Корреляционное отношение и индекс корреляции

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий:

где — общая дисперсия переменной.

— средняя групповых дисперсий, или остаточная дисперсия.

— межгрупповая дисперсия.

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X. Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Величина.

получила название эмпирического корреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной Y оказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше. Величина, называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y:

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки n).

• 1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу: 0 << 1.
• 2. Если = 0, то корреляционная связь отсутствует.
• 3. Если = 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4.? т. е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую — зависимой.

где дисперсии и определяются по формулам (1.54)—(1.56), в которых групповые средние у заменены условными средними у, вычисленными по уравнению регрессии (1.16).

Подобно вводится и индекс корреляции X по Y:

Достоинством рассмотренных показателей и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом:

Покажем, что в случае линейной модели (1.3), т. е. зависимости, индекс корреляции равен коэффициенту корреляции r (по абсолютной величине): (или.

Проверка значимости корреляционного отношения основана на том, что статистика.

(где m — число интервалов по группировочному признаку) имеет F-распределение Фишера—Снедекора с = m-1 и = n-m степенями свободы. Поэтому значимо отличается от нуля, если F >, где — табличное значение F-критерия на уровне значимости при числе степеней свободы = m-1 и = n-m.

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики.

больше табличного, где.