Задачи к главе 4

• 4.1. Доказать, что оператор декартовой координаты х равен своему комплексно-сопряженному оператору х*.
• 4.2. Доказать, что оператор, сопряженный произведению двух линейных операторов F и G, равен произведению сопряженных операторов, взятых в обратном порядке:

• 4.3. Учитывая результат предыдущей задачи, доказать, что квадрат самосопряженного оператора также является самосопряженным оператором.
• 4.4. Доказать, что сумма и разность самосопряженных операторов — самосопряженные операторы.
• 4.5. Доказать, что гамильтониан Н вида (4.74) — самосопряженный оператор.
• 4.6. Доказать, оператор вида axfix + (1 — сх)р_хх (а — произвольное вещественное число) будет самосопряженным только при а = ½.
• 4.7. Доказать, что произведение эрмитовых операторов является самосопряженным оператором, если перемножаемые операторы взаимно коммутативны.
• 4.8. Убедившись, что волновая функция одночастичной системы

правильно нормирована, вычислить среднюю координату частицы в этом состоянии.

• 4.9. Доказать, что нормировка волновой функции от времени не зависит, то есть что если Ф есть решение из L² временного уравнения Шредингера для произвольной одночастичной системы, то интеграл f |Ф|²</У, взятый по всему пространству, от времени не зависит.
• 4.10. Доказать, что операторы декартовых проекций момента импульса Ь_х, Ь_у и L_z — эрмитовы.
• 4.11. Доказать, что гамильтониан одночастичной системы в потенциальном поле, обладающем сферической симметрией, взаимно коммутативен с оператором четности (4.54).

• 4.12. Доказать, что оператор четности взаимно коммутативен с операторами квадрата момента импульса и проекции момента импульса на любое направление в пространстве.
• 4.13. Вычислить средние потенциальную и кинетическую энергии электрона в атоме водорода, находящегося в основном состоянии l. s и в возбужденном состоянии 2s. Сравнить результаты.
• 4.14. Доказать, что для заряженного линейного гармонического осциллятора оптически разрешены лишь переходы между соседними энергетическими уровнями.

Указание: выписав матричный элемент координаты .т, воспользоваться тождеством (4.102).

• 4.15. Вычислить излучательное время жизни 2р-состояния атома водорода.
• 4.16. Решить задачу на собственные значения оператора <�т_г, определенного соотношением (4.346).
• 4.17. Матрицы Паули определены соотношением (4.346).
• а) Показать, что квадраты всех трех матриц Паули равны единичной матрице.
• б) Показать, что единственное собственное значение оператора квадрата спина есть величина 3/г²/4 .
• в) Показать, что любой спинор является собственным спинором оператора квадрата спина. Иными словами, любое состояние одночастичной электронной системы имеет определенную величину квадрата спина, равную ЗЛ²/4.
• 4.18. Указать на рисунке 4.50 все разрешенные переходы, дающие вклад в линию Н_а спектра испускания атомарного водорода. Убедиться, что Н_а-линия является квинтетом.
• 4.19. Определить с помощью формулы (4.380) расщепление уровня энергии основного состояния атома водорода 154 в одно-

родном магнитном поле B_z.

• а) Сформулировать в виде неравенства условие малости величины магнитного поля B_z, чтобы формула (4.380) была справедлива для расчета расщепления уровней 2Р± и 2Рз в магнитном поле.
• б) Определить расщепление уровней энергии атома водорода в слабом магнитном ноле в состояниях 2Р и 2Рз.
• г) Определить расщепление в слабом магнитном поле спектральных линий 2Pi_ —> IS и 2Рз —> IS спектра испускания водорода.

4.20. Определить термы основного состоянии атомов третьего периода таблицы элементов. При определении величины J в неясных случаях заглянуть в ответ. Найти число, на которое расщепляется пучок атомов в неоднородном магнитном поле.

Отпет: Na (²Si), Mg ('So), A1 (²Pi), Si (³P₀), P (⁴Si), S (³P₂), Cl (²P_§), Ar ('So).

.