Расчеты на прочность и жесткость при кручении

Прочность бруса, работающего на кручение, считают обеспеченной, если наибольшие касательные напряжения, возникающие в его опасном сечении, не превышают допускаемых: ф max ф k. Конечно, незначительное (до 5−6%) превышение расчетного напряжения над допускаемым не опасно. Эпюры касательных напряжений для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений показаны. В точках, равноудаленных от центра сечения, напряжения одинаковы. Наибольшего значения касательные напряжения достигают в точках контура поперечного сечения: фmax M x r I p, где I p — полярный момент инерции. Введя обозначение W I p, получим следующее выражение p r для максимального касательного напряжения: ф M z. max Wp Величину Wp, мм3, равную отношению полярного момента инерции сечения к его радиусу, называют полярным моментом сопротивления сечения. Его размерность — L3. Очевидно, полярный момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности бруса круглого поперечного сечения при кручении:

фmax M z фk. (19.4) Wp.

Эта формула служит для проверочного расчета на прочность. При проектном расчете и при определении допускаемой нагрузки (момента) из формулы (19.4) соответственно находят Wp или M z. Для кольца 177 I p рd 4 (1 C 4) 32 Wp; r d 2 W p (рd 3 16)(1 C 4) 0, 2d 3 (1 C4); и для круга I p рd 4 рd 3 32 Wp; r d 2 16 W рd 3 0, 2 d 3. p 16 Для конструкционной углеродистой стали обычно фk = 20−35 МПа.

Во многих случаях вал должен быть рассчитан не только на прочность, но и на жесткость при кручении.

Рассмотрим брус, жестко защемленный одним концом и нагруженный на свободном конце скручивающим моментом М (19.15). При деформации бруса его поперечные сечения повернутся на некоторые углы по отношению к своему первоначальному положению или, что-то же самое, по отношению к неподвижному сечению (заделке). Угол поворота будет тем больше, чем дальше отстоит данное сечение от заделки. Так, для произвольного сечения.

I, отстоящего от заделки на расстоянии z, он равен цz, для сечения II — цz dц. Здесь dц — угол поворота сечения II относительно I или угол закручивания элемента бруса длиной цz .

Вообще, угол поворота вала при включении произвольного сечения равен углу закручивания части бруса, заключенной между этим сечением и заделкой. Таким образом, угол поворота ц торцового сечения представляет собой полный угол закручивания рассматриваемого бруса.

За меру жесткости при кручении принимают относительный угол закручивания (угол закручивания на единицу длины) вала, обозначаемый ц0 (встречается обозначение и): ц ц0 и l. Деформации вала при кручении Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинаковом во всех поперечных сечениях крутящем моменте равен ц M z l, GI p где l — длина рассматриваемого участка, мм.

В отличие от допускаемого напряжения, зависящего в первую очередь от материала вала, допускаемый угол закручивания зависит от назначения вала.

Значения допускаемых углов закручивания, встречающихся в различных отраслях машиностроения, весьма разнообразны; наиболее распространены значения [и] = (4,38−17,5) · 103 рад/м = 0,25- 1,0 град/м.

Условие жесткости при кручении имеет вид и M z и, GI p где GI p — условная жесткость сечения круглого бруса при кручении. Модуль сдвига G характеризует жесткость материала, а полярный момент инерции I p является геометрической характеристикой жесткости бруса. Для стали G = 8 · 104 МПа. При проектном расчете отсюда определяют требуемое значение Ip: I M z, p G и, а затем вычисляют диаметр вала. Из двух значений диаметра вала, определенных из расчетов на прочность и жесткость, в качестве окончательного (исполнительного размера) должен быть, конечно, принят больший. Для круга рd 4 I p; 32 d 4 32M z. рG и.