Понятие корреляционной функции случайного процесса

Корреляционной функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rx(t1, t2), которая для каждой пары произвольно выбранных значений аргументов (моментов времени) t1 и t2 равна математическому ожиданию произведения двух случайных величин X (t1) и X (t2) соответствующих сечений случайного процесса:

Корреляционная функция:

Для действительного случайного процесса они определяются следующим образом:

mо (t)=M[о (t)]=,.

Kо (t1, t2)= M[о (t1); о (t2)]= ,.

Rо (t1, t2)= M[(о (t1) — mо (t1)) *(о (t2) — mо (t2))],.

*d d,.

()= Rо (t1, t2)+ mо (t1) mо (t2),.

Из анализа выражений видно, что ковариационная отличается от ковариационной только наличием детерминированного слагаемого.

mо (t1) mо (t2) — для произвольных моментов t.

: то корреляционная и ковариационная функции совпадают.

Поэтому ковариационная по сравнению с корреляционной содержит только дополнительную информацию о математическом ожидании случайного процесса.

Метод наименьших квадратов

Функция правдоподобия.

Каждое из значенийназывается выборочным, а их совокупность выборка.

Определение:

Совместное распределение выборочных значенийфункция правдоподобия выборки. Выборкамногомерная случайная величина (случайный вектор) которая характеризуется некоторым распределением вероятностных функция правдоподобия.

Метод максимума функции правдоподобия:

Так как ошибки измерений распределены по нормальному закону, то функция правдоподобия имеет вид:

.

Нужно подобрать такие значения параметра «a» которые обеспечивают максимум этой функции.

Максимум функции правдоподобия равносилен минимуму квадратичной формы.

,.

так как это квадратичная форма, то нужно только воспользоваться условием необходимого существования экстремума функции.

— система линейных алгебраических уравнений (система нормальных уравнений).

Так как число измерений больше чем неизвестных параметров то система имеет, по крайней мере, одно решение.

— информационная матрица метода наименьших квадратов.

.

Если определение этой матрицы 0 значит, она невырожденная система и имеет одно единственное решение.

умножим на.

.

— система условных уравнений, которая определяет оценку параметра по методу наименьших квадратов.

— формула метода наименьших квадратов.

Выбросы случайной функции

Выбросом случайного процесса называют превышение реализацией этого процесса некоторого определённого уровня. Рассмотрим процесс X(t). На рисунке приведена реализация x(t) случайного процесса X(t), пересекающая фиксированный уровень C.

Если рассматриваются только положительные выбросы, то величину И называют длительностью интервалов между выбросами.

Знание статистических характеристик выбросов случайных процессов необходимо при решении многих практических задач.

Среднее число выбросов определяется по формуле:

.

Вероятность того, что будет 0 выбросов.

.

Вероятность того, что будет 1 выброс.

.

Вероятность того, что будет 2 выброса.

.