Вопросы и задания для повторения

• 1. Что изучает наука математическая статистика?
• 2. Какие характеристики называются выборочными?
• 3. Что называется статистической точечной оценкой?
• 4. Каким требованиям должны удовлетворять точечные оценки?
• 5. Привести и обосновать примеры несмещенных и смещенных оценок.
• 6. Привести и обосновать примеры состоятельных и несостоятельных оценок.
• 7. Сформулировать теорему Слуцкого.
• 8. Сформулировать теорему Гливенко — Кантелли.
• 9. Сформулировать теорему Рао — Фреше — Крамера.
• 10. Какая оценка называется эффективной? Ассимптотически эффективной?
• 11. Какая оценка называется асимптотически нормальной?
• 12. Дать определение информационной энтропии.
• 13. Привести свойства информационной энтропии.
• 14. На каком распределении достигается минимум информации Фишера?
• 15. С какими весами следует брать наблюдения при неравноточных измерениях?
• 16. Чему равна дисперсия оценки при обработке неравноточных наблюдений?

Примеры решения задач

Задача 11.1. Доказать, что относительная частота успеха в качестве оценки неизвестной вероятности р в схеме испытаний Бернулли является эффективной оценкой.

n

I*,;

Решение. Обозначим относительную частоту успеха —— через 0,.

п

вероятность р — через 0. Здесь.

Вспомним, что МЪ,-р, DL, = р (1 -р). Найдем МО:

П.

Следовательно, точечная оценка 0 = —— вероятности р не смещена.

п

Обратимся к дисперсии выборочной характеристики:

Найдем информацию Фишера /(0) в i-м наблюдении. Для распределения Бернулли дискретная случайная величина, принимая только два разных значения ?, - 1 или 4−0. имеет вероятности Р (?, = 1, 0) = р = 0, Р (4 = 0, 0) = q = lp = l-0.

Поэтому.

Сравнивая D0 = —— и-=-, убеждаемся в эффективности оценки. ^{п П}Я6) п ^

Задача 11.2. Для оценивания параметра 0 = — распределения Лапласа.

X

А 1 «.

используется оценка 0_П =—У |х,-1. Проверить ее эффективность. пы 1.

Решение. В плотности распределения Лапласа перейдем к перемен;

— о 1.

ной 0 = —:

X

Оценка не смещена.

3. Делая последовательно преобразования, найдем информацию Фишера:

_A Q2 J.

Сравниваем дисперсию точечной оценки D0=— с величиной-=.

п п/(0).

1 G²

=-=—. Равенство выражений указывает на эффективность п-1/0² п

оценки.

Условия 1—4 теоремы 11.3 являются существенными. При невыполнении, например, условия 1 дисперсия с ростом п может убывать быстрее, чем —.

п

Задача 11.3. Для оценивания параметра о² нормального распределения N (a, ст²) используется оценка S². Проверить ее эффективность и асимптотическую эффективность, если DS% - .

п-1.

Решение. Обозначим а² = 0.

1. M (S²) = g² s0. Оценка не смещена.

л 2ст⁴ 20²

2. D (S²)=-=-по условию.

п-1 п—1.

3. Найдем информацию Фишера о дисперсии в нормальном распределении, для чего прологарифмируем функцию плотности нормаль;

I Сг-д)²

ного распределения р*(х,0)= —е 2е и найдем производную.

12п ()

по параметру 0:

Информация Фишера.

х—а.

Введем обозначение ?,=—=—N (0,1). Тогда V О.

так как центральный момент второго порядка р₂⁼^;²=ст² = 1 ^есть дисперсия, а центральный момент четвертого порядка для случайной величины ?, легко находится из известного рекуррентного соотношения Р/с =0с—l)c7?Pfc-2> В котором р_к_₂ = 0? =1.

Для информации Фишера одиночного наблюдения получаем Д9)=Д-.

20²

Сравнение выборочной дисперсии D0 с величиной ^ :

указывает на неэффективную оценку.

Если переписать неравенство Pao ВО> в виде ВО-п7(0)>1, это приводит нас к соотношению.

Очевидно, что при п —" °о дробь ——>1, что означает асимптотиче;

п-1.

скую эффективность несмещенной оценки дисперсии.

Задача 11.4. Найти информационную энтропию если.

где к > 0.

Решение. Информационная энтропия находится из интеграла:

Задача 11.5. При контрольном взвешивании фасуемой по 100 г продукции одним контролером установлен средний вес одной расфасовки d_l = 98,5 г при п₁ = 10 измерениях. При п₂ = 15 измерениях другим контролером на равноточных весах установлен средний вес d₂ = 100,2 г. Определить наиболее точную оценку расфасовки по измерениям двумя контролерами и указать точность измерения, если класс точности весов 2,5.

Решение. Наиболее точная оценка при равноточных измерениях равна.

Дисперсия оценки.

со средним квадратическим отклонением Vd6 =—.

Точность обоих измерительных весов при одном взвешивании составляет—100% =2,5%, где Зо — погрешность взвешивания.

?^тах Тогда точность оценки при 25 измерениях равна.

О 5%.

что составляет 99,52 —-«0,50 г.

100%.

Следовательно, продукция расфасована без отклонения от номинала: 99,52 ± 0,50 г. Другими словами, отклонения от веса расфасовки в 100 г в пределах точности измерений не обнаружены: [99,02 г; 100,02 г].