Исследования. 
Подземная гидромеханика

Исследование одномерных течений

Задача исследования

Задача исследования установившегося фильтрационного потока заключается в определении дебита (расхода), давления, градиента давления и скорости фильтрации в любой точке потока, а также в установлении закона движения частиц жидкости (или газа) вдоль их траекторий и в определении средневзвешенного по объёму порового пространства пластового давления.

Общее дифференциальное уравнение

При условии вытеснения флюида из пласта или его нагнетания в пласт через галерею или скважину условимся принимать за координату произвольной точки пласта расстояние r до этой точки:

от галереи (для прямолинейнопараллельного потока);

от центра контура скважины в основной плоскости (плоскости подошвы пласта) фильтрации (для плоскорадиального потока);

от центра полусферического забоя скважины (для сферически-радиального потока).

В случае одномерного потока пласт представляется укрупнённой трубкой тока. Из условия неразрывности потока (уравнение 2.3) следует, что при установившейся одномерной фильтрации массовый расход G через все изобарические (эквипотенциальные) поверхности, определяемые уравнением r=const, в трубке тока будет один и тот же. Таким образом.

u= G /F (r), (3.2).

где F=F® — площадь эквипотенциальной поверхности в функции координаты r. Отметим, в данном случае средняя скорость фильтрации на некоторой эквипотенциальной поверхности совпадает со скоростью фильтрации в любой точке этой поверхности.

Определим величину площади F для различных видов одномерных потоков:

• · прямолинейно-параллельный поток — F (r) =Bh;
• · плоскорадиальный поток — F (r) =2 h r;
• · радиально-сферический поток — F (r) = 2 r2.

Обратившись к уравнению (2.7) следует отметить, что положительный массовый дебит будет в тех случаях, когда r отсчитывается от стока, то есть галерея или скважина — эксплуатационная. Приравнивая правые части (2.7) и (3.2), получаем общее дифференциальное уравнение трех простейших видов потенциального одномерного потока:

(3.3).

где, А и j имеют следующие значения:

• · прямолинейно-параллельный поток — A = Bh, j = 0;
• · плоскорадиальный поток — A = 2 h, j = 1;
• · радиально-сферический поток — A = 2, j = 2.

Параметр j получил название показателя формы потока, так как характеризует вид одномерного течения.

Разделив в (3.3) переменные и проинтегрировав, получим:

(3.4).

где С — произвольная постоянная, определяемая из граничных условий.

Из формулы (3.4) следует, что она верна при значениях j=0;2. При j=1 (плоскорадиальный поток) интегрирование (3.3) даёт.

. (3.5).

Найдем единственное решение, соответствующее заданным граничным условиям, т. е. определим постоянную С. Наиболее часто представляются следующие два варианта задачи:

Известны постоянный массовый дебит G и значение потенциала на одной из граничных поверхностей рассматриваемой области пласта, например, на питающем контуре (пластовое значение потенциала) эксплуатационной галереи или скважины (G=G0 = const, = k при r=rk).

Подставляя данные значения в (3.4), получаем:

. (3.6).

Для замыкания данного уравнения необходимо соотношение для массового дебита G = G0 = const.

2. Известны: значения потенциалов на двух граничных поверхностях пласта, например, на забое скважины и на границе пласта с областью питания (на контуре питания). Таким образом, = с при r = rc; = k при r = rk. Подставляя в равенство (3.4) один раз значения rk и k, а другой раз значения с и rc, и исключая из двух полученных уравнений постоянную С, найдём массовый дебит G :

(3.7).

где значения, А и j приведены выше.

Исключая из (3.6) величину G/A, при помощи формулы (3.7) получаем:

(3.8).

где .

По (3.8) можно определить значение потенциала для любой точки пласта с координатой r, если дебит неизвестен.

В случае плоскорадиального потока (j = 1) соответственно рассмотренным выше двум вариантам задачи и поставленным граничным условиям получим равенства:

(3.9).

(3.10).

Таким образом, формулы (3.9), (3.10) действительны только для плоскорадиального потенциального потока любой жидкости. Для других видов одномерного движения имеем формулы (3.7), (3.8). Распределение градиента потенциала описывается зависимостью (3.3).