Понятие кратного корня

Если кривая касается оси абсцисс, то в этой точке уравнение имеет двукратный корень (например, уравнение x3 — 3x + 2 = 0 имеет три корня: x1 = -2; x2 = x3 = 1).

Если же уравнение имеет трехкратный действительный корень, то в месте касания с осью х кривая y = f (x) имеет точку перегиба (например, уравнение x3 — 3×2 + 3x — 1 = 0 имеет корень x1 = x2 = x3 = 1).

Методы уточнения корней простой итерации

Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть дано уравнение f (x) = 0, где f (x) — непрерывная функция, и требуется определить ее вещественные корни. Для этого заменяют исходное уравнение равносильным:

x = (x).

Выбрав приближенное значение корня x0 подставляют его в правую часть этого уравнения.

Тогда получают:

x1 = (x0).

После этого процесс продолжают:

x2 = (x1) … xn = (xn-1).

Если эта последовательность — сходящаяся, т. е. существует предел, то, переходя к пределу в выражении xn = (xn-1) и предполагая функцию (x) непрерывной, можно найти:

Или.

= ().

Таким образом, предел является корнем уравнения и может быть вычислен по приведенной формуле с любой степенью точности.

На приведенных рисунках процесс итерации сходится (кривая y = (x) в окрестности корня — пологая, т. е. '(x) < 1).

(x)=f (x)+x,.

где :

если f '(x)>0, то -1/r<<0; если f '(x)>0, где r=max (| f '(a)|, |f '(b)|).

Однако если рассмотреть случай, где '(x) > 1, то процесс итерации может быть расходящимся.

Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.