Численные методы решения нелинейных уравнений. 
Комбинированный метод

Комбинированный метод.

Комбинированный метод — метод уточнения корней нелинейных (алгебраических или трансцендентных) уравнений. Представляет собой одновременное использование метода хорд и метода Ньютона (метода касательных). За счёт того что интервал в котором находиться корень сокращается одновременно с двух сторон, метод является достаточно эффективным.

Для того чтобы научиться применять комбинированный метод необходимо уметь:

• — отделять корни (находить интервалы в которых существует единственный корень);
• — пользоваться методом хорд;
• — пользоваться методом касательных.

Рис. Графическое изображение применения комбинированного метода

Теоретическая часть.

Пусть дана некоторая функция f (x)=0 и найден некоторый интервал [a, b], в котором существует только один из корней уравнения. (f (a)f (b)<0;).

f'(x) и f" (x) сохраняют знак на исследуемом отрезке. Если на интервале знаки изменяются, нужно сократить интервал путём половинного деления. Для удобства предположим что найденный интервал удовлетворяет следующим условиям: f'(x)>0, f" (x)>0, x ?[a, b].

Используя метод хорд и метод Ньютона находим одновременно значения по недостатку и по избытку корня о, применяя формулы:

; (1).

; (2).

За мы выбираем отрицательную границу интервала, за — положительную.

После применения формул интервал сократится с обеих сторон и будет иметь вид [ ].

Таким образом, сокращаем до тех пор, пока не достигнем необходимой точности е. Проверить это можно по формуле: е.

В итоге за приблизительное значение корня можно взять:

Практическая часть.

В качестве примера рассмотрим уравнение f (x) и найдём приближенное значение одного из его корней.

Найдём интервал внутри которого есть корень:

[0;2] - найденный интервал.

Половинным делением сократим интервал:

f (1)=-0.6; => [1;2].

Примем за, за = 2. Тогда применяя формулы (1) и (2) получим:

n.
1,96 774 194.	1,175 195 407.	1,198 698 185.	1,19 999 652.
1,490 909 091.	1,257 385 884.	1,202 864 935.	1,200 007 639.

Уже при первых 4 шагах видно, что корень уравнения в этом интервале ~1,2.

Подставим это значение в уравнение и убедимся:

Этот результат демонстрирует эффективность комбинированного метода.