Основное уравнение динамики вращательного движения

Рассмотрим вращение материальной точки массы т вокруг оси z под действием силы F.

При этом ось z направлена на нас.

Момент импульса точки относительно оси z.

.

Продифференцируем обе части этого уравнения по t:

.

Это основное уравнение динамики вращательного движения. Оно является аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения.

.

Вместо материальной точки можно рассматривать твердое тело, обладающее моментом инерции J и вращающееся вокруг оси z с угловым ускорением е под действием момента сил М. Движение этого тела также будет описываться уравнением.

Или.

.

Рассмотрим работу, совершаемую при вращательном движении:

.

Формула является аналогом соответствующей формулы. В более общем случае можно рассматривать векторные величины и записать для работы выражение.

.

При повороте тела на конечный угол необходимо проинтегрировать выражение для работы по соответствующему углу.

.

Кинетическая энергия вращения

Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки определяется формулой инерция динамика кинетический энергия.

.

Найдем аналогичное выражение для кинетической энергии вращательного движения. Для материальной точки, движущейся по окружности, учитывая формулу, получим.

.

где — момент инерции материальной точки относительно оси вращения.

Итак, кинетическая энергия материальной точки, вращающейся вокруг некоторой оси, определяется формулой.

.

Для твердого тела, совершающего вращательное движение, можем записать аналогичную формулу.

.

где J — момент инерции тела относительно оси вращения.

В общем случае движение твердого тела можно разложить на поступательное и вращательное.

.

Если разделить обе части этого выражения на и ввести обозначения.

.

то получим разложение скорости материальной точки тела на поступательную и вращательную компоненты.

.

Полученная формула называется формулой Эйлера и широко используется при изучении динамики твердого тела. С этой формулой мы встретимся в курсе механики сплошных сред.

Если тело совершает вращательное и поступательное движения, то его полная кинетическая энергия может быть представлена в виде суммы энергий поступательного и вращательного движений.

где — скорость центра масс, — момент инерции, относительно оси, проходящей через центр масс тела.