Обобщенные комплексные числа

Вернемся снова к началу пути, приведшего нас к построению комплексных чисел. Чтобы устранить затруднения, связанные с неразрешимостью ряда квадратных уравнений в области вещественных чисел, мы присоединили к множеству таких чисел новый элемент i, по определению являющийся корнем одного из неразрешимых уравнений, а именно уравнения x²+1=0; это привело нас к множеству комплексных чисел a+bi (а, b вещественные), при употреблении которых, как оказалось, уже все квадратные уравнения имеют корни. Поставим теперь вопрос о том, существенно ли в этом построении использование именно уравнения x²+1=0 или же его вполне можно заменить каким-либо другим квадратным уравнением?

Ответ на этот вопрос не труден: легко видеть, что уравнение x²+1=0 не имеет никаких принципиальных преимуществ перед другими неразрешимыми в вещественной области уравнениями, и выбор именно его диктуется лишь его относительной простотой (тем, что коэффициенты р u q здесь равны 0 и 1). В самом деле, обозначим через I «число особого рода», являющееся по определению корнем произвольного квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом.

и рассмотрим множество обобщенных комплексных чисел Z вида.

a+bI, a, b — вещественные. (18).

Эти числа можно складывать, вычитать и перемножать по правилам.

(I² =-pI-q, поскольку I по определению есть корень уравнения.

). Далее, для каждого обобщенного комплексного числа.

Z=a+bI нетрудно подобрать такое число, что произведение Zбудет вещественным; так, например, можно положить = (a-pb) — bI; тогда.

Это обстоятельство позволяет определить деление обобщенных комплексных чисел, исходя из равенства (4) предыдущего параграфа; так как к тому же Z=0, лишь если а= 0 и b = 0 (ибо), то единственное число, деление на которое оказывается невозможным, — эго число 0 (= 0+0•I). Наконец, легко показать, что каждое квадратное уравнение (с вещественными или обобщенными комплексными коэффициентами) в области обобщенных комплексных чисел имеет два (совпадающих или различных) корня. Так, например, если через I обозначить корень уравнения, то корни трех уравнений.

будут равны:

а если I₂ есть корень третьего уравнения (5), то корни тех же уравнений будут иметь вид.

Все эти результаты становятся совершенно очевидными, если вспомнить, что корень I уравнения (17) имеет вид.

обратно, где можно выразить через I:

Таким образом, обобщенные комплексные числа a+bI-это те же самые обыкновенные комплексные числа а+bi, но записанные в несколько иной форме:

где.

Отсюда ясно, что все алгебраические свойства чисел Z = a+bI не могут отличаться от свойств обыкновенных комплексных чисел).