Распределение больцмана. 
Физика. 
Тепловые процессы

В отсутствие внешних сил в состоянии равновесия средняя концентрация молекул постоянна во всем объёме. Если молекулы находятся в силовом поле, то равновесие устанавливается в результате как действия поля, так и теплового движения. В этом случае концентрация молекул будет зависеть от координат.

Барометрическая формула

Атмосфера Земли находится в поле земного тяготения, поэтому концентрация, плотность, давление зависят от высоты. Известно, что с высотой давление падает. Этот факт используется для измерения высоты с помощью барометра как в геодезии, так и в авиации. Кроме высоты, на атмосферное давление влияет и температура воздуха. Но обычно вдали от поверхности Земли разность температур Л/ < 1 °C при изменении высоты Ah ~ 100 м, поэтому будем считать атмосферную температуру постоянной. Кроме того, при выводе зависимости давления от высоты полагаем, что газ находится в устойчивом механическом равновесии (отсутствуют потоки воздуха между его слоями).

Рис. 3.1. Столб воздуха высотой Ah, массой М =р SAh.

Итак, выделим из слоя воздуха столб высотой Ah и площадью сечения S

(рис. 3.1). Так как в объёме SAh находится AN молекул с общей массой Л/, то действующая на них сила тяжести будет создавать дополнительное давление на нижнее сечение. Разность давлений в верхнем и нижнем сечениях равна.

где М = р^ДЛ — масса столба воздуха; р — плотность.

Уравнение (3.1) сводится к зависимости.

Воздух при нормальных условиях можно считать идеальным газом, поэтому для него справедливо уравнение Менделеева—Клапейрона.

которое преобразуем в зависимость между плотностью р и давлением р:

Из (3.2) и (3.4) следует:

или в дифференциальной форме.

и ^RT

где Н_п =- имеет размерность длины и, кроме того, является no;

HS.

стоянной величиной (ускорение свободного падения уменьшается на 0,1 м/с² на высоте около 30 км от поверхности Земли). Для получения аналитической зависимости р от И интегрируем уравнение (3.5).

или.

Зависимость (3.6) называется барометрической формулой. Эту формулу можно записать иначе, если заменить постоянную Я₀:

Здесь р₀ — давление при h — 0.

Согласно молекулярно-кинетической теории давление газа прямо пропорционально концентрации его молекул: р — пкТ Тогда при неизменной температуре зависимость концентрации от высоты имеет вид, аналогичный (3.7):

Здесь были использованы равенства

где к — постоянная Больцмана; т₀ — масса молекулы; N_A — число частиц в одном моле газа (число Авогадро).

Рис. 3.2. Распределение Больцмана.

Таким образом, давление газа (или концентрация молекул) с высотой уменьшается.

Можно ожидать, что молекулы лёгких газов Pj будут обнаруживаться на ббльших высотах, чем молекулы тяжёлых газов р₂ (рис. 3.2).

Применим полученные результаты для анализа атмосфер планет. В табл. 3.1 представлены сравнительные характеристики гравитации и атмосферы планет земной группы (данные для атмосфер планет получены космическими аппаратами).

Таблица 3.1

Из табл. 3.1 видно, что гравитационное поле Меркурия и Марса не в состоянии удержать плотную атмосферу. Атмосфера Меркурия нс является атмосферой в обычном смысле, се составляют частицы, захваченные из солнечного ветра.

Атмосферы Венеры и Марса состоят преимущественно из углекислого газа. Несмотря на малое процентное содержание, азота в атмосфере Венеры содержится больше, чем в атмосфере Земли:!, 68−10¹⁹ кг > 4,06* 10¹⁸ кг. На высотах 40—60 км находится толстый облачный слой.

Приведем полученный с помощью барометрической формулы (3.7) расчёт изменения с высотой процентного содержания основных компонентов атмосферы Венеры: углекислого газа и азота. Высотные профили температуры измерены космическим аппаратом «Венера Экспресс» (табл. 3.2).

Таблица 3.2

С увеличением высоты происходит уменьшение парциальных давлений как углекислого газа, так и азота, но изменяется их доля в общем атмосферном давлении. Как видно из представленных результатов, между 40 и 50 км атмосферное давление на Венере принимает значения, сравнимые с атмосферным давлением на Земле. По данным измерений атмосферы Венеры космическими аппаратами, давление 101 кПа достигается на высоте около 50 км от поверхности, что отличается от расчётных значений. Вместе с тем распределение Больцмана и барометрическая формула получены для случая механического равновесия изолированной системы. Это обстоятельство, а также присутствие облачности на этих высотах объясняет различие расчётных и измеренных значений.