Нормальный закон распределения случайной величины

Нормальный закон распределения характеризуется плотно Математическое ожидание СВ с нормальным законом распределения М (Х)= m, дисперсия D (X) = а.

Кривая у = f (x) имеет вид, представленный на рисунке 5.5.

Рис. 5.5 Кривая распределения СВ с нормальным законом распределения

Введем обозначение функции Ф (х) = -= _f EXP (-1²/2) dt,.

называемой функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).

С помощью этой функции вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Х на интервал (а, b) выражается простой формулой:

Для вычисления функции Лапласа используются специальные таблицы (Приложение 1).

В экономике и технике многие величины являются случайными величинами с нормальным законом распределения. Это объясняется тем, что эти величины образуются в результате суммирования многих случайных величин: Х = Ј Х_А и согласно центральной предельной теореме имеют закон распределения, близкий к нормальному.

Центральная предельная теорема.

Каковы бы ни были законы распределения отдельных случайных величин X₁, X₂,…, X_n, закон распределения их суммы Х = Ј Х_А будет близок к нормальному при увеличении числа n слагаемых случайных величин.

Теорема Муавра-Лапласа.

Пусть проводится большое число N независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события, А равно р. Тогда для оценки вероят…

Наряду с гипотезой Н0, рассматривается альтернативная (конкурирующая) гипотеза Н_ь которая противоречит Н₀. Например, если проверяется гипотеза о равенстве математического ожидания некоторому значению А, т. е. Н₀: М (Х) = А, то в качестве альтернативной гипотезы можно рассмотреть гипотезу Н₁: М (Х) ф А.

Правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу Н₀, называется критерием К. Далее необходимо выбрать подходящую величину (называемую статистикой Z критерия К), которая служит для проверки критерия с использованием выборки. Например, при проверки гипотезы, что М (Х)= А, в качестве статистики можно принять среднюю Z = (x₁ + х2+… хп)/п.

Принцип проверки статистической гипотезы. Перед анализом выборки фиксируется некоторая малая вероятность а, называемая уровнем значимости. Пусть R — множество значений статистики Z, а R^ - такое подмножество R, что при условии истинности гипотезы Н₀ вероятность попадания статистики Z В R_Kp равна а, т. е. P[ZeR_K/H₀] = а. R^ называется критической областью.

Обозначим через m значение статистики Z, вычисленное по выборке xbx^.^ наблюдений. Критерий формулируется следующим образом: отклонить гипотезу Н₀, если meR^, и принять нулевую гипотезу, если meR/R^ (рис. 5.6).

При этом возможны следующие ошибки:

• 1) ошибка первого рода — отвергнуть верную гипотезу;
• 2) ошибка второго родапринять неверную гипотезу. Критическая область R^ выбирается таким образом, чтобы минимизировать ошибки первого и второго рода.

К известным критериям относятся: t-критерий, Fкритерий, критерий Уилкоксона и т. д.

Рассмотрим случай, при котором какие-то факторы Х₁, Х₂,…, Х_п оказывают влияние на признак Y.

Например, количество выпавших осадков за сезон (X₁), средняя температура (Х2) оказывают влияние на урожай картофеля (Y) в конкретном хозяйстве.

Задача корреляционного анализа — установление степени влияния факторов на признак. Корреляционный анализ позволяет выявить неизвестные связи между факторами и признаком, установить факторы, оказывающие наибольшее влияние на изменение значений признака.