Одно-кубитовые преобразования неклассических состояний света

Одно-кубитовые преобразования базисных состояний

Обсуждение квантовых протоколов начинается с рассмотрения унитарных операций на базисных состояниях кубитов. Квантовый компьютер состоит из блоков. Рассмотрим произвольное двухмерное Гильбертово пространство состояний, компьютерный базисный набор которого состоит из двух состояний and. Тогда любой кубит из этого Гильбертова пространства является линейной комбинацией базисных состояний с соответствующими волновыми амплитудами. Согласно основной теоремы квантовой информатики [65], одно-кубитовые вращения совместно с двух-кубитовыми преобразованиями такими как controlled-NOT или controlled-Z являются универсальными блоками для построения всех унитарных операций для произвольного числа кубитов (много-кубитов). Известно, что три эрмитовые матрицы Паули [35] генерируют три унитарные матрицы. которые совместно с единичной матрицей образуют базис для построения произвольной унитарной матрицы размера. Любая унитарная матрица размера преобразует начальный кубит в конечный, что соответствует некоторому повороту вектора, описывающего входной кубит на единичной сфере Блоха, как это показано на рисунке 1.4. Данные унитарные базисные матрицы определяются как экспоненциальные функции от матриц Паули.

(2.1.1).

(2.1.2).

(2.1.3).

где матрицы Паули определяются как.

(2.1.4).

(2.1.5).

(2.1.6).

и —- углы вращения вокруг соответствующих пространственных осей, и [65].

Можно показать, что следующие матрицы и, которые отвечают за повороты на угол and, соответственно, вокруг оси, и матрица (2.1.3) могут быть использованы, чтобы построить произвольное унитарное преобразование вместо унитарных матриц, , and (2.1.1−2.1.3),. Данный факт следует из следующих тождеств [65].

(2.1.7).

. (2.1.8).

Существует и другой способ выразить унитарные матрицы (2.1.1−2.1.3) с помощью преобразования Адамара (тоже самое логический элемент гейт Адамара или затвор (вентиль) Адамара (Hadamard gate)), матрицы размера, которая определяется как.

. (2.1.9).

Тогда унитарные матрицы и могут быть реализованы при помощи матрицы Адамара как.

(2.1.10).

(2.1.11).

Матрицы и (2.1.1, 2.1.2) можно построить с помощью матрицы Адамара и матриц и, используя следующие соотношения.

(2.1.12).

. (2.1.13).

Из выражений (2.1.12) и (2.1.13) следует, что произвольная унитарная матрица размера может быть построена с помощью преобразования Адамара, матрицы, которая соответствует вращению вокруг оси на произвольный угол, и в частности, матриц и, которые соответствуют поворотам вокруг этой же оси на углы и, соответственно. Существуют и другие возможности определить произвольную унитарную матрицу размера, которые в настоящем разделе уже не рассматриваются.

Итак, было показано, что произвольное унитарное одно-кубитовое преобразование (матрица) может быть построено по крайней мере тремя различными способами. Так, унитарные матрицы (2.1.1−2.1.3) могут быть использованы для построения одно-кубитовых преобразований. Другой метод основывается на использовании трех матриц, и. И третья возможность связана с матрицей с произвольным углом вращения и гейтом Адамара. Данное математическое заключение не зависит от выбора физической системы, в которой реализуется кубит. Следующий вопрос —- это вопрос выбора одной из трех возможностей реализации унитарных преобразований кубитов. Соответственно, вопрос выбора уже перестает быть чисто математическим, поскольку уже зависит от особенностей и свойств той или иной физической системы, в которой реализуются кубиты. Вопрос выбора одной из трех возможностей в той или иной физической системе уже не является тривиальной задачей. Данная проблема уже определяется взаимодействием объектов между собой и с окружающей средой рассматриваемой физической системы. В последующих разделах главы представлены методы реализации одно-кубитовых преобразований с базисными сжатыми когерентными состояниями, которые являются неклассическими. Более подробно вопросы неклассичности света разбираются в разделе 3. Но прежде чем перейти к обсуждению одно-кубитовых преобразований для данных состояний света, рассмотрим матрицу преобразования для перемещенных фотонных состояний из разных наборов базисных состояний с отличной амплитудой перемещения.