Параметрический анализ решений

Перейдем к основной задаче. Пусть е_к * 0, t_k +°о строго возрастая. Тогда задача Коши.

равносильна.

где te (г_л_|,/"), причем при переходе через t-t_n функции x (t) и x (t) остаются непрерывными, a x (t) испытывает скачок величины е_п/^т Здесь.

Теорема. Пусть в задаче Коши (4).

Возможны только два случая.

Первый случай, когда период скачков Д равен периоду свободных колебаний 2л/а)₀ или кратен ему, т. е. Д = /)2л/со₀ при некотором ре N . Тогда при И = 0 (следовательно, со₀ = -JcJm) имеем:

Прокомментируем полученные результаты:

1) поскольку в (2.6) амплитуда ?₀л/с —> (c)© с ростом я, то мы называем этот режим «резонансом», точнее: на каждом ;

колебания гармонические, но в целом (при / -> (c)(c)) jc (/) не ограничена за счет множителя е₀п/с.

• 2) в (2.7) при больших я ехр (-А/) = 0 (I), ехр (-АДя) = 0 (I), ехр (-А*) = 0(1), поэтому на каждом (/"_, t_H) устанавливаются (почти) гармонические колебания, но в целом (при / -«(c)(c)) x{t) не ограничена за счет аддитивного е₀я/с.
• 3) из-за аддитивного ?₀ я/с и мультипликативного sin (/ico₀A/2) в (2.8) мы называем этот режим „не ограниченными биениями“, точнее: на каждом (/"_,/») — колебания гармонические, но в целом (при t —" (c)(c)) х (/) имеет неограниченные биения.
• 4) в (2.9) при больших я ехр (-А/) = 0 (1), ехр (-АДя) = 0 (1), ехр (-А*) = 0(I), поэтому на каждом (/"_,/") — устанавливаются (почти) гармонические колебания, но в целом (при / —"<�") дг (/) не ограничена за счет аддитивного е₀я/с.
• 5) сравнивая (2.6) и (2.7), а также (2.8) и (2.9), мы видим, как «работает» Демпфирование биообъекта: в первом случае оно «зануляет» первые два слагаемых в (2.6) (при / —> (c)о) и снимает в (2.6) второе п, но не смогло снять первое п. В итоге x{t) осталась неограниченной функцией, но не за счет мультипликативного ?₀я/с [1 —cosflJ₀(/-/₀)], а за счет аддитивного г₀п/с, Во втором случае Демпфирование 1 > 0 «зануляст» первые два слагаемых (при / -> (c)о) в (2.8) и убирает биения (сглаживает их до почти гармонических колебаний). В итоге х (/) осталась неограниченной за счет того же аддитивного е₀я/с.
• 6) дифференцируя уравнение в (2.5) один раз по t или два раза по / и добавляя каждый раз начальные условия x (f_Wffv) = а₀ и x (t_Has) = х, (t_HaH < /"), мы получим еше две теоремы для обобщенных

• (в пространстве D') задач Коши с правыми частями
• •foo

^e₀5'(/-/*) соответственно. Первая из них, по существу, рассмот;

к=0.

рена в 63, но в самом конце на стр. 239 утверждение ошибочно:

при, а > 0 и exp (iiat) * I биения не возникают.