Неявная разностная схема с аппроксимацией производной по координате первого порядка центральной конечной разностью

Характеристика

Неявная разностная схема для уравнения (6.1) при аппроксимации производной ди/дх центральной конечной разностью имеет вид:

Учитывая порядок аппроксимации разностных операторов, составляющих данную разностную схему, легко видеть, что она аппроксимирует дифференциальное уравнение (6.1) с первым порядком по времени, и со вторым — по координате:

Исследуем устойчивость разностной схемы (6.8) с помощью спектрального метода. Для этого отбрасываем член f (tⁿ, ху), наличие которого не оказывает влияния на устойчивость разностной схемы, и представляем решение в виде гармоники (3.7):

Упрощаем полученное выражение, деля левую и правую его части.

m"e^iaJ:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Используя зависимости (3.9), (3.10), получаем Группируя члены, содержащие X, в левой части уравнения, выразим величину, обратную X:

Определим модуль полученного комплексного числа:

Таким образом, собственные числа оператора перехода удовлетворяют условию устойчивости разностных схем (3.8). Следовательно, неявная разностная схема с аппроксимацией производной ди/дх центральной конечной разностью (6.8) абсолютно устойчива, причём вне зависимости от знака параметра и.

Рис. 6.6. Разностный шаблон разностной схемы (6.8).