Геометрические характеристики плоских сечений

При деформации кручения и изгиба прочность деталей зависит не только от площади поперечного сечения, но и от его формы. Поэтому в дальнейшем мы будем встречаться с некоторыми геометрическими характеристиками — моментами инерции и моментами сопротивления.

Момент инерции. Различают полярные и осевые моменты инерции.

Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до некоторой точки сечения (рис. 56, а). Полярный момент инерции рассчитывается по формуле.

где dF — элементарная площадка;

р — расстояние от точки О до элементарной площадки.

Единица измерения полярного момента:

Для расчётов практический интерес представляет полярный момент инерции относительно центра тяжести сечения.

Для круга величина полярного момента инерции определяется по формуле.

Для кольца полярный момент инерции (рис. 56, 6) равен.

где d_h — наружный диаметр кольца;

d_t- внутренний диаметр кольца.

Рис. 56. Момент инерции сечения: а — расчет полярного момента инерции, б — момент инерции кольца; в — расчет осевого момента инерции.

Приближённое значение момента инерции кольца равно.

Осевым моментом инерции с е ч е н и я относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояний до этой оси. Относительно осей х и у (рис. 56, в) осевые моменты инерции рассчитываются по формулам:

Величина осевого момента инерции является характеристикой способности бруса сопротивляться деформации изгиба. Осевой момент инерции — величина всегда положительная и не равная нулю.

В практических расчётах наибольший интерес представляют моменты инерции относительно главных осей, проходящих через центр тяжести сечения.

Для прямоугольного сечения (рис. 57, а) осевой момент инерции определяется по формуле

Для круга (рис. 57, б) моменты инерции относительно любых осей, проходящих через его центр, равны между собой, то есть.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

поэтому Откуда

Рис. 57. Осевой момент инерции: а — прямоугольного сечения; б — круглого сечения.

Для кольцевого сечения (см. рис. 56, б):

Отношение полярного момента инерции /_р к радиусу сечения г называется моментом сопротивления кручению W^, то есть.

Определим момент сопротивления для круга и кольцевого сечений.

1. Круг диаметром d:

2. Кольцо с наружным d_H и внутренним d, диаметрами.