Числовые характеристики случайных величин

Основными числовыми характеристиками случайных величин являются:

• • a_s — 5-й начальный момент СВ X;
• • p_v — 5-й центральный момент СВ X.

Если X — дискретная СВ, то ее ряд распределения есть Если X — непрерывная СВ, то/(х) — ее плотность распределения. Тогда моменты СВ определяются следующим образом. Начальные моменты;

При 5 = 1 получаем.

а, = MX — математическое ожидание (МО) СВ X. Центральные моменты:

р₂ = DX — дисперсия СВ X.

Также характеристиками являются:

о_х=+J[)X — среднее квадратическое отклонение случайной величины X;

М_х — мода СВ X — наиболее вероятное значение СВ X; х_т — медиана СВ X — значение СВ, для которого Р (Х > х_т) = = Р (Х < .т,") = 0,5 (определяется для непрерывной СВ);

Sk — коэффициент асимметрии (характеристика скошенности распределения, рис. 2.13, а):

?,. — эксцесс (характеристика «крутости» распределения, рис. 2.13, 6):

Рис. 2.13. Асимметрия (а) и эксцесс (б).

Математическое ожидание и его свойства

МХ существует при абсолютной сходимости ряда Y,^X, P, (^в лис;

i.

оо кретном случае) и интеграла ^xf (x)dx (в непрерывном случае);

— оо.

МХ — вероятностное среднее случайной величины.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной равно этой постоянной: при X = С (С — const) MX = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания (МСХ = СМХ):

— для дискретной случайной величины X;

• — для непрерывной случайной величины X.
• 3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий (М (Х + У) = = MX + МУ):

— для дискретной случайной величины Х

— для непрерывной случайной величины X.

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин X и У равно произведению их математических ожиданий (MXY = MX • МУ):

— для дискретной случайной величины X;

— для непрерывной случайной величины X.

Пример. Приведем примеры СВ, для которых математическое ожидание нс существует:

• а) р, = Р (Х = 2') = 2 ‘, i- 1,2,
• б) Pi = Р (Х = (-1)'2‘) = 2″ ', г = 1,2,
• в) р, = Р (Х =(гя)²/6) = 6/(яг)², г = 1,2…

Проверьте самостоятельно, что а) —в) задают распределения вероятностей, и убедитесь, что математических ожиданий для СВ с указанными распределениями не существует.