Групповая скорость плоских волн

Плоская монохроматическая волна — это идеализация реального процесса протекающего в природе. Известно, что информация передается модулированным колебанием, которое имеет узкий спектр, располагающийся вблизи некоторой центральной частоты. Такой сигнал можно заменить монохроматической плоской волной, амплитуда которой изменяется по определенному закону. Скорость перемещения максимума амплитуды этой волны и называют групповой скоростью.

Возьмем немонохроматический сигнал Е (t) e-iz. Тогда, используя преобразование Фурье, его можно представить в виде конечного или бесконечного числа гармоник с амплитудой G (), то есть в виде ряда или интеграла Фурье. Будем считать спектр сигнала непрерывным и запишем его в виде интеграла Фурье.

(3.30).

Сигнал считаем узкополосным, то есть Дщmax/щ 0 << 1, где Дщmax — максимальное отклонение по круговой частоте от центральной щ0. Воспользуемся этим свойством сигнала для того, чтобы представить его в виде гармонического колебания с несущей круговой частотой щ0. Для этого волновое число в разложим в ряд Тейлора вблизи несущей. Учитывая то, что отклонение частоты от центральной невелико, в ряду удержим лишь первые два слагаемые.

(3.31).

где введено обозначение.

(3.32).

Перепишем экспоненту в выражении (3.30) с учетом введенных обозначений.

Подставим полученное для экспоненты выражение в (3.30).

Последний сомножитель от щ не зависит и его можно вынести за знак интеграла.

Итак, негармонический сигнал представлен в виде гармонического с круговой частотой щ0 и волновым числом 0 (последний сомножитель в виде экспоненты). Амплитуда сигнала изменяется во времени и пространстве в соответствии с выражением в квадратных скобках.

.

Амплитуда не зависит от времени, если z = vгрt. Следовательно, весь сигнал распространяется вдоль оси z со скоростью vгр, которая определена выражением (3.32). Иногда, например, в металлическом волноводе в выражении для плоской волны (3.9) роль волнового числа в выполняет другая величина, продольное волновое число h, которое заменяет в. В таком случае групповая скорость по-прежнему определяется через производную от этой величины по круговой частоте.