати), а & достаточно мало. Имеем, учитывая решение предыдущей задачи: рТ = —. Обобщенная сила, ответственная за затухание (мо- п

мент сил трения), зависит от свойств нити и размера шарика и остается той же, поэтому коэффициент, а (см. уравнение (4.9)) не изменяется, но величина р = а/2р увеличится в к раз: р, = &р. Считая, что период колебаний не изменяется и Т= Т₀ (именно поэтому предполагалось, что п велико), для нового числа колебаний получим.