Гармонический осциллятор. 
Физика

Сделаем это на примере струны длиной /, за пределы которой частица выйти не может. Иными словами, она находится в области, ограниченной непреодолимым потенциальным уступом, которую образно называют бесконечно глубокой потенциальной ямой: при 0 < х < / потенциальная энергия частицы U = 0, а вне ямы, при х < 0 и х > О, U = °о (рис. 9.10).

В стационарных условиях справедливо уравнение (9.12), а его решение имеет вид.

Рис. 9.10.

что легко проверить его подстановкой в уравнение. Поскольку функция ц/ непрерывна, то при х = 0 и х = I она должна обращаться в нуль при подходе к границам как извне, так и изнутри ямы. Тогда из равенства (9.22) следует ц/(0) = Asin а = 0, т. е. а = 0:

Сравнивая соотношения (9.23) и (9.9), приходим к выводу, что существование частицы в струне возможно только в случае, если на ее ширине укладывается целое число полуволн де Бройля, т. е. условие (9.23) имеет ровно тот же смысл, что и для стоячих волн в струне с закрепленными концами (см. параграф 8.3). Из соотношения (9.23) следует также вывод о квантовании энергии частицы:

Иные значения энергии частицы невозможны!

При / — 0,1 м получаем для электрона АЕ «10 ³⁵п Дж =10 ¹⁶п эВ. Столь ничтожной величиной можно пренебречь, полагая, что энергия изменяется практически непрерывно, тем более для больших т. Это и является одной из основ классической физики.

Поскольку из соотношений (9.24) следует, что АЕ/Е «2/п, то с ростом п энергетические уровни сближаются, и при п —* °о квантование энергии выходит за пределы погрешностей измерений и вычислений. На основе этого и был впервые сформулирован принцип соответствия (Н. Бор, 1923 г.): при больших квантовых числах п результаты квантовой механики должны соответствовать результатам классической.

Пусть теперь / - 10 ¹⁰ м (размер порядка атомного). Здесь уже для электрона получаем АЕ -10 ^Пп Дж (-10²п эВ). Это очень большая величина, не считаться с которой нельзя. Каждому значению п соответствует своя энергия (9.24) и свой вид функции / (9.23): |/ = Asin (nn/l)x. Квадрат ее модуля ||/|² определяет плотность вероятности пребывания частицы в той или иной точке (см. рис. 9.10). Как видим, при п = 1 вероятность обнаружить электрон максимальна в центре ямы, при п = 2 — в центре каждой из ее половин и т. д., т. е. степень неопределенности координат электрона вполне поддается расчету. Поскольку интеграл от ||/|² по всему объему ямы есть вероятность обнаружить в ней электрон, то он равен единице.

Рассмотрение частицы в потенциальной яме позволяет приблизиться к анализу состояния электронов в атоме.