Нелинейно-упругие деформации твёрдых тел

В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями. Диаграмма растяжения-сжатия для такого материала в координатах «напряжение-деформация» представляется прямой линией, выходящей из начала координат.

Если для материала не применим закон Гука или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое, т. е. в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжений материала представляется явно выраженным отрезком кривой, приведенной на рисунке 1.3. В таких случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой:? = f (?).

Рисунок 1.3 — Диаграмма растяжения для нелинейно-упругого материала Допустим, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО, причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим. Теорию, устанавливающую законы деформации в таком теле, называют нелинейной теорией упругости.

Основную предпосылку нелинейной теории упругости можно сформулировать следующим образом: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела. Зависимость между напряжением и деформацией в точке для нелинейно-упругого тела в напряженном состоянии, используя понятия интенсивностей напряжения и деформации, можно представить в виде:

?_i = E'?_i, (1.9).

где E'- секущий модуль деформации первого рода, зависящий от степени деформации, т. е. E' = f (?).

Если результаты испытания на простое растяжение за пределом упругости для какого-либо материала обработаны в виде? ? ??? ???, где E — обычный модуль упругости материала, а? — некоторая аналитическая функция относительного удлинения (отличная от нуля только за пределом упругости), т. е.? ? ???), то в случае сложного напряженного состояния для этого материала применяется закон деформации в виде: ?_?? ??? ???_i, где? ? ???_i?) — функция интенсивности деформации, отличная от нуля только за пределом упругости.

Используя выражение (1.9) и зависимость.

G^? =.

можно получить уравнения для нелинейно-упругого тела:

(1.10).

где.

Уравнения (1.10) для нелинейно-упругого тела и уравнения (1.6) для линейно упругого тела можно обобщить. Тогда, используя понятия о девиаторах напряжений и деформаций, законы упругих и пластических деформаций можно сформулировать следующим образом.

Первый основной закон — закон изменения объема. При упругих и пластических, при пассивных и активных деформациях твердого тела относительное изменение объема элемента этого тела прямо пропорционально среднему напряжению, причем модуль объемной деформации остается постоянной величиной как в пределах, так и за пределами упругости:

где E — модуль упругости и? — коэффициент Пуассона, принимаемые.

постоянными независимо от масштаба деформации.

Второй основной закон — закон изменения формы при активной деформации. При упругих и пластических деформациях, соответствующих случаю простого нагружения для каждой точки тела, девиатор напряжения прямо пропорционален девиатору деформации:

где G' - модуль упругости деформации второго рода, имеющий для каждой точки изотропного тела определенное значение, зависящее от величины обобщенного напряжения для этой точки.

Третий основной закон — закон связи обобщенного напряжения с обобщенной деформацией при активном нагружении. Обобщенное напряжение, возникающее в теле при любой активной деформации, для каждого материала есть определенная функция обобщенной деформации: ?_?? ???_i??). Вид функции? зависит только от материала тела. Величина ?_i зависит только от величины ?_i и от физических свойств данного материала.