Теорема. (Правило Крамера)

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными.

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

x_i = _i/, где.

= det A, а _i — определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов b_i.

_i =.

Пример.

A =; ₁=; ₂=; ₃= ;

x₁ = ₁/detA; x₂ = ₂/detA; x₃ = ₃/detA;

Пример. Найти решение системы уравнений:

= = 5(4 — 9) + (2 — 12) — (3 — 8) = -25 — 10 + 5 = -30;

₁ = = (28 — 48) — (42 — 32) = -20 — 10 = -30.

x₁ = ₁/ = 1;

₂ = = 5(28 — 48) — (16 — 56) = -100 + 40 = -60.

x₂ = ₂/ = 2;

₃ = = 5(32 — 42) + (16 — 56) = -50 — 40 = -90.

x₃ = ₃/ = 3.

Как видно, результат совпадает с результатом, полученным выше матричным методом.

Если система однородна, т. е. b_i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x₁ = x₂ = … = x_n = 0.

При = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

;

Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Решение произвольных систем линейных уравнений. Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.

Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

.

где a_ij — коэффициенты, а b_i — постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.

Определение. Для системы линейных уравнений матрица, А = называется матрицей системы, а матрица А^*= называется расширенной матрицей системы Определение. Если b₁, b₂, …, b_m = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.

Элементарные преобразования систем. К элементарным преобразованиям относятся:

• 1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
• 2)Перестановка уравнений местами.
• 3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.

Теорема Кронекера — Капелли (условие совместности системы).

(Леопольд Кронекер (1823−1891) немецкий математик) Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

RgA = RgA^*.

Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

• 1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т. е. переход АА^* не изменяют ранга.
• 2) Если RgA = RgA^*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов — линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:

A =.

~. RgA = 2.

A* = RgA* = 3.

Система несовместна.

Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.

А =; = 2 + 12 = 14 0; RgA = 2;

A* =.

RgA* = 2.

Система совместна. Решения: x₁ = 1; x₂ =½.

Метод Гаусса. (Карл Фридрих Гаусс (1777−1855) немецкий математик) В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.

Рассмотрим систему линейных уравнений:

Разделим обе части 1-го уравнения на a₁₁ 0, затем:

• 1) умножим на а₂₁ и вычтем из второго уравнения
• 2) умножим на а₃₁ и вычтем из третьего уравнения и т. д.

Получим:

.

где d_1j = a_1j/a₁₁, j = 2, 3, …, n+1.

d_ij = a_ij — a_i1d_1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом — для третьего и т. д. Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

А* =.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

откуда получаем: x₃ = 2; x₂ = 5; x₁ = 1.

Пример. Решить систему методом Гаусса.

Составим расширенную матрицу системы.

Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

.

откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1. Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.