Гипотеза о неизвестном параметре ? в распределении Пуассона

Теоретическая задача 15.10. Для пуассоновской случайной величины на уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Н₀: X = Х₀, если альтернативная гипотеза Н_г: X = Х_х < Х₀.

Решение 1. Построим критерий отношения правдоподобия на основе уравнения Неймана — Пирсона.

Имеем п результатов наблюдений х_ь х₂, …, х_п. Построим две функции правдоподобия

Li (х).

Подставим их в неравенство ——-> К_а и прологарифмируем:

Хо 00.

После преобразования логарифма и деления неравенства на п получим.

1 п.

Х₀

откуда вследствие соотношения In—<0.

Напомним, что Мс, = Л₀, Dc, = Х₀. Статистика х асимптотически нор;

_ d ( ^ Л мальна по следствию из ЦТП, причем x-«N А,₀, — .

I п)

Следовательно,.

Если г| = ^Х _/_7°- 7п < —х_кр, то гипотеза Н₀ отклоняется, гипотеза Я,.

7^о принимается. Если г| > -х_кр, то гипотеза Н₀ принимается.

2. Построим критерий отношения правдоподобия, если точечная оценка X — х получена ММП-методом.

Найденная ММП-методом точечная оценка Х-х асимптотически нормальна.

_г Х-МЩ

Статистика ц = — асимптотически распределена по стандарт;

7 DM.

ному нормальному закону.

Предполагая, что X = Х₀, найдем М (Х) и D (X):

С уровнем значимости а мы отклоняем гипотезу Н₀, если справед-.

А. —.

ливо утверждение Р{г) < -х_кр} = а, т. е. если г| = —у=^-/п <-х_кр, то Н₀

лАо.

отклоняется, Н₁ принимается. Если г) > -х_кр, то гипотеза Н₀ принимается.

Значение х_кр определяется из равенства Ф₀(х_Кр) = — оси

Замечание 15.4. Обычно при работе со случайной величиной и построении гипотез предварительная точечная оценка уже имеется, поэтому в дальнейшем мы будем использовать факт наличия оценки, сделанной ММП-методом.

Пример 15.5. Число фиксируемых нарушений правил дорожного движения на 100 автомобилей при проезде перекрестка с интенсивным движением составляет в среднем 36 событий (генеральное среднее) и распределено по закону Пуассона. При каком числе нарушений в расчете на 100 автомобилей можно говорить с надежностью 99% о большем внимании со стороны водителей к правилам дорожного движения, если после выставления на перекрестке информационных щитов был проведен рейд по выявлению нарушений при проезде перекрестка 100 случайно выбранными автомобилями?

Решение. Нулевая гипотеза Н₀: X = Х₀ = 36. Альтернативная гипотеза Ну X < 36.

X — г~ 1.

Условие отклонения гипотезы Н₀: q = —==2-Vn < -х_кр, где Ф₀(х_кр) = — а.

tJXq 2.

Здесь А.₀ = 36, п = 100, х = 2,33. Имеем

Гипотеза Н₀ отклоняется при х < 34, т. е. с вероятностью 0,99 можно говорить об улучшении отношения к соблюдению правил дорожного движения при числе нарушений, не превышающем 34 на 100 автомобилей.