Тела вращения. 
Объемы и поверхности тел вращения

Цилиндр

Пусть даны две параллельные плоскости и ₁ и на плоскости фигура К, ограниченная замкнутой линией l (рис. 1.1,а). Цилиндром называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих фигуру К в одной из плоскостей.

Поясним это. Проведем через произвольную точку XK прямую до пересечения с плоскостью ₁ в точке Х₁. Когда точка Х при движении описывает фигуру К, тогда отрезки XX₁ параллельных прямых образуют цилиндр. При этом точка Х₁ описывает фигуру К₁₁, равную К. Отрезки с одним концом на линии l, ограничивающей фигуру К, называются образующими цилиндра, линия l — направляющей цилиндра, фигуры К и К₁ в плоскостях и ₁ — основаниями цилиндра.

Круговым называется цилиндр, основанием которого является круг, при этом направляющей l является окружность (рис. 1.1,б).

Рис 1.1.

Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны к плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать только прямой круговой цилиндр, и называть его просто цилиндром (рис. 1.2). Радиусом цилиндра является радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Прямой круговой цилиндр можно рассматривать как тело, полученное при вращении прямоугольника ABCD вокруг оси, содержащей его сторону ВС (рис. 1.3). Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым.

Задача 1.1. Через образующую цилиндра проведена плоскость под углом к плоскости осевого сечения, содержащего ту же образующую. Диагональ d прямоугольника, полученного в сечении, образует с плоскостью основания угол. Найти образующую и площадь основания цилиндра.

Решение. АА₁В₁В — осевое сечение (рис. 1.4). Образующая АА₁ перпендикулярна к плоскости основания, поэтому АА₁А₁С₁ и АА₁А₁В₁. Следовательно, С₁А₁В₁ — линейный угол двугранного угла АА₁ и С₁А₁В₁=. Из прямоугольного треугольника АА₁С находим АС= A₁Ccos = dcos. Треугольник А₁С₁В₁ — прямоугольный, А₁С₁В₁=90^o.