Исследование движения механической системы с одной степенью свободы и упругими связями

То есть, при равновесии системы (S=0, ν=0, a=0), действующие на неё силы упругости и сопротивления, будут равны. Будет также равна нулю и возмущающая сила F (t)=0.Сумма элементарных работ активных сил, в этом случае, будет равна (4.4)С учетом кинематических соотношений (1.7) и уравнения (4.4) суммаэлементарных работ внешних сил, действующих на систему, будет вычисляться по формуле (4.5)Найдем возможную работу сил инерции:(4.6)Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения: (4.7)Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду (4.8)Или (4.9)Где — приведенная масса системы. Аналогичное выражение для приведенной массы системы было получено ранее (1.9). Подставляя выражения (4.5) и (4.9) в общее уравнение динамики (4.1) получим (4.10)Разделив (4.10) на δS, получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы: (4.11)Где, , .Дифференциальное уравнение (4.11) полностью совпадает с уравнением (2.1) полученным ранее.

5.Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода.

Составим уравнение Лагранжа 2-го рода. В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 — S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид: (5.1)где T — кинетическая энергия системы; Q — обобщенная сила; S — обобщенная координата. Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8): (5.2)Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение, при котором координата S получит приращение δS, и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении. Такая сумма работ ранее вычислялась (4.5): (5.3)Из (5.3) получаем выражение для обобщенной силы: (5.4)Подставляя кинетическую энергию (5.2) и обобщенную силу (5.4) в уравнение Лагранжаполучаемили.

Где — частота собственных колебаний, — показатель степени затухания колебаний, — относительная амплитуда возмущающей силы.

6.Результаты расчетов.

Ниже представлен документ Mathcad, в котором реализована процедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а также динамических реакций внешних и внутренних связей.

1. ввод данных2. вычисление постоянных величин3. определение функций.

Кинематические соотношениязакон движения груза 1 s (t)скорость груза 1 v (t)ускорение груза 1 a (t)реакции связейсила натяжения нити Т12 сила натяжения нити Т34сила сцепления реакции опоры блока 34. результаты расчетаграфик движения груза 1графики натяжения нитейграфик силы сцепленияграфики реакций опор блока 3Выводы.

В результате решения дифференциального уравнения движения системы (1.17) при начальных условиях (1.18) определены: закон движения груза 1s=s (t), его скорость и ускорение как функции времени t: а также реакции внешних и внутренних связей: sin, Анализ результатов расчета показал, что в некоторые моменты времени натяжения нитей становятся отрицательными, а сила сцепления превышает свое предельное значение, и, следовательно, принятая математическая модель не соответствует поведению механической системы: нити провисают, тела движутся рывками, а каток 4 — с проскальзыванием.