Моделирование случайных событий

Получение равномерно распределенных случайных чисел

При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. В качестве базового процесса примем последовательность случайных чисел {xi} = x1, x2, …, xn, представляющих собой реализации независимых, равномерно распределенных на интервале (0;1) случайных величин {ri} = r1, r2, …, rn.

Непрерывная случайная величина R имеет равномерное распределение на интервале (a; b), если ее функции плотности вероятности (рис. 2, а) и распределения (рис. 2, б) задаются следующим образом:

.

Легко можно вычислить, что.

а.

.

В частном случае, когда a = 0 и b = 1, имеем равномерно распределенную на интервале (0;1) случайную величину, для которой математическое ожидание М (X)=½, а дисперсия D (X) = 1/12.

От последовательности случайных чисел, равномерно распределенных в интервале (0;1), нетрудно перейти к последовательности случайных чисел с произвольным заданным законом распределения.

Пример 2. Получение равномерно распределенной в интервале (0;1) случайной величины X может быть осуществлено следующим алгоритмом:

xi+1 = {? • xi},.

x0 = 0.1.

Знак {} означает, что берется дробная часть произведения. Вычисления дают такую последовательность: x0 = 0.1, x1 = 0.415 926, x2 = 0.667, x3 = 0.54 422, x4 = 0.97 175, x5 = 0.28 426 и т. д.

К настоящему времени разработано множество алгоритмов получения псевдослучайных чисел. Наиболее популярным для получения псевдослучайных чисел x1, x2,…, xn является метод вычетов (мультипликативный датчик), который можно записать в следующей форме:

xi+1 ={M • xi}, x0 = 2? m,.

где M? достаточно большое целое число, фигурные скобки обозначают дробную часть, а m? число двоичных разрядов в мантиссе чисел в ЭВМ. Методы выбора значений M, x0 и m разнятся для разных вариантов реализаций данного метода (это своя собственная «наука») и определяют основные свойства датчика случайных чисел (соответствие статистическим критериям, длину периода повторения последовательности и т. п.).