Кубическая аппроксимация. 
Минимизация функций одной переменной

В соответствии с рассматриваемым методом минимизируемая функция f аппроксимируется полиномом третьего порядка. Логическая схема метода аналогична схеме методов с использованием квадратичной аппроксимации. Однако в данном случае построение аппроксимирующего полинома проводится на основе меньшего количества точек, поскольку в каждой точке можно вычислять как значение функции, так и ее производной.

Работа алгоритма начинается в точке x₁, задаваемой пользователем, а затем находится другая точка x₂, такая, что производные f'(x₁) и f'(x₂) имеют разные знаки. Это означает, что стационарная точка x*, в которой f'(x*)=0, будет лежать в интервале между выбранными точками x₁ и x₂.

Аппроксимирующая кубическая функция записывается в виде:

f_a(x)=a₀+a₁(x-x₁)+a₂(x-x₁)(x-x₂)+ a₃(x-x₁)²(x-x₂). (1.25).

Параметры уравнения (1.25) подбираются таким образом, чтобы значения f_a(x) и ее производной в точках x₁ и x₂ совпадали со значениями f (x) и f'(x) в этих точках. Первая производная f_a(x) равна.

f_a'(x)=a₁+a₂(x-x₁)+a₂(x-x₂)(x-x₂)+a₃(x-x₁)²+2a₃(x-x₁)(x-x₂).(1.26).

Коэффициенты a₀, a₁, a₂ и a₃ уравнения (1.26) определяются по известным значениям f (x₁), f (x₂), f'(x₁) и f'(x₂) путем решения следующей системы линейных уравнений:

f₁ = f (x₁)=a₀,.

f₂ =f (x₂)=a₀+a₁(x₂-x₁),.

f₁'=f'(x₁)=a₁+a₂(x₁-x₂),.

f₂'=f'(x₂)=a₁+a₂(x₂-x₁)+a₃(x₂-x₁)².

Заметим, что данная система легко решается рекурсивным методом. После того как коэффициенты найдены, действуя по аналогии со случаем квадратичной аппроксимации, можно оценить координату стационарной точки функции f c помощью аппроксимирующего полинома (1.25). При этом приравнивание к нулю производной (1.26) приводит к квадратному уравнению. Используя формулу для вычисления корней квадратного уравнения, запишем решение, определяющее стационарную точку аппроксимирующего кубического полинома, в следующем виде:

x_a*=, (1.27).

где.

=(f₂'+w-z)/(f₂'-f₁'+2w),.

z =3(f₁-f₂)/(x₂-x₁)+f₁'+f₂',.

(z²-f₁'f₂')^½, если x₁2,.

w =.

-(z²-f₁'f₂')^½, если x₁2.

Формула для w обеспечивает надлежащий выбор одного из двух корней квадратного уравнения; для значений, заключенных в интервале от 0 до 1, формула (1.27) гарантирует, что получаемая точка x_а* расположена между x₁ и x₂.

Затем снова выбираются две точки для реализации процедуры кубической аппроксимации — x_а* и одна из точек x₁ и x₂, причем значения производной исследуемой функции в этих точках должны быть противоположны по знаку, и процедура кубичной аппроксимации повторяется.