Особенности динамического возбуждения слоистых сред внутренними источниками колебаний

Задачи расчета поверхностных сооружений при динамических воздействиях внутренними источниками колебаний связаны с проблемами сейсмостойкого строительства, возведением зданий в зонах, близких к линиям метрополитена мелкого и среднего заложения. При этом основные особенности такого воздействия связаны как со спектральным составом возбуждения, так и строением неоднородного грунта. Во многих случаях грунт можно моделировать слоисто-неоднородной упругой или вязкоупругой средой.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача возбуждения гармонических колебаний внутренним источником, заглубленным в слоисто-неоднородную полуплоскость.

Пусть область, занимаемая линейно-упругой средой представляет собой многослойную полуплоскость (Рис. 1).

— полуплоскость;

— j-й слой (j=2,…, N);

Рис. 1.

Физические свойства среды описываются плотностью и скоростями распространения поперечных и продольных волн: .

Условия стыковки разнородных сред считаются жесткими с требованием непрерывности векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела.

В точке с координатами действует сосредоточенный источник гармонических с частотой колебаний:

2. Построение решения

Решение поставленной задачи соответствует построению матрицы фундаментальных решений точечного источника, реализация которого осуществляется с помощью принципа суперпозиции.

В основе данного построения решения для многослойной среды лежит вывод определяющих соотношений для одного слоя с заданными на его гранях векторами напряжений.

Пусть в локальной системе координат дляго слоя: амплитудные функции перемещений при действии сосредоточенного в источника имеют вид:

.

Функции удовлетворяют уравнениям движения Ляме [1].

.

и — постоянные Ляме:

.

Согласно предлагаемому методу данные функции будем разыскивать в виде.

.

(При аналогичном рассмотрении полуплоскости считаем).

Здесь слагаемые данного представления являются решениями уравнений Ламе для однородной полуплоскости с удовлетворением граничных условий:

.

Вектор перемещений представим в виде интеграла Фурье через трансформанты вектора напряжений :

. (1).

Контур определен принципом предельного поглощения: обходит положительные полюса подынтегральной функции снизу, отрицательные — сверху, а на остальной части совпадает с вещественной осью. Элементы матрицы имеют вид:

,.

.

.

.

,.

.

— скорости распространения волн в соответствующей среде.

Аналогично формуле (1) определяются перемещения для полуплоскости через функции, где для элементов справедливы соотношения:

,.

— символ Кронекера.

Определяя напряженное состояние слоя в виде суммы соответствующих решений для двух полуплоскостей, получим:

(2).

где.

.

.

.

.

Для второй группы слагаемых найдем:

.

Соответственно функции определяют перемещения в однородной плоскости с параметрами рассматриваемого слоя от действия сосредоточенного источника колебаний в виде набора цилиндрических волн [2] и соответствуют компонентам матрицы :

.

С помощью формул переразложения [3] они могут быть записаны в преобразованном по Фурье виде:

.

k, l=1,2, где.

.

.

.

.

Аналогично для фундаментальных решений по напряжениям получим:

.

Или в преобразованиях Фурье:

.

.

.

.

.

Введенные трансформанты Фурье функций напряжений представлений (1), (2) являются неизвестными и должны быть определены из условий стыковки разнородных составляющих слоистой полуплоскости между собой. Удовлетворяя равенствам компонент векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела сред в преобразованиях Фурье, получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными:

.

где — общий вектор неизвестных напряжений для многослойной структуры.

Полученные таким образом фундаментальные решения обладают важным свойством отсутствия напряжений на дневной поверхности .

Анализ численных результатов В качестве иллюстрации характера поведения построенных фундаментальных решений исследованы зависимости компонент вектора перемещений и тензора напряжений от положения источника, точки наблюдения и свойств слоев полуплоскости.

На рис. 2 показано поведение нормальных вертикальных напряжений в зависимости от положения источника колебаний в фиксированной точки наблюдения (с координатами (-5; 0,5)). Положение источника определяется выражением,. По анализу графика видно, что в точке наблюдения развиваются интенсивные колебания, при положении источника внутри слоя пониженной жесткости, имеющие немонотонный характер. Максимальное значение данных напряжений превышает уровень напряжений при возбуждении среды с поверхности более чем в 10 раз.

Рис. 2.

Рис. 3.

На рис. 3 представлены горизонтальные перемещения, в случае возбужения среды внутренним источником колебаний, расположенном на глубине x₀=5 в полуплоскости. При движении точки наблюдения от поверхности среды х = -15 в глубь х=10. Мягкая прослойка, положение которой определяется диапазоном приводит к экранированию горизонтальных смещений выше нее. В самой же прослойке наблюдаются осциллирующие на глубине колебания, соизмеримые с колебаниями вблизи источника, которые имеют более плавный характер, по отношению к точке наблюдения.

Имеющие общие закономерности, особенности поведения напряжения состояния среды, наблюдается так же в случае наличия более жесткой прослойки, а также в сочетании жесткая — мягкая прослойка. Таким образом, структура слоистой конструкции существ образом влияет на характер волновых полей, генерируемых внутренним источником колебанием, при наблюдении, как на поверхности области, так и внутри нее.

гармонический колебание слоистый неоднородный Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. -872 с.

Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. -М.: Мир, 1984.

Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики.

• -Т.1. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. -930 с.,
• -Т.2. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. -886 с.