Движение чайных листочков в чашке чая

Эйнштейн [2] обратил внимание на поведение чайных листочков (чаинок) в чашке чая: при любом исходном распределении чаинок по дну чашки, круговое помешивание ложкой приводит чаинки в движение таким образом, что чаинки собираются в центре чашки. Реально в эксперименте чаинки вначале собираются в бублик, а потом стягиваются к центру по мере уменьшения скорости потока — рис. 4.

Рис. 4. Последовательность кадров (слева направо) в двух экспериментах демонстрирует изменение распределения взвешенных частиц (чаинок) при уменьшении числа Фруда

Будем моделировать движение жидкости и частиц по числу Фруда.

Здесь — ускорение свободного падения, — характерный размер системы.

Рассмотрим две гипотезы: 1) снижение скорости потока при неизменных размерах системы приводит к уменьшению числа Фруда, чем и объясняется поведение чаинок — рис. 4; 2) при помешивании в чашке образуется тороидальный вихрь, который подхватывает чаинки и стягивает их к центру [2]. Обе гипотезы были проверены в численных экспериментах и получили подтверждение — рис 5−6.

Рис. 5. Траектории частиц при двух значениях числа Фруда и линии тока вторичного течения, вычисленные по модели (18), (23) при

При моделировании по числу Фруда используем модель установившегося осесимметричного течения в цилиндрической полости, которое возбуждается через верхнюю границу аналогично рассмотренному выше течению в прямоугольной полости. Поле скорости в цилиндрической системе координат имеет в этом случае три компоненты,. На верхней границе поставим условия:

(23).

На остальных границах полости выполняется условие прилипания. Физически условия (23) реализуются при возбуждении течения плоским вращающимся диском, примыкающим к поверхности жидкости. Результаты решения задачи (18), (23) при числе Рейнольдса представлены на рис. 5 слева. Линии тока, изображенные на этом рисунке, показывают, что вторичное течение действительно образует тороидальный вихрь в полном соответствии с гипотезой Эйнштейна [2]. Траектории частиц, вычисленные с учетом сопротивления среды и силы тяжести демонстрируют сильную зависимость от числа Фруда, что качественно соответствуют экспериментальным данным, приведенным на рис. 4.

Вообще говоря, течение в чашке является турбулентным, в чем легко можно убедиться, размешав ложкой чистую воду и бросив туда кристаллы марганцовки. Для моделирования турбулентного течения в цилиндрической полости используем уравнение (18). Результат существенно зависит от способа возбуждения течения — рис. 6.

Рис. 6. Турбулентное течение в цилиндрической полости при поверхностном (вверху) и объемном (внизу) возбуждении при. Над рисунками указано время с момента начала возбуждения

Так, при возбуждении с поверхности формируется вихревое течение, похожее на тороидальный вихрь в ламинарном течении — рис. 5. При объемном же возбуждении возникает тороидальный вихрь, прижатый ко дну полости — рис. 6. Следовательно, гипотеза Эйнштейна [2] находит свое подтверждение и в случае турбулентного течения.