Формализация надежности в классической теории тестирования
Прежде всего, необходимо подробно рассмотреть дисперсию суммы двух некоррелированных переменных. Это очень важно, потому что в классической теории тестирования наблюдаемый тестовый балл является суммой двух переменных, а именно истинного тестового балла и ошибки, которые считаются некоррелированными. Пусть Z — это новая переменная, которая является суммой исходных переменных X и У, т. е. Z = X… Читать ещё >
Формализация надежности в классической теории тестирования (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Прежде всего, необходимо подробно рассмотреть дисперсию суммы двух некоррелированных переменных. Это очень важно, потому что в классической теории тестирования наблюдаемый тестовый балл является суммой двух переменных, а именно истинного тестового балла и ошибки, которые считаются некоррелированными.
В предыдущем параграфе было показано, что дисперсия суммы двух переменных равна.
где Сху является ковариацией двух переменных.
Корреляция является большой, когда баллы по Xсвязаны с баллами по У. Например, в случае если баллу по X выше среднего соответствует балл по У также выше среднего, и наоборот, если баллу по X ниже среднего соответствует балл по У также ниже среднего, то ковариация является большой и положительной. Если же высокому баллу по X соответствует низкий балл по У и низкому баллу, но X соответствует высокий балл по У, то корреляция будет большой и отрицательной. Если же по значению одной переменной нельзя предсказать направление изменения другой переменной, то тогда ковариация будет близка к 0, т. е. СЛТ = 0. В качестве иллюстрации в табл. 2.6 показан пример некоррелированных данных.
На основании приведенного ранее определения ковариации получаем:
Конечно, и корреляция также равна 0:
Пример некоррелированных данных.
X. | У, | (*,-*•). | (У, — У) | (X. — Х.)(У, — Y.) |
— 1. | — 3. | |||
— 2. | — 4. | |||
— 1. | — 1. | |||
— 4. | ||||
— 1. | — 1. | |||
X. -5. | У. = 5. | ?(Х,-Х.) = 0 1- 1. | о и. .-V.
| ?(Х,-Х.)(У; -У.) = 0 1−1. |
В этом случае приведенное ранее уравнение дисперсии для суммы двух переменных сводится к уравнению 
Это объясняется тем, что CXY = 0.
Необходимо подчеркнуть, что это очень важный результат: в случае некоррелированности переменных дисперсия суммы двух переменных равна сумме дисперсий этих переменных.
Пусть Z — это новая переменная, которая является суммой исходных переменных X и У, т. е. Z = X + У. В табл. 2.7 показана переменная Z, а также квадраты отклонения от средних всех трех переменных.
Таблица 2.7
Сумма двух некоррелированных переменных.
Z, = X. + У. | Z-Z. | (Z-Z.f | (X, — X.)2 | (У, ~ У)2 |
— 2. | ||||
— 4. | ||||
— 2. | ||||
Z. = 10. | ?(Z-Z.) = 0 1−1. | S (Z,-Z.)2 = 64. f-1. | ?(Xf — X.)2 = 56. i-1. | ?(У(-У.)2 = 8. i-1. |
или Таким образом, показано, что в случае некоррелированности переменных.
В общем виде это можно записать следующим образом:
