Функции тэта. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Разложение целой периодической функции.

Эллиптические функции Якоби мы представили в виде отношений целых функций о и о_л. Эти последние не имеют периода: однако, как мы увидим, путём присоединения к ним некоторых показательных факторов, можно из них получить целые функции, обладающие периодом.

Благодаря такому изменению функций о и о*, эллиптические функции Якоби представляются в виде отношений новых целых периодических функций.

Преимущество такого нового представления функций Якоби сравнительно с прежним будет заключаться в том, что вводимые вместо о и o_k периодические целые функции могут быть разложены в ряды Фурье, быстро сходящиеся.

Предварительно в этом пункте мы рассмотрим общий случай целой функции с периодом и выведем разложение Фурье для такой функции. Пусть целая функция у (г) имеет основной период 2о>, т. е.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Фиг. 101.

Построив из начала координат вектор 2<�о и две прямые АВ и CD, перпендикулярные к этому вектору и проходящие через его начало и конец, мы получим полосу периодичности функции у (г) (фиг. 101). Сторона CD получается из АВ путём преобразования z? — z— 2 со.

Выполняя над плоскостью z преобразование * = — _f

мы вместо нашей полосы получим на плоскости t полосу шириной 2тс, ограниченную действительной осью и прямой, ей параллельной.

Положим теперь Z = e*. Как известно (гл. III, § 3, п. 2), нашей полосе в плоскости Z будет соответствовать вся плоскость с разрезом вдоль положительной действительной оси, причём два берега разреза являются образами двух сторон полосы. Таким образом, полоса плоскости г, ограниченная прямыми АВ и CD, отображается на плоскости Z в разрезанную вдоль положительной действительной оси плоскость, причём точки этого разреза с одним и тем же аффиксом являются образами точек плоскости z_y связанных соотношением z' = z-{-2. В силу периодичности наша функция у (г), рассматриваемая как функиця от Z, будет иметь одинаковые значения на обоих берегах разреза, т. е. она будет однозначной аналитической функцией во всей плоскости Z, кроме точек Z = 0 и Z= оо. Поэтому мы можем для неё написать разложение Лорана, сходящееся во всякой конечной точке Z=}=0 плоскости Z, а именно:

Так как значение Z=0 выпускается функцией то последний ряд будет абсолютно сходящимся при любом г, причём сходимость будет равномерной во всякой ограниченной части плоскости г.

Таким образом, мы доказали теорему: всякая целая функция у (z) с периодом 2(о может быть представлена на всей плоскости комплексного переменного z рядом вида:

Последнее разложение можно записать в другой форме, если сгруппировать в нём члены, соответствующие значениям л, одинаковым по величине и противоположным по знаку, воспользовавшись формулами Эйлера.

Таким образом, мы получим

где