Графический метод, основанный на разделении переменных

Метод применим к нелинейным электрическим цепям, описываемым дифференциальными уравнениями первого порядка, допускающими разделение переменных. Последняя оговорка свидетельствует о том, что метод применим к цепям постоянного и, как правило, неприменим к цепям переменного тока. Основные этапы и последовательность расчета проиллюстрируем на примере.

Нелинейный конденсатор через резистор подключается к источнику ЭДС Е (рис. 16.1, а). Кулон-вольтная характеристика (КВХ) конденсатора задана графически (рис. 16.1, б). Полагая, что в схеме нулевые начальные условия, требуется построить кривые изменения заряда q, напряжения на конденсаторе и_с и тока i в функции времени. Составим дифференциальное уравнение:

Разделим переменные:

где.

Рис. 16.1.

Для построения кривой F (q) используем КВХ (рис. 16.1, в).

Левую часть уравнения (16.2) проинтегрируем по t от 0 до текущего значения t, а правую — по q от q = 0 до текущего значения q. В результате получим.

Графически подынтегральное выражение F (q)dq представляет собой заштрихованную площадку (см. рис. 16.1, в).

Кривая 1 на рис. 16.1, г качественно представляет собой зависимость q от t. С помощью кривой q =f (t) и КВХ нелинейного конденсатора строят зависимость u_c(t) (кривая 2). Ток в цепи для произвольного момента времени определяется по формуле i= (?/ - u_c)/R (кривая 3).

Метод, основанный на подсчете определенного интеграла по формуле трапеций

Если интервал интегрирования b — а в определенном интеграле ь.

J y (x)dx разбить на п равных частей и обозначить значения функции у (х).

а

черезу₀, у₁, у₂, ••• при х₀ = а, х_г= а + h, х₂ = а + 2h, … соответственно, где h = (b — а)/п, то.

Рассмотрим идею метода (предложена в 1916 г. русским инженером В. Волынкиным) на примере цепи, приведенной на рис. 16.2, а. Цепь содержит источник ЭДС е (?), нелинейную индуктивность, резистор R. Зависимость потокосцепления |/(0 нелинейной индуктивности задана графически — кривая на рис. 16.2, б, начальные условия полагаем нулевыми, т. е. i (0) = 0, |/(0) = 0. Составим уравнение

Рис. 16.2.

Разделим текущее время t на равные промежутки т (t = пт), тогда вместо (Ь — а)/(2п) в (16.5) будем иметь (пт — 0)/(2п) = т/2. Последовательно проинтегрируем уравнение (16.6) сначала от t = 0 до t = т, затем от t = 0 до t = 2 т и т. д., каждый раз используя формулу трапеций. Для первого интервала.

Следовательно,.

Для t = 2 т.

Поэтому для t = 2 т.

При t = пт

Формула (16.7) позволяет последовательно определить i_b i₂, i₃, … . В ее левую часть входят неизвестный ток i_n и соответствующее ему пото;

п-1.

косцепление |i_n, а значение? i_k в правой части известно по результаты 1.

там расчета за предыдущие интервалы времени.

Последовательность расчета следующая:

пт.

1) по заданной e (t) подсчитываем значения функции J e (t)dt для о.

различных п;

2) на рис. 16.2, б проводим прямую OS под углом а к оси абсцисс, КТ ТП; ;

тангенс которого равен—-, где пп,• и тп_ш — масштабы по осям i и |/;

• 2 m_v
• 3) значения тока и потокосцепления к концу первого интер-

т вала времени определим исходя из (16.7) по величине je (t)dt. Эта о.

величина в масштабе потокосцепления должна быть равна отрезку BD на рис. 16.2, б. Отрезок ВС будет равен p_l5 а отрезок CD — значению.

~~h- ^Ток h равен отрезку ОС;

• 4) ток i₂ к концу второго интервала времени и значение 1₂ находим аналогично: по (16.7) подсчитываем правую часть (она теперь равна
• 2т

| e (t)dt — RxiJ и перемещаем отрезок, равный правой части, параллельно о.

оси ординат так, чтобы один его конец оказался на кривой, а другой — на прямой OS. Далее определяем значения i₃ и ц/₃ к концу третьего Зт интервала, когда правая часть (16.7) равна j e (t)dt — Rx (i₁ + i₂), и т. д.

~ о Применим рассматриваемый метод к расчету переходного процесса в цепи, приведенной на рис. 16.2, в, при нулевых начальных условиях i (0) = |/(0) = 0. К источнику ЭДС e (t) подключается цепь, состоящая из нелинейной индуктивности с известной |/(i), и нелинейного резистора, ВАХ u (i) которого изображена на рис. 16.2, г. Уравнение цепи.

^ + и (0 = e (t) проинтегрируем по t от 0 до t = пт. Учтем, что.

и получим формулу, аналогичную (16.7):

Последовательность расчета по формуле (16.8) такая же, как х.

и по (16.7), с тем отличием, что вместо прямой — Ri (OS на рис. 16.2, б) х.

на рис. 16.2, б надо нанести кривую — и (г).

Применение метода к цепи второго порядка с тремя разнохарактерными нелинейными элементами рассмотрено в [24].