Первая задача динамики точки

Первая (прямая) задача динамики точки заключается в том, что зная массу точки m и уравнения ее движения (4):

x=x (t), y=y (t), z=z (t),.

нужно найти силу, под действием которой осуществляется данное движение.

Дифференцируя дважды уравнения движения точки по времени t определим проекции ее ускорения на оси координат:

ax, ay, az.

Умножая значения этих проекций на массу точки, найдем проекции равнодействующей, то есть.

X, Y, Z,.

где, , .

Затем определим модуль равнодействующей сил:

и ее направление по направляющим косинусам.

, .

Если в задаче ускорение точки задано, то действующая сила сразу находится по уравнениям (1) или (3).

Решение основной задачи динамики

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ость Ох, то движение точки будет определяться первым из уравнений (5), то есть уравнением.

. (7).

Уравнение (7) называют дифференциальным уравнением прямолинейного движения точки.

Иногда его удобнее заменить двумя уравнениями, содержащими первые производные:

. (8).

Решение второй (основной) задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, то есть x = f (t).

Для этого надо проинтегрировать дифференциальное уравнение второго порядка (7).

Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (7) будет проинтегрировано, то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования С1 и С2 и общее решение уравнения будет иметь вид:

(9).

Для определения постоянных С1 и С2 используются так называемые начальные условия, которые задаются в виде При t = 0, ,.

. (10).

По начальным условиям (10) можно определить конкретные значения постоянных С1 иС2 и найти частное решение уравнения (7), дающее закон движения точки, в виде.

. (11).

Поясним все сказанное на примере (см. задачу 12).

В случае криволинейного движения точки, рассмотрим решение второй задачи динамики в прямоугольной декартовой системе координат. В этом случае задача решается с помощью дифференциальных уравнений (5). Начальные условия, определяющие положение и скорость точки в начальный момент времени t = 0, задаются в виде:

При t = 0,, , ;

,. (12).

Проинтегрировав уравнения (5), находят координаты x, y, z движущейся точки, как функции времени t, т. е. определяют закон движения точки. При этом полученные решения будут содержать шесть постоянных интегрирования С1, С2,…, С6, значения которых определяют по начальным условиям (12).

Задача 12. Груз весом Р начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы, значение которой растет пропорционально времени по закону F = kt. Найти закон движения груза.

Решение. Выберем начало координат в начальном положении груза и направим ось Ох в сторону движения. Тогда начальные условия будут:

При t = 0, x = 0, .

На тело действуют силы, (сила тяжести) и (реакция плоскости). Проекции этих сил на ось Ох имеют значения, , и уравнение (8) примет вид:

.

Рис. 1.

Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dt и проинтегрируем.

.

Тогда получим,.

.

где С1 — постоянная интегрирования. Подставляя сюда начальные данные, найдем, что С1 = 0. Представим тогда полученное уравнение в виде:

.

Умножая обе части этого равенства на dt, опять разделим переменные и, интегрируя, найдем.

Подстановка начальных данных дает С2 = 0, и окончательно получаем закон движения груза в виде.

.

где .

Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубу времени.