Виды уравнений и методы решения

Уравнения с разделяющимися переменными

Определение 5. Дифференциальное уравнение вида.

где/,(*) и/₂{у) — непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Подчеркнем, что правая часть уравнения представляет собой произведение, в котором один сомножитель зависит только от х, а другой — только от> Метод решения такого вида уравнений носит название разделения переменных. Запишем производную .у' в ее эквивалентной форме как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной —, обе части урав;

dx.

нения (18.4) умножим на дх и поделим на/₂(у), полагая, что/₂(у) ф 0; получаем:

В этом уравнении переменная у входит только в левую часть, а переменная х — только в правую, т. е. переменные разделены. Пусть у = ф (х) является решением уравнения (18.4), тогда при подстановке этого решения в уравнение (18.5) получаем тождество: два дифференциала равны друг другу, только в правой части дифференциал выражен через независимую переменную х, а в левой части — через функцию у. Поскольку дифференциалы равны, их неопределенные интегралы различаются на постоянную величину, т. е. интегрируя слева по переменной у у а справа по переменной х, получаем:

где С — произвольная постоянная.

Рассмотрим примеры решения уравнений методом разделения переменных.

Пример 6. Найти частное решение дифференциального уравнения ху' - у = О по начальным условиям: у₀ = 4 при х₀ = -2.

Решение. Разделим переменные, для чего перенесем^ в правую часть, поделим обе части полученного уравнения на ху и умножим их на dx; получим:

Интегрируя обе части этого уравнения (правую по х. а левую — по y)_t имеем: При потенцировании получаем:

что эквивалентно уравнению у = ± Сх, или у = С, х. Полученная функция представляет семейство интегральных кривых (в нашем случае это пучок прямых). Для выделения частного решения при указанных начальных условиях подставим в эту формулу х = -4иу = 2, откуда получим значение для С: С = -½. Окончательно частное решение имеет вид:

Найти частное решение, проходящее через точку Пример 7. /=х^Д Найти частное решение, проходящее через' У

(О, 1).

Решение. Разделяя переменные, получаем уравнение в дифференциалах:

Интегрируя, имеем:

После интегрирования (интеграл в левой части берется при помощи замены переменной) имеем уравнение семейства интегральных кривых.

Выделение частного решения, проходящего через точку (0, 1), приводит к определению произвольной постоянной; C = V2, т. е. эта кривая описывается уравнением (с учетом выбора знака):