Гидростатика. 
Система уравнений гидростатики. 
Динамика течений невязкой (идеальной) жидкости

Для покоящейся жидкости, находящейся в однородном поле тяжести, уравнение Эйлера принимает вид.

Это уравнение описывает механическое равновесие жидкости.

Если внешние силы вообще отсутствуют, то уравнения равновесия дают.

.

т.е. p=const — давление одинаково во всех точках жидкости.

Рис. 12.

Притом плотность жидкости постоянна во всём объёме. Направим ось z вертикально вверх, имеем.

.

Откуда.

.

Если покоящаяся жидкость имеет свободную поверхность (на высоте h), к которой приложено одинаковое во всех точках внешнее давление p₀, то эта поверхность должна быть горизонтальной плоскостью .

Из условия p=p_o при z=h имеем.

.

так что.

.

Уравнение Бернулли

Уравнения гидродинамики заметно упрощаются в случае стационарного течения жидкости. Под стационарным (или установившимся) подразумевают такое течение, при котором в каждой точке пространства, занятого жидкостью, скорость течения остаётся постоянной во времени. Скорость остаётся функцией только координат.

Рассмотрим некоторые сведения о линиях тока. Линии тока это линии, касательные к которым указывают направление вектора скорости в точке касания в данный момент времени. Уравнения линий тока определяются системой дифференциальных уравнений.

При стационарном движении жидкости линии тока остаются неизменными во времени и совпадают с траекториями частиц жидкости.

При нестационарном течении такое совпадение не имеет места:

• — касательные к линии тока дают направление скорости различных частиц жидкости в последовательных точках пространства в определённый момент времени
• — касательные к траектории дают направление скорости определённых частиц в последовательные моменты времени.

Умножим уравнение Эйлера для стационарного потока жидкости на единичный вектор касательной к линии тока в каждой её точке .

Проекция градиента на некоторое направление равна производной, взятой по этому направлению. Поэтому жидкость газ эйлер уравнение.

Вектор перпендикулярен вектору скорости, и поэтому его проекция на направление равна нулю.

Таким образом, получаем.

Откуда следует, что величина постоянна вдоль линии тока.

Значение const, вообще говоря, различно для разных линий тока. Это уравнение называют уравнением Бернулли.

Если течение жидкости происходит в поле сил тяжести, то в правой части уравнений Эйлера есть ускорение силы тяжести .

Выберем направление силы тяжести в качестве направления оси z, причём положительные значения z отсчитываются вверх. Тогда проекция на есть.

.

Соответственно этому будем иметь.

Таким образом, уравнение Бернулли гласит, что вдоль линий тока остаётся постоянной длина.