Выбор метода интегрирования

Интегрирование системы дифференциальных уравнений (5.46) и (5.47) представляет собой весьма сложную задачу вследствие большой размерности системы. Так, например, для двух секций по 50 ступеней разделения каждая, и 10-компонентной смеси система уравнений будет включать 1100 дифференциальных уравнений, решение которых весьма трудоемко. В связи с этим желательно выбрать такой метод интегрирования, который давал бы решение за минимальное количество шагов. Известно, что метод Эйлера (см. Приложение 5) обладает наибольшей скоростью интегрирования, но в то же время дает значительную погрешность, имеющую тенденцию к накоплению её в процессе интегрирования, поэтому для сравнения с методом Эйлера были использованы методы Рунге-Кутта в двух модификациях: второго порядка

Сравнение было проведено на примере расчета простой ректификационной колонны разделения смеси метанол — этанол — вода, при этом менялся фактор релаксации Т. Результаты расчетов в виде зависимости невязки материального баланса AM от номера итерации п представлены на рис. 5.7.

Как и следовало ожидать, уменьшение параметра Т сильно убыстряет процесс решения дифференциальных уравнений. Кроме того, метод Эйлера при прочих равных условиях (в том числе и при одинаковой погрешности вычислений) оказывается быстрее метода Рунге-Кутта, что можно объяснить тем, что метод Эйлера дает значительно большую погрешность в воспроизведении переходной кривой, чем методы Рунге-Кутта. Однако в силу того, что стационарное состояние установки в данном случае единственно, все методы дают одно и то же стационарное решение, причем метод Эйлера сходится к нему быстрее.

Для дальнейшего ускорения процесса интегрирования системы дифференциальных уравнений была исследована возможность значительного увеличения шага интегрирования At. Для этого были проведены расчеты обычной ректификационной колонны разделения смеси метанол — этанол — н-пропанол, причем фактор релаксации изменялся в широких пределах, в том числе и в области отрицательных значений, что соответствует непредусмотренному методом (5.50) увеличению шага интегрирования. Результаты исследований показали, что незначительное уменьшение фактора релаксации Т ниже нуля может ускорить расчет, однако дальнейшее его уменьшение приведет к замедлению расчета или вообще к нарушению сходимости, что, очевидно, вызывается появлением автоколебательности при чрезмерном увеличении шага интегрирования.

Таким образом, разработанный релаксационный алгоритм можно записать следующим образом.

• 1. Рассчитывают новые значения концентраций на j-й ступени разделения по формуле (5.48).
• 2. Если новое значение концентраций не имеет физического смысла, то следует уменьшить шаг интегрирования либо увеличить оценку удерживающей способности, что достигается пересчетом mfi в формуле (5.50):

Рис. 5.7. Сравнение различных методов интегрирования (система метанол-этанол-вода): о — метод Эйлера, 7=0,4, раздельный расчет парожидкостного равновесия (ПЖР); + - метод Эйлера, 7=0, раздельный расчет ПЖР; Д — метод Эйлера, 7=0, совместный расчет ПЖР; • - метод Рунге-Кутга, 7=0,4, раздельный расчет Г1ЖР.

3. Производят нормирование концентраций в соответствии с учетом уравнений:

Рис. 5.8. Блок-схема расчета процесса ректификации методом релаксации

• 4. Пункты 1−3 повторяют для всех ступеней разделения (/=1,…, JV).
• 5. Проверяют соблюдение балансовых соотношений для схемы в целом: если они не выполняются, то расчеты повторяются сначала.
• 6. Если балансовые соотношения соблюдены с заданной точностью, то проверяют критерий е сходимости процесса:

Если это условие соблюдено, то расчет закончен, иначе необходимо расчет повторить.

Метод релаксации обладает очень хорошей сходимостью к решению, но требует очень большого числа итераций (обычно несколько десятков).

Блок-схема расчета ректификационной колонны методом релаксации приведена на рис. 5.8.